412圆的一般方程.ppt
4.1.2 圆的一般方程 （1 1）掌握圆的一般方程及其特点）掌握圆的一般方程及其特点（2 2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径圆心和半径（3 3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程（4 4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法法思考：思考： (1)(1)方程方程 表示什么图形？表示什么图形？222410 xyxy (2)(2)方程方程表示什么图形？表示什么图形？222460 xyxy对方程对方程222410 xyxy 配方，可得配方，可得22(1)(2)4xy此方程表示以此方程表示以为圆心，为圆心，2 2为半径的圆。为半径的圆。(1, 2)对方程对方程222460 xyxy配方，可得配方，可得22(1)(2)1xy 所以这个方程不表示任何图形。所以这个方程不表示任何图形。由于不存在点的坐标由于不存在点的坐标 满足此方程满足此方程, ,( , )x y探究：探究： 方程方程220 xyDxEyF在什么条件下表示圆？在什么条件下表示圆？配方可得：配方可得：把方程把方程220 xyDxEyF22224()()224DEDEFxy2240DEF（1 1）当）当时时方程方程220 xyDxEyF表示以表示以为圆心，为圆心，(,)22DE22142DEF为半径的圆。为半径的圆。2240DEF（2 2）当）当时，时，22224()()224DEDEFxy只有一解只有一解,22DExy 方程方程它表示一个点它表示一个点(,)22DE2240DEF（3 3）当）当时，时，22224()()224DEDEFxy没有实数解，它不表示任何图形。没有实数解，它不表示任何图形。方程方程结论：结论： 圆的一般方程圆的一般方程任何一个圆的方程都可以写成任何一个圆的方程都可以写成220 xyDxEyF反过来，当反过来，当 时，方程才表示一个圆，时，方程才表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程我们把它叫做圆的一般方程. .2240DEF的形式的形式标准方程：标准方程：图形特征一目了然，图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径；明确地指出了圆心和半径；一般方程：一般方程：突出了代数方程的形式结构突出了代数方程的形式结构，（1 1）x x2 2和和y y2 2系数相同，都不等于系数相同，都不等于0 0；（2 2）没有）没有xyxy这样的二次项这样的二次项. .思考思考1 1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？例例1 1：下列方程各表示什么图形：下列方程各表示什么图形? ?22(1)0 xy22(2)2460 xyxy222(3)20 xyaxb表示：原点表示：原点(0,0)(0,0)1211表示：圆心为（， ），半径为的圆；222200.abaab当时，表示：圆心为（， ），半径为的圆2200 0 .ab当时，表示一个点（ ， ）练习练习1 1：导学案：导学案2929页，题组二，例二页，题组二，例二解：解：设圆的方程为设圆的方程为220 xyDxEyF把点把点 的坐标代入得方程组的坐标代入得方程组12(0,0),(1,1),(4,2)OMM02042200FDEFDEF解这个方程组得解这个方程组得8,6,0DEF 故所求圆的方程为故所求圆的方程为22860 xyxy因此所求圆的圆心为因此所求圆的圆心为(4, 3),半径长为半径长为22145.2DEF例例2 2：求过三点：求过三点并求出圆心坐标和半径。并求出圆心坐标和半径。的圆的方程，的圆的方程，12(0,0),(1,1),(4,2)OMM用用“待定系数法待定系数法”求圆的方程的大致步骤：求圆的方程的大致步骤：（2 2）根据条件列出关于）根据条件列出关于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的方程组；的方程组；（1 1）根据题意，选择一般方程或标准方程；）根据题意，选择一般方程或标准方程；（3 3）解出）解出a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F，代入一般方程或标准方程。，代入一般方程或标准方程。