13讲函数与方程.ppt
结合二次函数的图象，了解函结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个一元二次方程根的存在性及根的个数数.结合具体函数的图象，能用二分结合具体函数的图象，能用二分法求近似解法求近似解.1.若函数若函数f(x)=ax-b(b0)有一个零点有一个零点,那么函那么函数数g(x)=bx2+3ax的零点是的零点是 .0,-1 因为函数因为函数f(x)=ax-b(b0)的零点是的零点是，所以，所以x=3是方程是方程ax-b=0的根，所以的根，所以b=3a.将它代入函数将它代入函数g(x)=bx2+3ax中，可中，可得得g(x)=bx(x+1),令令g(x)=0,得得x=0或或x=-1.2.已知函数已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，仅有一个正零点，则此零点所在区间是则此零点所在区间是( )CA.(3,4) B.(2,3)C.(1,2) D.(0,1) 利用零点存在的判定条件，判断零利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间点存在的区间.由于由于f(0)=-10,f(1)=-10,f(3)=230,f(4)=590.根据选择支根据选择支只有区间（只有区间（1，2）满足）满足.3.（2010山东省实验中学模拟）山东省实验中学模拟）函数函数f(x)=3ax+1-2a,在区间在区间(-1,1)上存在一上存在一个零点个零点,则则a的取值范围是的取值范围是( )CA.-1aC.a 或或a-1 D.a-1151515令令f(-1)f(1) 或或a-1，故选，故选C.154.(2010山东枣庄模拟山东枣庄模拟)已知函数已知函数f(x)=( )x-log2x,若实数若实数x0是方程是方程f(x)=0的解，且的解，且0 x1x0，则，则f(x1)的值为的值为( )13AA.恒为正值恒为正值 B.等于等于0C.恒为负值恒为负值 D.不大于不大于0 因为因为f(x)在定义域（在定义域（0，+）上单调递）上单调递减，当减，当x0时，时，f(x)+.因为因为f(x0)=0，所以，所以f(x)=0只有一个实根只有一个实根.所以当所以当0 x10恒成立，故选恒成立，故选A.5.设设a、b、c均为正数，且均为正数，且2a=log a，( )b=log b,( )c=log2c,则则a、b、c的大小的大小关系是关系是 .12121212cab考察函数考察函数f(x)=2x与与g(x)=log x的图象的交的图象的交点知，点知， a1.同理得同理得0b1，所以，所以cab.1212121.函数的零点函数的零点(1)对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使 .叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点.(2)方程方程f(x)=0有实根有实根 函数函数y=f(x)的图象的图象 函数函数y=f(x) .(3)如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断的一条曲线连续不断的一条曲线,并且并且 ,那那么么,函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有内有 ,即即存在存在c(a,b)，使得，使得 ,这个这个c也就是也就是方程方程f(x)=0的根的根.f(x)=0的实数的实数x与与x轴有交点轴有交点有零点有零点f(a)f(b)0零点零点f(c)=02.二分法二分法(1)对于在区间对于在区间a,b上连续不断且上连续不断且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x)，通过不断地把，通过不断地把函数函数f(x)的零点所在区间的零点所在区间 ,使使区间的两个端点逐步逼近区间的两个端点逐步逼近 ，进而，进而得到零点近似值的方法叫做得到零点近似值的方法叫做 .(2)给定精确度给定精确度，用二分法求函数，用二分法求函数f(x)的零的零点近似值的步骤如下：点近似值的步骤如下：一分为二一分为二零点零点二分法二分法 第一步，确定区间第一步，确定区间a,b，验证，验证f(a)f(b)0,给定精确度给定精确度;第二步，求区间第二步，求区间(a,b)的中点的中点c;第三步，计算第三步，计算f(c); ()若若f(c)=0，则，则c就是函数的零点；就是函数的零点； ()若若f(a)f(c)0,则令则令b=c(此时零点此时零点x0(a,c); ()若若f(c)f(b)0,则令则令a=c(此时零点此时零点x0(c,b). 第四步第四步,判断是否达到精确度判断是否达到精确度:即若即若|a-b|，则得到零点近似值，则得到零点近似值a(或或b);否则重复第否则重复第二、三、四步二、三、四步.例例1 (1)已知区间已知区间(-2，-1)，(-1，0)，(0，1)，(1，2)，(2，3)，则三次，则三次方程方程x3+x2-2x-1=0在哪些区间上有根在哪些区间上有根? (2)判断方程判断方程3x+x2-2x-1=0根的个数及符号根的个数及符号. (1)令令f(x)=x3+x2-2x-1，则则f(-2)f(-1)=(-1)1=-11时，函数时，函数f(x)在在k,2k内是否存内是否存在零点，并说明理由在零点，并说明理由.