圆锥曲线方程.ppt

第八章 圆锥曲线方程双曲线* 圆锥曲线因为有很多比如对称、离心等优良完美的性质，在我们平常生活中的建筑、美学等领域应用非常广泛，特别像椭圆在航天领域的运用、双曲线在航海领域的运用、抛物线在军事领域的运用，使人类科技发展更是垫下了夯实的基石。双曲线是圆锥曲线的成员之一，对它的学习，也为以后对双曲面的学习打下基础。 （罗兰长程航海定位法）8.3 双曲线及其标准方程1. 到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆( (动画1) )所示。 其中：F1、F2都是平面上的定点，且P到F1和F2的距离之和为定值5cm，按此关系得到的点P的轨迹是一个椭圆。2. 那如果到两个定点的距离之差为非零常数的点，会有特定的轨迹吗？ 例：B是圆A外一定点，在圆A上取一动点D，过直线A、D有一条直线，连B、D。取BD的中点为E，过E作线段BD的垂线m，当m与AD不平行时，找出直线m与直线AD的交点P的轨迹？解：令圆A的半径为r( 0r0），P与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.设P的坐标为（x,y）。 则由定义： |PF1|= |PF2|= |PF1|- |PF2|= 2a22()xcy22()xcy 化简得： 由双曲线的定义可知，2c2a,令 方程等价于： 即为双曲线的标准方程( (动画3) )。 22222222()()caxa ya ca2220bca22221(0,0).xyabab8.4 双曲线的简单几何性质双曲线的标准方程(焦点在x轴)为(焦点在y轴上如( (动画3) )： 1. 范围 由 知 即 ；显然 。2. 对称性 将x换成-x，y换成-y，方程仍成立，故横、纵坐标轴都是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。把双曲线的对称中心叫做双曲线的中心双曲线的中心。22221(0,0)xyabab220yb221xa22xaaxa yR3. 顶点 令y=0得x= a ,因此，双曲线和x轴有两个交点 A1(-a,0）、A2(a,0)。因为x轴是双曲线的对称轴,所 以这两个交点称为双曲线的顶点顶点。尽管令x=0,得 ,这个方程没有实根，即与y轴没有交点， 但为了便于研究(比如表示渐近线)，仍把B1(0,-b)、 B2(0,b)画在y轴上。 把线段A1A2叫做双曲线的实轴实轴，它的长为2a，a 叫做双曲线的实半轴长实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴虚轴 它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长虚半轴长。22yb 4.4. 渐近线渐近线 所谓的渐近线，就是某曲线无限的靠 近而又不与之相交的曲线。 双曲线的渐近线是两条相 交的直线，如右图示： 求直线m,n的方程最简便的 方法是：将 22221xyab改写为： 。 得 。 之所以这样做，是因为双曲线上的点P的坐标为(x, ),可以写成: P22220 xyabbyxa 22bxaa2( ,1 ( ) )baxxax 当x无限增大时， a/x无限减小，接近于0，当接近于的0时候， P点的坐标就可视为p(x,bx/a)(极限), 这时的OP所在直线的斜率(b/a)就接近直线 m的斜率(b/a)。其它象限类似。 特别地，当 a与b相等时，实轴与虚轴相等，渐近线y= x 。像这样，实轴与虚轴相等的双曲线叫做等轴双等轴双曲线曲线。 如图： 渐近线的斜率k= 1 5.离心率离心率 双曲线的焦距与实轴长的比值e=c/a，叫做双曲线的离心率。因为总有ca0，所以双曲线的离心率e1。可知，e越大，双曲线的开口越阔。222cab2221bcaeaa例题：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：x= /c的距离之比是常数c/a(ca0),求点M的轨迹。 解：已知F(c,0)，设M(x,y),由题意： MF/d=c/a 将坐标代入，有 化简得 设2a222()|xcycaaxc22222222()()caxa ya ca222()cab得： 。6.6. 准线准线 由该例题可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离比是常数e=c/a(e1)时，这个点的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线准线。e是该双曲线的离心率.相应于焦点F(c,0)的准线方程是x=aa/c( (动画4) )，相应于焦点F(-c,0）的准线方程是x=-aa/c。所有的双曲线都有两条准线。22221(0,0)xyabab