余弦定理、正弦定理课件（二）--高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx
高一年级人教A版数学必修第二册第六章6.4.3 余弦定理 正弦定理(二)正弦定理学习目标：学习目标：1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理.2.能用向量方法发现和证明正弦定理.3.会用正弦定理求解已知两边和其中一条边的对角、已知两角和夹边等解三角形问题. 知识回顾：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式 探究问题 ：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？2222cosabcbcA222cos2bcaAbc 情境引入情境引入 探究问题 ：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？情境引入情境引入 在ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系. 如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在ABC中，已知A，B，a，求b”的问题. 我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在 RtABC中（如图），有ABCacbsin , sinabABcc，.sinsinabcABsinsi n901C 又因为 ，上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即 .sinsinsinabcABC c 这两个式子有共同元素，利用它把两个式子联系起来，可得情境引入情境引入 在直角三角形中，有 .sinsinsinabcABC 对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否仍然成立？ 我们希望获得ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究.探究新知探究新知 思考：向量的数量积运算中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？) .cos(sin2 由诱导公式 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系 j下面先研究锐角三角形的情形.BACj2,()ABCAACABA 如图在锐角中过点作与垂直的单位向量 则 与的夹角为 j j (.)2CCB 与的夹角为 j探究新知探究新知,ACCBAB 因为 ),(ACCBAB 所以 jj ACCBAB, 由分配律得 j jj | | cos| | cos() | | cos() ,222ACCBCABA jjj sinsin,aCcA也即 所以在锐角三角形中有：,CCB m 同理过 点作与垂直的单位向量BACabcjm .sinsincbCB可得 .sinsinacAC所以 .sinsinsinabcABC即jBACj探究新知探究新知. , ABCA 钝角 当是时不妨设为钝角（角如图）三形,() .(22)AACABCABC 过点作与垂直的单位向量则 与的夹角为与的夹角为 j j j ,ACCBAB 因为 ),(ACCBAB 所以 jj ,ACCBAB , 由分配律得 jjj | | cos| | cos() | | cos,22()2CAACCBAB 即 jjj sinsin,aCcA也即 .sinsinacAC所以,CCB 同理过 点作与 垂直的单位向量 可得 m, 所以在钝角三角形中同样有：.sinsincbCB .sinsinsinabcABC探究新知探究新知正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即.sinsinsinCcBbAa 这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更和谐优美，而且更突显了三角形边角关系的本质. 正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系.探究新知探究新知问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？第一类：已知两角和一边，解三角形.,ABCABc例如：在中已知则： () ,sin,sinsinsinsin,.sinsinsinCABCaccAaACCbccBbBCC(1)由求出；(2)由得；(3)由得 知识深化知识深化问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？第二类：已知两边和其中一边的对角，解三角形.,ABCbcB例如：在中已知则： sin,sin,sinsin() ,sin,.sinsinsinbccBCCBCbABCAabbAaABB(1)由得求出；(2)由求出；(3)由得 .sinsinsinabcABC知识深化知识深化,15 ,45 ,33 ,.7ABC A B c 例 在中已知 解这个三角形知识应用知识应用已知两角和一边,求其他的两边和一角. 解：由三角形内角和定理，sin15sin(4530 )又232162sin45 cos30cos45 sin30,22224由正弦定理，得(33)sin15sinsinsin120cAaC 180 18045 120 .()(15)CAB得知识应用知识应用62(33)231243( 31)= 2,4332a（）所以 sin3+ 3 sin45sinsin120cBbC（）2(33)232由正弦定理，得23( 31)2( 31)262.32已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角.知识应用知识应用解：由正弦定理，得sinsincBCb2sin302.22sinsin(6045 )A321262 , 22224622sin2sin1054 , 31.1sinsin302bAaB由正弦定理得sin60 cos45cos60 sin45 45 , 105 .CA(1)当时 , 30 , 30180 , 45 , 135 .cbBCCC因为 所以 于是或知识应用知识应用622sin2sin154 , 31.1sinsin302bAaB由正弦定理得sinsin(4530 )A ，4262122232230sin45cos30cos45sin(2) 135 , 15 .CA当时 , 三角上形有两解：综 45 , 105 , 31 ;CAa(1)135 , 15 , 31.CAa(2)注意：由三角函数的性质可知，在区间 内，正弦函数在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解.), 0()2, 0(),2(sin ,(0, )yx x知识应用知识应用sin , sin ,22abABRR即 , . 2 sin , 2 sin , 2 sin RaRAbRBcRC（教材54页第17题）证明：设三角形的外接圆的半径是则 .ABCR设的证外接圆的半是明：径 ,90 , Rt .ABCCABCOABCAB当是时的外接圆的圆心在直角的斜边角上三形Rt , sin , sin ,BCACABCABABAB在中2 sin , 2 sin .aRAbRB所以 知识拓展知识拓展22sin902 sin ,cRRRC又 2 sin , 2 sin , 2 sin.aRAbRBcRC所以 1 , , , ,ABCOO BAB当锐角三是时它的外接圆的圆心在三形角形内作过点的直角径1111Rt , sin , sinsin ,2BCaA BCBACBACAA BR在中即 .2 sinaRA所以 2 sin , 2 sin . , bRBcRC同理111 , , =90 ,ACABCACB连接则是直角三角形1 , , .BACBAC 由“同圆中同弧所对的圆周角相等” 得知识拓展知识拓展 , , . ABCAOABC当是时不妨设为钝角钝角三角形它的外接圆的圆心在外111Rt , sin , BCACBBACA B在中 .2 sinaRA所以 2 sin , 2 sin . , bRBcRC类似可证1111, , , , =90 ,O BABACACBACB作过点的直径连接则是直角三角形1 , 180 .BACBAC由“圆内接四边形的对角互补” 得1 sinsin 180sin ,2aBACBACBACR即知识拓展知识拓展 , , R 综上对任意三角形，如果它的外接圆的半径等于那么 ： 2 sin , 2 sin , 2 sin.aRAbRBcRC上述结论与正弦定理有什么关系？思考：s 2,2 sin , sin , 2in aRAbRBcRC将变形整理得2 .sinsinn2 siaAbcRABCRBC（其中为的外接圆的直径）知识拓展知识拓展5422,cos3 sin0 ,. a b c ABC A B C aCaCbc A （教材思页第题改编）已知分别为三且考题个内角的 对边求知识拓展知识拓展,2 , 2 sin , 2 sin 2 si sinssnn.iinaRAbRBcaRcRCCbAB有解：设 sincos3sinsinsinsin.,B ACACC 代入条件式得sincos3sinsins,insin ACACACC 即sincos3sinsinsinc,cosossinsin ACACACACC 所以3sinsincosi,s nsin ACACC 所以3sinco1 ,s AA 整理得312sincos122, AA 即 2 cossinsinc s166,o AA 即 6,1sin2 A 所以 6,50,66 A A 因为 .3,66 A A 所以 即sinsinsinabcABC课堂小结课堂小结2.利用正弦定理可以解决如下两类解三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他的两边和一角；(AAS或ASA)（2）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角.1.正弦定理：3.知识拓展： 2 , 2 sinsinsinabcRABABCRC;设的外接圆的直径为则： 2 sin , 2 sin , 2 sin sin , sin , sin .222abcaRAbRBcRCABCRRR;或课后作业：教材48页第1，2，3题.谢谢观看
