椭圆简单的几何性质.ppt

8.2椭圆的简单几何性质1.椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的）的动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:b2=a2-c2|)|2(2|2121FFaaPFPF当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时)0( 12222babyax)0( 12222babxay二、二、椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质12222byax 由由 1, 1 得得 22xa22yb oyB2B1A1A2F1F2cab1、范围范围-axa, -byb 知椭圆落在x=a,y= b围成的矩形中YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22221(0)xyabab2、对称性、对称性：关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称3、椭圆的顶点、椭圆的顶点)0(12222babyax令令 x=0，得，得 y=？说明椭圆与？说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴。和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。 oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)4、椭圆的离心率椭圆的离心率cea离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。2离心率的取值范围：离心率的取值范围：3离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，椭就越小，椭圆就越扁圆就越扁2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越大，椭就越大，椭圆就越圆圆就越圆1e与与a,b的关系的关系:222221ababaace0ebabce =, ( o e b离心率离心率abcabc的关系的关系 b2=a2-c222221(0)xyabab, (01)ceea22221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前例3、椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离心率 ，求椭圆的标准方程23e解：（1）当（0，2）点是短轴端点时 所以a=232cea又3 1cb1422yx是所求的椭圆的标准方程（2）当（0，2）点是长轴端点时 所以b=22232cabeaa又4a 所 以221164xy所求的椭圆的标准方程是2222114164yxyx 综上所述，椭圆的标准方程是或练习1、求下列椭圆的长轴和短轴长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标14(2) 100425) 1 (2222yxyx答案：（1）长轴长为10，短轴长为4，焦距为离心率为 顶点为（2，0） （-2，0）（0，5）（0，-5）焦点坐标为（0， ） （0， ）2125212121(2)长轴长为2，短轴长为1，焦距为离心率为 顶点为（2，0） （-1，0）（0，0.5）（0，-0.5）焦点坐标为（0， ） （0， ）32323322、椭圆以两坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，3），另一个顶点是（-12，0）则焦点坐标为（ ）)5, 0( )13, 0( )12, 0( ),13(DCBoA）的值是（则的离心率、若椭圆 ,21194322keykx4118 1421 8 21或或DCBADD yxoF1 1F2 2M012222babyaxA1B1复习：椭圆的几何性质复习：椭圆的几何性质b-ba-a1、范围范围： x ， y .A2B22、顶点顶点:3、对称性：椭圆既是、对称性：椭圆既是 对称图形，对称图形，也是也是 对称图形对称图形. 轴轴中心中心4、离心率、离心率:e=( eb0)(ab0)问题问题1问题问题2求曲线的方程的步骤有哪些？建系设点 列方程化简 最后别忘了检验 点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l：xa2/c的距离的比是常数e=c/a(ac0)，求点M的轨迹。探究：探究：解：设d是点M到直线L的距离，由题意知所求轨迹就是集合： 由此得 将上式两边平方，并化简，得 设就可化成 这就是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是焦点在x轴，长轴、短轴长分别2a,2b的椭圆当点M与定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e=c/a(0e1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 对于椭圆x2/a2y2/b21，相应于焦点F2(c,0)的准线方程是l：xa2/c，根据椭圆对称性，相应于焦点F1(c,0)的准线方程是l：xa2/c；注注 意：意：（1）焦点和准线是对应的。）