直线和圆的方程知识及典型例题.docx
直线和圆的方程知识及典型例题数学基础知识与典型例题直线和圆的方程直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角的范围是0180两直线的位置关系两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是0,2?,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2-1时，则有2112tan1kkkk-=+.4.距离公式。已知一点P(x0，y0)及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d=0022|AxByCAB+；两平行直线l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=1222|CCAB-+。5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系.在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，当x0，y0确定，k变化时，该方程表示过定点x0，y0的旋转直线系，当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.已知直线l：Ax+By+C=0，则方程Ax+By+m=0m为参数表示与l平行的直线系；方程-Bx+Ay+n=0n为参数表示与l垂直的直线系。已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示过l1与l2交点的直线系不含l2把握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时能够优化解题思路.例10.经过两直线11x3y90与12xy190的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_.例11.已知ABC中，A2，-1，B4，3，C3，-2，求：BC边上的高所在直线方程；AB边中垂线方程；A平分线所在直线方程.例12.已知定点P6，4与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使OQM面积最小的直线l方程.简单的线性规划线性规划当点P(x0，y0)在直线Ax+By+C=0上时，其坐标知足方程Ax0+By0+C=0；当P不在直线Ax+By+C=0上时，Ax0+By0+C0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C0或或()724Ba-曲线和方程曲线与方程：在直角坐标系中,当曲线C和方程F(x，y)=0知足如下关系时：曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x，y)=0表示的曲线；方程F(x，y)=0是曲线C表示的方程.注:假如曲线C的方程是F(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是F(x0,y0)=0解析几何研究的内容就是给定曲线C，怎样求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形,坐标法是几何问题代数化的重要方法。求曲线方程的步骤:建、设、现限、代、化.曲线和方程例18.点),(62ttM合适方程3xy=是点M在曲线3xy=上的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)什么条件也不是例19.曲线C1：xyx=+22与C2：yxy=2的交点数是(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个例20.已知定点)0,1(-A，)0,1(B，点M与A、B两点所在直线的斜率之积等于4-，则点M的轨迹方程是例22.如图，圆1O与圆2O的半径都是1，124OO=.过动点P分别作圆1O、圆2O的切线PMPN，MN，分别为切点，使得2PMPN=.试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.例30.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，务实数m取值范围；求圆的半径r取值范围；求圆心轨迹方程数学基础知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案例例例例4.1()2-、0,3例5.02=-yx例例例8.2x3y100例9.0,8,例10.135290xy+-=例11.解:kBC=5,BC边上的高AD所在直线斜率k=51-AD所在直线方程y+1=51-(x-2)即x+5y+3=0AB中点为3，1，kAB=2,AB中垂线方程为x+2y-5=0设A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。kAC=-1，kAB=2,12112kkkk+-=-+,k2+6k-1=0,k=-3-10舍，k=-3+10AE所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。可以用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一点，则P到AB、AC=，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。例12.解题思路分析：直线l是过点P的旋转直线，因而是选其斜率k作为参数，还是选择点Q还是M作为参数是此题关键。通过比拟能够发现，选k作为参数，运算量稍大，因而选用点参数。解:设Qx0，4x0，Mm，0Q，P，M共线PPMkk=Q0044466xxm-=-解之得：0051xmx=-x0>0，m>0x0-1>020000101|4221OMQxSOMxmxx?=-令x0-1=t，则t>0,210(1)110(2)tSttt+=+40当且仅当t=1，x0=11时，等号成立,此时Q11，44，直线l：x+y-10=0评注：例例14.42-例15.14例16.种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.例17.解：设初中x个班，高中y个班，则2030(1)28581200xyxy+?+?设年利润为s，则yxyxyxs22.16.15.22.1215.04006.060+=?-?-?+?=作出1、2表示的平面区域，如图，过点A时，S有最大值，由?=+=+1200582830yxyx解得A18，12.易知当直线+2y=s即学校可规划初中18个班，高中12个班,6.45122182.1max=?+?=s万元.可获最大年利润为万元.评线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目的函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目的函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：根据实际问题的约束条件列出不等式，作出可行域，写出目的函数，确定目的函数的最优位置，进而获得最优解但在解答时，格式要规范，作图要准确，十分是最优解的求法，作时还是比拟困难的是函数方程思想的应用.例例例20.x2+)1(142±=xy例21.(x94)34()3422=-+-y例22.解：以12OO的中点O为原点，12OO所在直线为x轴，建立如下图的平面直角坐标系，则1(20)O-，2(20)O，.由已知2PMPN=，得222PMPN=.由于两圆半径均为1，所以221212(1)POPO-=-.设()Pxy，则2222(2)12(2)1xyxy+-=-+-，即22(6)33xy-+=.(或221230xyx+-+=)例例例例例27.x2+(y-1)2=1例28.x+y=0或x+7y-6=0例29.解：x2+y26x8y=0即(x3)2+(y4)2=25，设所求直线为ykx。圆半径为5，圆心M3，4到该直线距离为3，231dk=+，22924169(1)kkk-+=+，724k=。所求直线为yx247=或0=x。例30.m知足-2(m+3)2+2(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，即7m2-6m-1<0,117m-<<半径r223167617()77mmm-+=-+117m-<<,37m=时，max47r=,0<r477设圆心Px，y，则2341xmym=+?=-?消去m得：y=4(x-3)2-1,又117m-<<2047x<<所求轨迹方程为(x-3)2=41(y+1)2047x<<
