《2812_圆的对称性》课件(二)_华东师大版.ppt
MOACBN垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，如图， 是圆是圆O O的直径，的直径， 是一条弦，是一条弦， 且且（1）AC=BC（2）AN=BN，AM=BMMOACBN垂径定理垂径定理：垂径定理三种语言： 定理定理: 垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分弦平分弦, 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. 老师提示老师提示: 垂径定理是圆垂径定理是圆中一个重要的中一个重要的结论结论,三种语三种语言要相互转化言要相互转化,数形结合数形结合,形形成整体成整体,才能才能运用自如运用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.文字语言文字语言图形语言图形语言几何语言几何语言看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?讲解讲解 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，厘米，求求 O的半径。的半径。E.ABO解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为垂足为E，则，则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在Rt AOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。半弦半弦半径半径弦心距弦心距半弦半弦2+弦心距弦心距2=半径半径2已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆为圆心的两个同心圆中，大圆心的两个同心圆中，大圆的弦的弦AB交小圆于交小圆于C，D两两点。点。试说明：试说明：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则，则 AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO 例例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为度为60cm，水面至管道顶部距离为，水面至管道顶部距离为10cm,问问修理人员应准备内径多大的管道？修理人员应准备内径多大的管道？解：过点解：过点O作作OCAB,垂足为点垂足为点C,交交 O与点与点D，连接，连接OA。CD222222130,210.,30(10)502100,100ACABOCODCDAOAOCACOCORRRRRcmcm在Rt中，AO设 的半径为则即内径为的管道。 试一试试一试 如果如果交换垂径定理交换垂径定理的的题设题设和和结论结论的部分语的部分语句句，会有一些什么样的，会有一些什么样的结论呢？结论呢？垂径定理垂径定理：MOACBN探索一探索一：结论结论：二、垂二、垂径定理径定理的推论的推论OABMN一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。不一定成立。推论推论1. (1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。CDMOACBN探索二探索二：(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBN探索三探索三：(3)(3)平分弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一条弧的直径, ,垂直平垂直平分弦分弦, ,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧。的另一条弧。推论推论1: (1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)(2)弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心, ,并且平并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧;.;. (3)(3)平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径, ,垂直垂直平分弦平分弦, ,并且平分弦所对的另一条弧。并且平分弦所对的另一条弧。n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?垂径定理及其推论可概括成以下结论 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB,AC = BC, AD = BD.圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所夹的弧相等。的弧相等。推论推论2.2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。圆的两条平行弦所夹的弧相等。MOABNCD作直径作直径MN垂直于弦垂直于弦ABABCD 直径直径MN也垂直于弦也垂直于弦CD于是于是 弧弧AM弧弧BM， 弧弧CM弧弧DM弧弧AM弧弧CM 弧弧BM弧弧DM 即即弧弧AC弧弧BDCDABE例：例：已知：弧已知：弧AB作法：作法： 连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD，交弧，交弧AB于点于点E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点。的中点。求作：弧求作：弧AB的中点的中点CDABEFG变式一变式一： 求弧求弧ABAB的四等分点。的四等分点。 mnCDABMTEFGHNP错在哪里错在哪里？等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线。作AB的垂直平分线CD。作ATBT的垂直 平分线EFGHCABE变式二变式二：你能确定你能确定 弧弧ABAB的圆心吗？的圆心吗？mnDCABEmnO 你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它们的垂直平及它们的垂直平分线分线mmn n，交于，交于OO点；以点；以OO为圆为圆心，心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 作图依据： 已知：已知：AB、CD是是 O的两条平行弦，的两条平行弦， MN是是AB的垂直平分线。的垂直平分线。 求证：求证：MN垂直平分垂直平分CD。 MOANCDB 圆内圆内平行弦平行弦的垂直平分线是的垂直平分线是互相互相重合重合的。的。 已知：已知：AB、CD是是 O的两条平行弦，的两条平行弦， MN是是AB的垂直平分线。的垂直平分线。 求证：求证：MN垂直平分垂直平分CD。 MOABNCD分析分析：MN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 则有：则有：由由ABCD， MNAB 则有：则有：MNCD由垂径定理，得由垂径定理，得MN平分平分CD所以：所以：MN垂直平分垂直平分CDMOBNCD证明证明： MN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 MNCD MN平分平分CDAABCD，MNABMN垂直平分垂直平分CD MOABNCD证明：证明： 由由ABCD可得可得：弧弧AC=弧弧BDMN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 则有：则有：MN垂直平分垂直平分CD 弧弧AM弧弧AC 弧弧BM弧弧BD 即即 弧弧CM弧弧DM挑战自我填一填 1、判断：、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对 的两条弧的两条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧对的另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 例例3 已知已知 O的直径是的直径是50 cm， O的的两条平行弦两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm，求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。 .AEBOCD20152525247讲解讲解.AEBOCDFEF有两解：有两解：15+7=22cm 15-7=8cm如图，如图，O的半径为的半径为5，弦，弦AB的长为的长为8，M是弦是弦AB上的动点，则线段上的动点，则线段OM的长的最小的长的最小值为值为_._.最大值为最大值为_._. 35 如图，矩形如图，矩形ABCDABCD与圆与圆O O交于点交于点A A、B B、E E、F F， DE=1cmDE=1cm，EF=3cmEF=3cm，则，则AB=_cmAB=_cmFEDCBAO5如图，在圆如图，在圆O中，已知中，已知AC=BD，试说明：试说明：（1）OC=OD （2）AE= BFFECOABD课堂小结：课堂小结： 本节课探索发现了本节课探索发现了垂径定理垂径定理的的推论推论1和推和推论论2,并且运用推论并且运用推论1等分弧等分弧。 要分清推论要分清推论1的的题设题设和和结论结论,即已知什么条即已知什么条件件,可推出什么结论可推出什么结论. 这是正确理解应用推论这是正确理解应用推论1的关键的关键; 例例3是基本几何作图是基本几何作图,会通过作会通过作弧所夹弦弧所夹弦的的垂直平分线垂直平分线来来等分弧等分弧.能够体会能够体会转化转化思想思想在这里的运用在这里的运用.回味引伸回味引伸 垂径定理及其推论垂径定理及其推论1的实质是把的实质是把(1)直线直线MN过圆心过圆心; (2)直线直线MN垂直垂直AB; (3)直线直线MN平分平分AB; (4)直线直线MN平分弧平分弧AMB; (5)直线直线MN平分弧平分弧ANB 中的两个条件进行了中的两个条件进行了四种四种组合组合,分别推出了其余的三个分别推出了其余的三个 结论结论.这样的组合还有这样的组合还有六种六种，由于时间有限，由于时间有限,课堂上未作课堂上未作 进一步的推导进一步的推导,同学们课下不妨试一试同学们课下不妨试一试.
