222椭圆的几何性质1.ppt
1.椭圆的定义椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的）的动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。3.椭圆中椭圆中a,b,c的关系是的关系是:b2=a2-c2|)|2(2|2121FFaaPFPF复习回顾复习回顾2.标准方程标准方程:焦点在焦点在 轴上：轴上：x222210 xyabab 222210yxa bab 焦点在焦点在 轴上：轴上：yF2F1Oxy椭圆关于y轴对称。椭圆关于x轴对称。二、二、椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质12222byax1、对称性、对称性 A2A1A2F2F1Oxy椭圆关于原点对称。1、对称性、对称性 1、 对称性对称性yxOP3（-x，-y）P1（-x，y）P（x，y）P2（x，-y）从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称。轴、原点对称。从方程上看：从方程上看：22221xyab椭圆上椭圆上任意任意一点一点P(x,y)关于关于y轴的对称点是轴的对称点是同理同理椭圆关于椭圆关于x轴对称轴对称 关于关于原点原点对称对称即即P1在椭圆上在椭圆上,则椭圆则椭圆 关于关于y轴对称轴对称22221xyabP1 (-x,y)2222xyab,.xy综上： 椭圆关于 轴、 轴对称 这时 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是 椭圆的对 称中心 椭圆的椭圆对称中心做的中心叫二、二、椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质12222byax1、对称性、对称性 F1F2 oyx2、顶点顶点) 0( 12222babyax令令 x=0，得，得 y =？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y 轴有几个的交点？轴有几个的交点？(0,b)(0,-b)(a，0)(-a，0)令令 y=0，得，得 x =？ 说明椭圆与说明椭圆与 x 轴有几个的交点？轴有几个的交点？B2B1A1A2cab*长轴、短轴：长轴、短轴：线段线段1212,AA BB分别叫做椭圆的长轴和短轴。分别叫做椭圆的长轴和短轴。分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长。a b、*顶点顶点：椭圆与它的对称轴：椭圆与它的对称轴椭圆的顶点。椭圆的顶点。的四个交点，叫做的四个交点，叫做3 3、范、范 围围: :, .axabyb从图形上看; 11:222222axaaxbyax从方程上看bybbaxby222222y 11.,所围成的矩形内故整个椭圆位于axby oyB2B1A1A2F1F2xxaxayby b123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 345-1-5-2-3-4x1 2 345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 探究探究：观察上述的椭圆，椭圆的扁圆程度不一，那么观察上述的椭圆，椭圆的扁圆程度不一，那么用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？)0(12222babyax椭圆观察得知：思考：保持长半轴 a 不变，改变椭圆的半焦距 c ，我们可以发现，c 越接近 a ，椭圆越_这样，我们就可以利用和这两个量来刻画椭圆的扁平程度 扁平扁平caca长 半 轴 为半 焦 距 为4、离心率离心率4、离心率离心率ba不变， 越来越大。222xyaace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：3离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：0e bceaa2=b2+c2标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率a a、b b、c c的关系的关系22221(0)xyabab|x| a,|y| b关于关于x x 轴、轴、y y 轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短短半轴长为半轴长为b. b. ababceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前例例1；求椭圆；求椭圆 的长半轴、短半轴长、的长半轴、短半轴长、离心率、焦点、顶点坐标，并画出草图。离心率、焦点、顶点坐标，并画出草图。例题分析例题分析解：将解：将 化为标准方程化为标准方程 22916144xy221169xy22916144xy-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x321-1-2-3y2222216,97abcab则4,3,7abc即：短半轴长为短半轴长为 3;长半轴长为长半轴长为 4;离心率为离心率为74cea 焦点坐标为焦点坐标为 7,0 ,7,0顶点坐标为顶点坐标为 4,0 , 0,3 .已知椭圆方程研究其几何性质已知椭圆方程研究其几何性质 它的长轴长是它的长轴长是： 。短轴长是短轴长是： 。焦距是焦距是： 。 离心率等于离心率等于： 。焦点坐标是焦点坐标是： 。顶点坐标是顶点坐标是： 。 108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)221625400.xy练习：已知椭圆方程为小结：小结： 例例 题题2212516xy 关键是将所给方程正确地化为标准形式，关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用轴上，再利用a a，b b，c c之间的关系求椭圆的几之间的关系求椭圆的几何性质何性质例例2 2求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 1）经过点）经过点 、 ；（2 2）长轴长等于）长轴长等于 , ,离心率等于离心率等于 ( 3,0)P (0, 2)Q2035解解: :（1 1）由题意，）由题意， , , 3a 2b （2 2）由已知，由已知， ，220a 35cea 例例 题题x又又长轴在长轴在 轴上，轴上，22194xy所以，椭圆的标准方程为所以，椭圆的标准方程为10a 6c 22210664b ， ， ，22110064xy22110064yx所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 或或 利用椭圆几何性质求其方程利用椭圆几何性质求其方程练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P P（3 3，0 0），求椭圆的方程。），求椭圆的方程。答案：答案：2219xy22198 1xy 利用几何性质求椭圆的标准方程，关键利用几何性质求椭圆的标准方程，关键是是“选标准选标准 定参数定参数”，同时注意，同时注意a a、b b、c c、e e内在联系，以及对方程两种形式的讨论内在联系，以及对方程两种形式的讨论小结：小结：定定 义义标准方程标准方程范范 围围对对 称称 性性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半半 轴轴 长长离离 心心 率率1212222MFMFaaFFc/0,1ec ae22221xyab22221yxab长半轴长为长半轴长为a,短半轴长为短半轴长为b.关于关于 x 轴、轴、y 轴成轴对称；关于原点成中心对称轴成轴对称；关于原点成中心对称|x| a, |y| b(a,0)、 (0, b)(c,0)、(-c,0)|x| b, |y| a(b,0)、 (0, a)(0 , c)、(0, -c)a、b、c的关系的关系222bac小小 结结 作作 业业课后巩固案课后巩固案1210 4（）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为3:2的两段，求其离心率；（）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为 和，求其离心率.222211(0)_.xyabFab 、已知椭圆的左焦点为 ，右顶点为A,上顶点为B,若BFBA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为5121537(1)2, ,caa b ca ce小结：利用公式e=直接求解；（ ）根据条件建立的关系式，化为关于的齐次方程，从而得到 的方程，解方程求得e.3.例 oyB2B1A1A2F1F2xxaxayby b
