312复数的几何意义.ppt

3.1 3.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念3.1.2 3.1.2 复数的几何意义复数的几何意义问题提出问题提出 1. 1.虚数单位虚数单位i i的基本特征是什么？的基本特征是什么？（1 1）i i2 21 1； （2 2）i i可以与实数进行四则运算，且原可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立有的加、乘运算律仍然成立. . 2. 2.复数的一般形式是什么？复数相等复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？的充要条件是什么？ abi i（a，bR R）；）； 实部和虚部分别相等实部和虚部分别相等. . 3. 3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如实数、虚数、纯虚数的含义分别如何？何？ 设设z zabi i（a，bRR）. .当当b b0 0时时z z为实数；为实数；当当b b00时，时，z z为虚数；为虚数；当当a0 0且且b b00时，时，z z为纯虚数为纯虚数. . 4. 4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如何？集之间的关系如何？复数复数实数实数虚数虚数纯虚数纯虚数 5. 5.实数与数轴上的点一一对应，从而实数与数轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这是实实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义，根据类比推理，复数也数的几何意义，根据类比推理，复数也应有它的几何意义应有它的几何意义. .因此，探究复数的几因此，探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容何意义就成为一个新的学习内容. . 探究（一）：探究（一）：复数的点表示复数的点表示 思考思考1 1：在什么条件下，复数在什么条件下，复数z z惟一确定？惟一确定？ 给出复数给出复数z z的实部和虚部的实部和虚部思考思考2 2：设复数设复数z zabi i（a，bRR），），以以z z的实部和虚部组成一个有序实数对的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数），那么复数z z与有序实数对（与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？）之间是一个怎样的对应关系？ 一一对应一一对应思考思考3 3：有序实数对（有序实数对（a，b）的几何意义的几何意义是什么？复数是什么？复数z zabi i（a，bRR）可以）可以用什么几何量来表示？用什么几何量来表示？ 复数复数z zabi i（a，bRR）可以用直角坐）可以用直角坐标系中的点标系中的点Z Z（a，b）来表示）来表示. .x xy yO Oab bZ Z：abi i思考思考4 4：用直角坐标系来表示复数的坐标用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做平面叫做复平面复平面，x x轴叫做轴叫做实轴实轴，y y轴叫轴叫做做虚轴虚轴，在复平面内，原点，在复平面内，原点(0(0，0)0)，点，点(2(2，0)0)，点，点(0(0，1)1)，点，点( (2 2，3)3)所表所表示的复数分别是什么？示的复数分别是什么？x xy yO Oab bZ Z：abi i0 0，2 2，i i，2 23i.3i.思考思考5 5：一般地，实轴上的点，虚轴上的一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？点，各象限内的点分别表示什么样的数？x xy yO Oab bZ Z：abi i实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象限内的点表示点外都表示纯虚数，各象限内的点表示虚部不为零的虚数虚部不为零的虚数. . 思考思考1 1：用有向线段表示平面向量，向量用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？的大小和方向由什么要素所确定？ 探究（一）：探究（一）：复数的向量表示复数的向量表示 有向线段的始点和终点有向线段的始点和终点. . 思考思考2 2：用坐标表示平面向量，如何根据用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？向量的坐标画出表示向量的有向线段？ 以原点为始点，向量以原点为始点，向量的坐标对应的点为终的坐标对应的点为终点画有向线段点画有向线段. . x xy yO O(a，b)思考思考3 3：在复平面内，复数在复平面内，复数z zabi i（a，bR R）用向量如何表示？）用向量如何表示？x xy yO Oab bZ Z：abi i以原点以原点O O为始点，点为始点，点Z Z（a，b）为终点的）为终点的向量向量 . .O Zuuu r思考思考4 4：复数复数z zabi i（a，bRR）可以）可以用向量用向量 表示，向量表示，向量 的模叫做复数的模叫做复数z z的的模模，记作，记作|z|z|或或| |abi|i|，那么，那么| |abi|i|的计算公式是什么？的计算公式是什么？O Zuuu rO Zuuu r22|abiab+=+x xy yO Oab bZ Z：abi i思考思考5 5：设向量设向量a，b分别表示复数分别表示复数z z1 1，z z2 2，若若ab，则复数，则复数z z1 1与与z z2 2的关系如何？的关系如何？ 规定：相等的向量表示同一个复数规定：相等的向量表示同一个复数. .思考思考6 6：若若|z|z|1 1，|z|z|1 1，则复数，则复数z z对对应复平面内的点的轨迹分别是什么？应复平面内的点的轨迹分别是什么？ 单位圆，单位圆内部单位圆，单位圆内部. .理论迁移理论迁移 例例1 1 已知复数已知复数对应的点在直线对应的点在直线x x2y2y1 10 0上，求实数上，求实数m的值的值. .222l og (33)l og (3)zmmim=-+-15m= 例例2 2 若复平面内一个正方形的三个若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为顶点对应的复数分别为z z1 11 12i2i，z z2 22 2i i，z z3 31 12i2i，求这个正方形第，求这个正方形第四个顶点对应的复数四个顶点对应的复数. .x xy yO OZ Z1 1Z Z2 2Z Z3 3Z Z4 4z z4 42 2i i 小结作业小结作业1.1.复数集复数集C C和复平面内所有的点所成的集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即合是一一对应的，即复数复数z zabi i 复平面内的点复平面内的点 Z Z（a，b）一一对应一一对应2.2.复数集复数集C C与复平面内的向量所成的集合与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即也是一一对应的，即复数复数z zabi i 复平面内的向复平面内的向量量一一对应一一对应O Zuuu r 3. 3.复数复数zabi i与复平面内的点与复平面内的点 Z Z（a，b）和向量和向量 是一个三角对应是一个三角对应关系，即关系，即O Zuuu r复数复数z zabi i点点Z(Z(a，b) )向量向量O Zuuu r