所以所以f(x)在（在（-,0)内单调递减内单调递减.x(0,+)时，时，f(x)0，所以所以f(x)在在(0,+)内单调递增，内单调递增，所以所以x=0时，时，f(x)取到极小值取到极小值.又因为这个极小值是又因为这个极小值是R上的惟一的极小值，上的惟一的极小值，所以所以x=0时，时，f(x)min=f(0)=1，即函数即函数f(x)的值域为的值域为1,+). (1)当当k=0时，时，f(x)=ex-x，f(x)=ex-1.令令f(x)=0，得，得x=0.又又x(-,0)时，时，f(x)1，所以，所以1-k0.又又g(k)=ek-2,当当k1时时,g(k)e-20，所以所以k(1,+)，g(k)为增函数，为增函数，所以所以g(k)g(1)0,所以所以k1时，时，ek-2k0，所以所以f(k)f(2k)1时在时在k,2k内存在零点内存在零点.(2)f(k)f(2k)=(ek-k-k)(e2k-k-2k) =(1-k)(ek-2k). 已知已知aR，函数，函数f(x)=x2+2ax+1，如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间-1,1上有零点，上有零点，求求a的取值范围的取值范围.例例2=0 a=1，此时当此时当a=1时，时，x=-1-1，1；当；当a=-1时，时，x=1-1,1，合乎题意，合乎题意.f(x)在区间在区间-1,1上只有一个零点且不是上只有一个零点且不是f(x)=0的重根的重根,此时有此时有f(-1)f(1)1或或a0 f(-1)0 f(1)0 -1- 0、=0、0判断判断.2.在闭区间上零点的个数应由零点判定定在闭区间上零点的个数应由零点判定定理及函数图象性质一并实施理及函数图象性质一并实施.例例3 （2009山东模拟）山东模拟）用二分法求函数用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间在区间1,1.5内的一个零点内的一个零点(精精确度为确度为0.1). 由于由于f(1)=1-1-1=-10，所以所以f(x)在区间在区间1,1.5内存在零点，取区间内存在零点，取区间1,1.5作为计算的初始区间作为计算的初始区间.用二分法逐次计算列表如下：用二分法逐次计算列表如下： 因为因为|1.375-1.3125|=0.06250.1,所以函数的零所以函数的零点落在区间长度小于点落在区间长度小于0.1的区间的区间1.3125,1.375内内,故函数零点的近似值为故函数零点的近似值为1.3125.端端(中中)点点坐标坐标中点函数值中点函数值符号符号零点所在区间零点所在区间|an-bn|1,1.50.51,25f(1.25)01.25,1.3750.1251.3125f(1.3125)01.3125,1.3750.0625 1.求函数零点的近似值的关键是判断求函数零点的近似值的关键是判断二分法求值过程中，区间长度是否小于精确二分法求值过程中，区间长度是否小于精确度度,当区间长度小于精确度当区间长度小于精确度时时,运算结束，运算结束，而此时取的中点值即为所求，当然也可取区而此时取的中点值即为所求，当然也可取区间端点的另一个值间端点的另一个值.2.“精确度精确度”与与“精确到精确到”是两个不同的概念，是两个不同的概念，精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到精确度最后的结果不能四舍五入，而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件，即取只需区间两个端点的函数值满足条件，即取近似值之后相同，则此时四舍五入的值即为近似值之后相同，则此时四舍五入的值即为零点的近似解零点的近似解. 关于关于x的方程的方程|e|lnx|-2|=t(0t1),其中其中t是 常 数 ， 则 方 程 根 的 个 数是 常 数 ， 则 方 程 根 的 个 数是是 . 原方程根的个数问题可以转化为函原方程根的个数问题可以转化为函数数 y=|e|lnx|-2|与与y=t的图象的交点问题，因的图象的交点问题，因此必须先作出函数此必须先作出函数y=|e|lnx|-2|的图象的图象.此函数此函数的定义域为的定义域为(0,+)， |e|lnx|-2|=|x-2|(x) | -2|(0 x0且且a1)有两个零点有两个零点,则实数则实数a的取值的取值范围是范围是 .(1,+) 设函数设函数y=ax(a0,且且a1)和函数和函数y=x+a,则函数则函数f(x)=ax-x-a(a0且且a1)有两有两个零点个零点,就是函数就是函数y=ax(a0,且且a1)的图象的图象与函数与函数y=x+a的图象有两个交点的图象有两个交点.由图象由图象可知可知,当当0a1时时,因为函数因为函数y=ax(a1)的图象过点的图象过点(0,1),而直线而直线y=x+a与与y轴的交点轴的交点(0,a)一定一定在点在点(0,1)的上方的上方,才有两个交点才有两个交点.所以实所以实数数a的取值范围是的取值范围是(0,+) .本节完，谢谢聆听