焦点和准线是对应的。对于椭圆x2/b2y2/a21：相应于焦点F2(0,c)的准线方程是l：ya2/c相应于焦点F1(0,c)的准线方程是l：ya2/c。 椭圆上的点M与焦点F和它到准线l(与焦点F相对应的准线)的距离的比。（2）离心率的几何意义：）离心率的几何意义：（3）解题常用到的相关量：）解题常用到的相关量：除了a、b、c、e外两准线间的距离：2a2/c焦点到相应准线的距离-焦准距p: p=a2/c-c=b2/c例题分析例题分析例1求椭圆4x2y21的x、y的范围，长轴长，短轴长，离心率，焦点与顶点坐标，准线方程。解：范围：1/2x1/2,1y1 长轴长2a2，短轴长2b1 顶点(0,1),(1/2,0) 焦点 离心率 准线方程 23e332y)23,0(F，它到左准线的距离上有一点椭圆例Pyx19252.22到到右右焦焦点点的的距距离离。，求求等等于于P5 . 2解法解法1：解法解法2：,21ddP、到左、右准线的距离为到左、右准线的距离为如右图所示，设如右图所示，设, 5 .124502221 cadd则则5 . 21 d又又102 d5422 edPF又又810545422 dPF. 8到到右右焦焦点点的的距距离离为为即即所所求求点点P5 . 254111 dedPF及及由由25411 dPF得：得：10221 aPFPF又又81012 PFPF. 8到到右右焦焦点点的的距距离离为为即即所所求求点点P 课堂练习：1、椭圆的x2/9+y2/25=1准线方程是（）A 、 x=+25/4 B、 y=+16/5C、 x=+16/5 D、y=+25/42、椭圆x2/25+y2/16=1上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到相应的准线的距离是 5D3、椭圆x2/4+y2=1上一点到右焦点的距离是3/2，则到左准线的距离是 4、设P是椭圆x2/100+y2/36=1上一点，P到左准线的距离是10，则P到右准线的距离是（ ）A、6 B、8 C、10 D、15D53/3 .5、已知椭圆x2/25+y2=1，点M(4,y0)在椭圆上，求点M到两个焦点的距离。6、求中心在原点，离心率为6/3，且一条准线方程是y=3的椭圆方程。到左焦点距离是到左焦点距离是37/5，到右焦点距离是，到右焦点距离是13/5y2/6+x2/2=1课后反思课后反思 椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率，它反映了椭圆的扁圆程度，也沟通了椭圆上的点的焦半径与到相应准线距离之间的关系，同时要注意椭圆的准线方程与焦点所在的位置的关系。的的距距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点若若点点)0(),(cFyxM思考上面探究问题，并回答下列问题：思考上面探究问题，并回答下列问题：的的距距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点）若若点点（)0(),(3cFyxM 的的，此此时时点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mcaaccaxl)0(:2 ？轨轨迹迹还还是是同同一一个个椭椭圆圆吗吗时时，对对应应，定定直直线线改改为为，）当当定定点点改改为为（caylcF2:)0(4 ？的的轨轨迹迹方方程程又又是是怎怎样样呢呢探究：的的轨轨迹迹。，求求点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mcaaccaxl)0(:2 （1）用坐标法如何求出其）用坐标法如何求出其轨迹方程轨迹方程，并说出轨迹，并说出轨迹（2）给椭圆下一个新的定义）给椭圆下一个新的定义12222byax已知椭圆 上的一点P的横坐标是x0，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求PF2=?(ab0)|PF1|a+ex0，|PF2|aex0 焦半径公式焦半径公式椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。定义定义 1图图 形形定义定义 2平面内与平面内与一个定点的距一个定点的距离和它到一条离和它到一条定直线的距离定直线的距离的比是常数的比是常数)10( eace的的点点的的轨轨迹迹。)0 ,()0 ,(21cFcF、焦点：焦点： ),0(),0(21cFcF、焦焦点点： cax2 准线：准线：cay2 准线：准线：、两两个个定定点点1F的距离的和的距离的和2F等于常数（大等于常数（大）的点）的点于于21FF的轨迹。的轨迹。平面内与平面内与基础练习基础练习: :6 .A8 .B10.C15.D1 .A2 .B3 .C7 .D则则的的一一条条准准线线方方程程是是已已知知椭椭圆圆,29194.422 yymx）的值是（的值是（mDA，到到左左准准线线的的距距离离为为上上一一点点，为为椭椭圆圆设设10136100. 