高中数学 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修1.ppt
一、复习回顾：一、复习回顾：l.FMd.xOyK抛物线标准方程抛物线标准方程0p 是焦准距22ypx1、抛物线的定义：、抛物线的定义：平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l (l不经不经过点过点F )的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做。定点定点F叫做抛物线的叫做抛物线的。定直线定直线l 叫做抛物线的叫做抛物线的。 标准方程标准方程 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo)0 ,2(pF.yxoF2px)2,0(pF.xoyF2py)0(22ppxy)0 ,2(pF 2px ) 0(22ppyx)2,0(pF2py 2、抛物线的标准方程：、抛物线的标准方程：（3）抛物线方程是）抛物线方程是2x2+5y=0 ,即x2=- y, 2p= 2525则焦点坐标是则焦点坐标是F（0，- ）, 准线方程是准线方程是y= 858533:(, 0 ),22x 解 ( 1 )焦 点 坐 标准 线 方 程yx21218y(2)焦点坐标是焦点坐标是 准线方程是准线方程是81, 0练习：练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；41（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或或 x2 = -4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）116y= - 1168x= 5（- ，0）58（0，-2）y=241 oxyA思考题：思考题：抛物线的方程为抛物线的方程为x=ay2（a0)求它的焦点坐标和准线求它的焦点坐标和准线方程？方程？抛物线的方程为抛物线的方程为x=ay2（a0)求它的求它的焦点坐标和准线方程？焦点坐标和准线方程？解：抛物线标准方程为：解：抛物线标准方程为：y2= x1a2p=1 a4a1焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x=4a1当当a0时时, , 抛物线的开口向右抛物线的开口向右p2=14a例例5点点M到点到点F(4，0)的距离比它到直线的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小的距离小 1，求点求点M的轨迹方程。的轨迹方程。|MF|+1=|x+5|ly.oxMF解（直接法）：解（直接法）：设设 M(x，y)，则，则由已知，得由已知，得51)4(22xyx即化简得xy162.的轨迹方程即为点 M另解另解(定义法定义法)：由已知，得点由已知，得点M到点到点F(4，0)的距离等于它到直线的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离的距离.由抛物线定义知：由抛物线定义知：点点M的轨迹是以的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线为焦点的抛物线.，42p.8 p.162xyM的轨迹方程为故点结合抛物线结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形的标准方程和图形,探索其的几何性质探索其的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点类比探索类比探索x0,yR关于关于x轴对称轴对称,对称轴又叫抛物线的轴对称轴又叫抛物线的轴抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.二、讲授新课：二、讲授新课：.yxoF(4)离心率离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做距离的比，叫做抛物线的离心率抛物线的离心率，用用e e表表示，由抛物线的定义可知，示，由抛物线的定义可知，e=1e=1 只有一个顶点只有一个顶点方程图形范围对称性顶点离心率y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）e=1补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔 图图.gsp（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。反映抛物线基本特征的草图。XY抛物线的基本元素 y2=2px 填空练习填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？较，抛物线的几何性质有什么特点？ （1 1）抛物线只位于）抛物线只位于 个坐标平面内，它可以无限个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；延伸，但没有渐近线； （2 2）抛物线只有）抛物线只有 条对称轴，条对称轴， 对称中心；对称中心；（3 3）抛物线只有）抛物线只有 个顶点、个顶点、 个焦点、个焦点、 条准线；条准线；（4 4）抛物线的离心率是确定的，其值为）抛物线的离心率是确定的，其值为 半1无1111 （5 5）一次项系数的绝对值越大，开口越）一次项系数的绝对值越大，开口越大大 例例1 1 已知抛物线关于已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点 ，求它的标准方程，并用描，求它的标准方程，并用描点法画出图形点法画出图形 x22, 2 M 则将则将M M点代入得：点代入得： 2 2 = 2p= 2p2 2 解得：解得：p=2p=2 因此所求方程为：因此所求方程为：y y2 2=4x =4x )22(列表：列表：描点及连线：描点及连线：oyx 0 1 2 3 4 5 0 0.25 1 2.25 4 6.25 解：解：由已知可设抛物线的标准方程为由已知可设抛物线的标准方程为y y2 2=2px=2px（p0p0）三、例题选讲：三、例题选讲：2 2 思考思考: :顶点在坐标原点顶点在坐标原点, ,对称轴是对称轴是坐标轴坐标轴, ,并且经过点并且经过点M(2M(2， ) )的抛的抛物线有几条物线有几条? ?求出它们的标准方程求出它们的标准方程. .