练习练习2 2：等腰梯形等腰梯形ABCDABCD的底边长分别为的底边长分别为6 6和和4 4，高为，高为3 3，求，求这个等腰梯形的外接圆方程这个等腰梯形的外接圆方程简析：简析：以以ABAB所在直线为所在直线为x x轴，轴，ABAB的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，建轴，建立平面直角坐标系可求得方程为立平面直角坐标系可求得方程为22285()39xy例例3 3、已知线段、已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3),端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. .yx .O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A分析：分析：yx .O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A如图，点如图，点A A的运动引起点的运动引起点M M的运动，而点的运动，而点A A在圆上运动在圆上运动点点A A的坐标满足方程的坐标满足方程22(1)4xy建立点建立点M M的坐标与点的坐标与点A A的的坐标之间的关系，就可坐标之间的关系，就可以建立点以建立点M M的坐标满足的坐标满足的条件，求出点的条件，求出点M M的的轨迹方程轨迹方程解：解：设点设点M M的坐标是的坐标是设点设点A A的坐标是的坐标是( , ),x y00(,).xy由于点由于点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3), 且点且点M M是线段是线段ABAB的中点，所以的中点，所以0043,22xyxy于是有于是有0024,23(1)xxyy所以点所以点A A的坐标满足方程的坐标满足方程因为点因为点A A在圆在圆 上运动上运动，22(1)4xy22(1)4xy即即2200(1)4(2)xy把（把（1 1）代入（）代入（2 2）得）得22(24 1)(23)4xy 整理得整理得2233()()122xy所以点所以点M M的轨迹是以的轨迹是以 为圆心，半径长为为圆心，半径长为1 1的圆。的圆。3 3( , )2 2小结：一个动点随着另一个动点的改变在改变的轨迹问题，常用方法：转代法（或代入法）。练习练习1 1：导学案：导学案2929页，题组四，例二页，题组四，例二4 4已知已知ABCABC的边的边ABAB长为长为2a2a，若，若BCBC的中线为定长的中线为定长m m，求顶，求顶点点C C的轨迹方程的轨迹方程. .解：解：由题意，以由题意，以ABAB中点为原点，边中点为原点，边ABAB所在的直线为所在的直线为x x轴建轴建立直角坐标系立直角坐标系, ,如图，则如图，则A(A(a a，0)0)，B(aB(a，0),0),设设C(xC(x，y)y)，则则BCBC中点为中点为E E(,)22xa y因为因为|AE|=m|AE|=m，所以，所以 22()( )22xayam化简得化简得(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2=4m=4m2 2. .由于点由于点C C在直线在直线ABAB上时，不能构成三角形，故去上时，不能构成三角形，故去掉曲线与掉曲线与x x轴的两个交点，轴的两个交点，从而所求的轨迹方程是从而所求的轨迹方程是(x+3a)(x+3a)2 2+y+y2 2=4m=4m2 2. . (y0)(y0)1 1圆圆x x2 2+y+y2 2+4x+26y+b+4x+26y+b2 2=0=0与坐标轴相切，那么与坐标轴相切，那么b b可以取的值（可以取的值（ ）（A A）2 2或或13 13 （B B）1 1或或2 2（C C）1 1或或2 2 （D D）1 1或或1 1A A3 3若方程若方程x x2 2+y+y2 2+ax+2ay+2a+ax+2ay+2a2 2+a+a1=01=0表示圆，则表示圆，则a a的取值的取值范围是范围是 。 2( 2, )34 4三角形三角形ABCABC的三个顶点的三个顶点A A(1(1，4)4)，B B( (2 2，3)3)，C C(4(4，5)5)，则则ABCABC的外接圆方程是的外接圆方程是_. . x2+y22x+2y23=02 2方程方程x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2+x+y+x+y2=02=0表示的曲线是（表示的曲线是（ ）（A A）两条相交直线）两条相交直线 （B B）两条平行直线）两条平行直线（C C）不是圆也不是直线）不是圆也不是直线 （D D）圆）圆B B (1) (1) 任何一个圆的方程都可以写任何一个圆的方程都可以写x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的形式，但的形式，但是方程是方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆的曲线不一定是圆, ,只有在只有在D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0时，时，表示圆心为表示圆心为 , ,半径为半径为 的圆。的圆。)2,2(EDFEDr42122（2 2）利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易求出圆心坐）利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易求出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题标和半径或需用圆心坐标列方程的问题, ,一般采用圆的标准方程一般采用圆的标准方程, ,否否则用圆的则用圆的一般方程一般方程。