222PyxP ）到右准线的距离为（到右准线的距离为（则则P，则则它它到到到到一一个个焦焦点点的的距距离离等等于于上上一一点点椭椭圆圆311625. 122Pyx 。相相对对应应准准线线的的距距离离是是，轴上，一条准线方程是轴上，一条准线方程是长轴在长轴在已知椭圆中心在原点，已知椭圆中心在原点，3. 3 xx。，则该椭圆的方程为，则该椭圆的方程为离心率为离心率为3551920522 yx定义：定义：注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。一一个个定定点点的的距距平面内与平面内与离离和和它它到到一一条条定定直直线线的的距距离离 的的比比是是常常数数)10( eace的的点点的的轨轨迹迹。定点定点是椭圆的焦点，是椭圆的焦点，定直线定直线叫做椭圆的准线。叫做椭圆的准线。求求轨轨迹迹就就是是集集合合的的距距离离，根根据据题题意意，所所直直线线是是点点解解：设设lMd, acdMFMP由由此此可可得得：.)(222acxcaycx 简简，得得将将上上式式两两边边平平方方，并并化化).()22222222caayaxca （则方程可化成则方程可化成设设,222bca ).0( 12222 babyax的的轨轨迹迹是是长长轴轴、短短轴轴长长所所以以点点这这是是椭椭圆圆的的标标准准方方程程，M.22的椭圆的椭圆、分别为分别为ba.,54 425:)0 , 4(),(:6 的的轨轨迹迹求求点点的的距距离离的的比比是是常常数数的的距距离离和和它它到到直直线线与与定定点点点点例例MxlFyxM 1925610 , 1925 ,225 259 , .54425)4( ,54 ,425:22222222 yxxMyxyxxyxdMFMPMxlMd的的椭椭圆圆，其其轨轨迹迹方方程程是是、为为轴轴，长长轴轴、短短轴轴长长分分别别的的轨轨迹迹是是焦焦点点在在点点所所以以即即并并化化简简得得将将上上式式两两边边平平方方由由此此得得迹迹就就是是集集合合的的轨轨点点根根据据题题意意的的距距离离到到直直线线是是点点设设解解Hd椭圆的简单的几何性质椭圆的简单的几何性质第四课时第四课时椭圆的参数方程椭圆的参数方程目目 标标1、了解椭圆的参数方程、了解椭圆的参数方程,理解参数方程中理解参数方程中系数系数a、b和参数和参数的几何意义的几何意义;2、会用椭圆参数方程解决有关问题、会用椭圆参数方程解决有关问题.椭圆的准线与离心率椭圆的准线与离心率离心率离心率：椭圆的准线椭圆的准线 方程方程：2axcceaoxyMLLFF离心率的范围离心率的范围：01e相对应焦点相对应焦点F（c,0），准线方程是：），准线方程是：相对应焦点相对应焦点F（- c,0），准线方程是：），准线方程是：2axc2axc复习复习椭圆的有关几何量1.两准线间距离2.焦半径: EF1F2F1M.2M),(yxM22dcaM F1= a+ex, MF2= a-ex .1.圆圆x2+y2=r2(r0)的参数方程的参数方程:2.圆圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程的参数方程:其中参数的几何意义为其中参数的几何意义为: 猜想猜想椭圆椭圆 的参数方程为？的参数方程为？22221(0)xyababcos()sinxryr为参数cos()sinxarybr为参数为旋转角为旋转角参数方程的实质参数方程的实质: :三角换元三角换元新课探究问题1:22221( , ),?xyP x yab对于椭圆上的点能否借鉴圆的方法进行一种三角代换22222222cossincossin1,cos ,sin ,cossin1,().(1)x ay bxyxyabab联想令则则为参数与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.问题2:椭圆的参数方程中 ，a,b, 的含义是什么?探求新知例1 如图,以原点为圆心,分别以a、b(ab0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。分析：本题是给定条件求轨迹问题，请同学们观察并思考下列各问题：（1）动点A、B、N、M分别是如何运动的？相互关系如何？其中最主要的动点是哪个点？（2）动点M是如何产生的？M的坐标与点A、B的坐标的关系如何？（3）什么是参数方程？如何设出恰当的参数？ M N B A x O y例例1：如图，以原点为圆心，分别以如图，以原点为圆心，分别以 a、b（ab0)为半径作为半径作两圆两圆.点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过点与小圆的交点，过点A作作 ANOx ，垂足为垂足为N，过点，过点 B作作 BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。解：解：.)(为终边的正角为始边，是以，设OAOxyxM为参数，则取ONx ，cos|OANMy .sin|OBsincosbyax即)( 为参数.的轨迹参数方程这就是点MxOyAMNBsincosbyax12222byaxsincosbyax将)( 为参数，得消去参数，的轨迹是椭圆点Mxa cosybsin方程.