解：因为抛物线关于对称轴对称，它的顶点在原点，解：因为抛物线关于对称轴对称，它的顶点在原点，并且经过点并且经过点M（2， ），所以可设它的标准方程），所以可设它的标准方程为为因为点因为点M在抛物线上，所以在抛物线上，所以 即即因此，所求抛物线的标准方程是因此，所求抛物线的标准方程是22)0(2222ppyxpxy或) 22(22 222222pp或）（222pp或yxxy2422或1lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法1 1 F1(1 , 0), 121232 232 2 22 222 2xxyy或2 22 21 12 21 12 2A AB B = = ( (x x - -x x ) ) + +( (y y - -y y ) ) = = 8 81lyx的方程为：2216104yxxxyx22 =116418AB 22121214kxxx x 解法解法2 2 F1(1 , 0), 1 12 21 1 2 2x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 11lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法3 3 F1(1 , 0), 1 12 21 1 2 2x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 1 |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8ABFA1B1P12推广.焦点弦公式 AB =x +x.解法解法4 4ABFA1B1KH , , 同理同理1cospFB , , 221cos1cos22 2 8sinsin 45ppABp 1cospFA A.FxOyB),(),(2211yxByxA解：如图设pxxBFAFAB21|则时当90pAB2|时当90 )2(tan:pxylAB设pxypxy2)2(tan2联立0tan4)2tan(tan22222pxppx2221tan2tanppxx) 1tan2tan(|22pAB22tan1tan2p2sin2pp2pAB2|90min时，综上，当2:2:过抛物线过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点F F作倾斜角为作倾斜角为的直线交抛物线的直线交抛物线于于A A、B B两点，求两点，求|AB|AB|的最小值。的最小值。22,sinP推广2.若AB的倾斜角为求证 AB =.12coscos,1cos1cos2.sinAFBBAFPPPPAFPAB1证明: AB =+ BF= AABF又BF2223sin2sinAOBPpS推广AB =2P通径最短.另外1124 :A FB FP推 广.A.FxOyB方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）例例3在抛物线在抛物线 y2=8x 上求一点上求一点P，使，使P到焦点到焦点F 的距离与到的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。的距离的和最小，并求最小值。解：解：知：由xy82，82p4 p此抛物线的焦点坐标是，) 02(F准线方程是.2xK.的距离到准线的距离等于到焦点由定义知：lPFP. |PKPF 即|PQPKPQPF三点共线时，显然，当KPQ.|有最小值PQPK ，此时) 181(P.6)2(4) | (min PQPF例例3、过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A,B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切证明：如图 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则AFAD，BFBCABAFBFADBC=2EH2211221 22(0)( , ), ( ,),:.ypx pA BA x yB x yy yp例4、过抛物线焦点作直线交抛物线于， 两点，设求证QPBA,为点作准线的垂线，垂足，解：过)0 ,2(),2(),2(21pFypQypPQFPF 0QFPF0),(),(21ypyp即0212yyp221pyy即4221pxx易得：FxOyABPQ练习练习: : 已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2, ,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小中点纵坐标的最小值。值。FABM解：),(),(),(002211yxMAByxByxA中点设bkxylAB:设2xybkxy02bkxx241|22bkkAB由弦长bxxkyyy)2(221210bk2241122kkb220114kky41114122kk43411)1(时，取等号当k43min0y41:xylAB此时xoy练习：练习： 已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2, ,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小中点纵坐标的最小值。值。解法二：),(),(),(002211yxMAByxByxA中点设xoyFABMCND,2BCADMN,41200yypMNBFBCAFAD,)41(20yBFAF2,ABBFAFABF中)41(20yBCAD2|)|(|minBFAF43min0y即 例例 抛物线抛物线y2=4x的焦点为的焦点为F, 点点M在抛物线上运动在抛物线上运动, A(2,2), 试求试求|MA|+|MF|的最小值的最小值.MFAA1M1解解 |MA|+|MF| =|MA|+|MM1| |AA1|=3即即 |MA|+|MF|的最小值为的最小值为3. 练习练习 抛物线抛物线y2=4x上的上的点点M到准线距离为到准线距离为d, A(2,4), 试求试求|MA|+d的最小值的最小值.MFAd 2320.ypx p例 、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线（）上，求这个正三角形的边长yOxBA.|.0200. 02022|.222121212121212221222221212221212211轴对称关于，即线段由此可得，）（，即：，所以：又，），则，）、（，线上，且坐标分别为（在抛物、的顶点解：如图，设正三角形xAByyxxpxxpxxxxpxpxxxyxyxOBOApxypxyyxyxBAOAB.342|.322.3330tan301121111pyABpypyxxyAOxABxoo，所以，且轴垂直于因为 1 1、知识小结：知识小结：抛物线的性质和抛物线的性质和椭圆与双曲线比较起来，差别较大椭圆与双曲线比较起来，差别较大: :它的离心率等于它的离心率等于1 1；它只有一个焦；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；没有对称中心；没有渐近线。准线；没有对称中心；没有渐近线。小结小结 2 2、方法小结：方法小结：利用类比的方法利用类比的方法学习了抛物线的几何性质；注意数学习了抛物线的几何性质；注意数形结合的应用。形结合的应用。
