133函数的最值.ppt
一、复习与引入一、复习与引入1.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方值的方 法是法是: 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0) 是极大值是极大值; 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0) 是极小值是极小值.0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到取到.3.在某些问题中在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大哪个值最大,哪个值最小哪个值最小,而不是极值而不是极值.二、新课二、新课函数的最值函数的最值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一观察右边一个定义在区间个定义在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象.发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 导数的应用导数的应用-求函数最值求函数最值. . (2) (2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处端点处) )比较比较, ,其其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. . 求求f(x)在在闭区间闭区间 a, ,b 上的最值的步骤上的最值的步骤(1)(1)求求f(x)在区间在区间( (a, ,b) )内极值内极值( (极大值或极小值极大值或极小值) )求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论是在整体范围内讨论问题问题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内的内的可导函数不一定有最值可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极值必是则此极值必是函数的最值函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而而函数的极值则可能不止一个函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值).三、例题选讲三、例题选讲例例1:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大上的最大值与最小值值与最小值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y当当x变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.例例2、函数函数 y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最大值上的最大值为为 ,最小值为最小值为 .分析分析: (1) 由由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间区间4 , 4 端点处的函数值为端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76得得x1=3，x2=1 函数值为函数值为f (3)=27, f (1)=5当当x变化时，变化时，y 、 y的变化情况如下表：的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1) 1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，比较以上各函数值，可知函数在可知函数在4 , 4 上的最大值为上的最大值为 f (4) =76，最小值为最小值为 f (1)=5求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:4,2,71862)() 1 (23xxxxxf练习练习:最大值最大值 f (1)=3，最小值，最小值 f (3)= 61（0404浙江文浙江文2121）（本题满分）（本题满分1212分）分）已知已知a a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若）若 ，求，求 在在-2-2，22上的上的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若）若 在（在（-，-2-2和和22，+）上）上都是递增的，求都是递增的，求a a的取值范围。的取值范围。)(4()(2axxxf )(xf 0)1( f)(xf)(xf例例3五、小结五、小结1.求在求在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在a,b上的上的 最值的步骤最值的步骤: (1)求求f(x)在在(a,b)内的极值内的极值; (2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个其中最大的一个 是最大值是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.2.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在(a,b)内未内未 必有最大值与最小值必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话上有个别不可导点的话,不不 要忘记在步骤要忘记在步骤(2)中中,要把这些点的函数值与各极值要把这些点的函数值与各极值 和和f(a)、f(b)放在一起比较放在一起比较.