是椭圆的参数方程)( 为参数.22心角的几何意义为椭圆的离参数轴长，分别是椭圆的长轴、短、其中baxOyAMNB说说 明明由图形可知由图形可知:椭圆上到中心距椭圆上到中心距离最远的点为两长轴端点离最远的点为两长轴端点,最最长距离为长距离为a; 最近的点为短轴最近的点为短轴两端点两端点,最短距离为最短距离为b.圆和椭圆的参数方程的比较圆和椭圆的参数方程的比较名称方程参数的意义圆椭圆(a,b)为圆心为圆心,r为半径为半径cos()sinxa ryb r 为参数cos()sinxayb为参数a为长半轴长为长半轴长,b为短为短半轴长半轴长; 为离心角为离心角练习练习1把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参普通方程化为参数方程数方程.3cos(1)()5sinxy为参数22(2)1259xy例例2.P(x,y)为椭圆为椭圆 上任意一点上任意一点,(1)求求3x+4y的取值范围的取值范围;(2)求求x2+y2的最值的最值.22221(0)xyabab解：由已知可设解：由已知可设xacos ,ybsin3x4y3a cos4bsin 229a16b sin() 22229a16b3x4y9a16b 222222xya cosb sin 2222(ab )cosb 2222bxya知识应用 例3:如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.解1:把直线l平移至首次与椭圆相切,切点就是所求的点P,即:设l1的方程为x-y+m=0 ,整理得9y2-2my+m2-8=0,=4m2-49(m2-8)=0,解得m=3.由图形可知m=3,l1首先与椭圆相切,此时 ,即9y2-6y+1=0.XYlOx-y+m=0X2+8y2=8x-y+3=0X2+8y2=8881133334 3222,.yxPd代入可得即（ ，），最小距离例3:如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.XYlOP2 21332 2cossin3(cossin) 42 2cossin442223sin() 422 2133212222 213381332,2 2cos ,sin ),sin,cos,cossin,sincos, ).xyx yPddP 解 ：将椭圆的方程化为参数方程得所以可设点 为（其中当时， 有最小值即，此时即（例42100641y2x已知椭圆有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD的最大面积.:,(10cos,8sin)4 10 cos8 sin320 sincos160 sin 2160.4ABCDAS解 由椭圆的对称性可知 矩形可分为四个部分如图,设当时有最大值222.(1,0),1,.4xAyPPA已知点椭圆点 在椭圆上移动 求的最小值2222222:(2cos ,sin ),(2cos1)sin4cos4cos1 sin123cos4cos23(cos),23226cos,.333PPAPA 解 设则当时的最小值为课堂小结n本节课学习了椭圆的参数方程及 的几何意义。n通过学习我们对椭圆有了更深入的了解，椭圆的两种定义，两种方程都是等价的，可以互相转化。n椭圆的参数方程应用广泛，特别是求有关最值问题，常比普通方程更简洁。解：解：)sincos(baA，如图，设sincos4baSABCD矩形则由椭圆的对称性得：ABCDOxy2sin2ab.245maxabSABCD）（时，当矩形.)0(12222值的内接矩形面积的最大求椭圆练习练习2 2：babyax解：解：由已知可设，cos12x.sin5y则sin5cos12yxu)sin(13)sin135cos1312(131313u yoF1 1F2 2x.125144)(322的取值范围求上的点，是椭圆，：已知练习yxuyxyxP方法一：)( sin1cosRyx令sin44cos343) 1 ( yx4)sin(59 , 11cos3sin1cos2sin112)2(xy1cos3sint令3cossintt213)sin(tt341|13|2ttt4 , 0sin221sin2sincos) 3(2222yx的范围求的范围；求的范围；求满足 设实数对比：对比：2222) 3(12)2(43) 1 (, 1) 1(,yxxyyxyxyxyxOA方法二：yxz43) 1 (令143|4|22zd91或 z9 , 143yx) 1()2()2(xyk令02 kykx11|21|22kkd34 k),3412xy4 , 0) 3(22 yx从图形位置关系角度出发考虑从图形位置关系角度出发考虑的范围求的范围；求的范围；求满足 设实数2222) 3(12)2(43) 1 (, 1) 1(,yxxyyxyxyx解：.)20(sin3cos32的最大值，求，满足，如果实数xyyxyxsin3cos32yx)20(由得3)2(22yx，则设kxy0 ykx.0有最值相切时，与圆由图知当此直线kCykxC3) 1(|02|22kk此时3 k3)(maxxy(1)椭圆的参数方程及椭圆的参数方程及a,b,的几何意义的几何意义.(2)椭圆的参数方程的应用椭圆的参数方程的应用.