3-4三板斧之米勒定理.pdf

专题专题 4 4三板斧之米勒定理三板斧之米勒定理第一讲第一讲 三板斧之米勒定理三板斧之米勒定理米勒定理：已知点米勒定理：已知点M，N是是AOB的边的边OA上的两个定点，点上的两个定点，点P是边是边OB上的一动点，则当且仅当三角形上的一动点，则当且仅当三角形MPN的外接圆与边的外接圆与边OB相切于点相切于点P时，时，MPN最大最大证明：如图，设证明：如图，设P是边是边OB上不同于点上不同于点P的任意一点，连结的任意一点，连结P M, P N，PN交圆于点交圆于点C, ,因为因为M P N是圆外角，是圆外角，M P N是圆周角，易证是圆周角，易证M P N M C N故故最大最大 M, ,P NM P N2根据切割线定理得，根据切割线定理得，O P O M O，N即即O P最大等价于三角形最大等价于三角形M P N的的O M O，N于是我们有：于是我们有：M P NO M O.N2外接圆与边外接圆与边OB相切于点相切于点P O PO P O M O等价于等价于N【例例 1 1】 （19861986 高考高考）如图，在平面直角坐标系中，在）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴上给定两定点轴的正半轴上给定两定点 A A、B B，试在，试在x轴的正半轴的正半轴上求一点轴上求一点 C C，使，使ACB取得最大值取得最大值如运用米勒定理则可知当且仅当过点如运用米勒定理则可知当且仅当过点A,B的圆与的圆与x轴的正半轴相切于点轴的正半轴相切于点C时，即当时，即当OC OA OB ab时，时，ACB最大，故点最大，故点C的坐标为的坐标为(ab , 0)120【例例 2 2】如图，足球场长】如图，足球场长100100 米，宽米，宽6060 米，球门长米，球门长7.27.2 米，有一位左边锋欲射门，应在边米，有一位左边锋欲射门，应在边AB的何处才使射的何处才使射门角度最大？门角度最大？【例例 3 3】 （20042004 全国试题全国试题）在直角坐标系中，给定两点，）在直角坐标系中，给定两点，M1, 4，N1, 2在在x轴的正半轴上求一点轴的正半轴上求一点P，使使MPN最大，则点最大，则点P的坐标为的坐标为121【例例 4 4】 （20052005 浙江文浙江文）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在在x轴上，长轴轴上，长轴A1A2的长为的长为 4 4，左，左准线准线l与与x轴的交点为轴的交点为M，| MA1|:| A1F1| 2:1（1 1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（2 2）若点）若点P在直线在直线l上运动，求上运动，求F1PF2的最大值的最大值122达达标标训训练练1 1 （20172017新课标新课标）ABC的内角的内角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为a，b，c，若，若2bcosB acosC ccosA，则，则B2. 2.（20142014广东）在广东）在ABC中，中， 角角 A A，B B，C C 所对应的边分别为所对应的边分别为a，b，c，已知，已知bcosC ccosB 2b，则，则ab3 3 （20162016四川四川）在）在ABC中，中， 角角 A A，B B，C C 所对的边分别是所对的边分别是a，b，c，且，且（1 1） 证明：证明：sinAsinB sinC；（2 2） 若若b2c2a2bc，求，求tanB65cosAcosBsinCabc4 4 （20162016新课标新课标）ABC的内角的内角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为a，b，c，已知，已知2cos C(acos B bcos A) c（1 1） 求求C；（2 2） 若若c 7，ABC的面积为的面积为5 5 （20122012新课标新课标）已知）已知 a a，b b，c c 分别为分别为ABC三个内角三个内角 A A，B B，C C 的对边，的对边，acosC 3asinC b c 0（1 1）求）求A；（2 2）若）若a2，ABC的面积为的面积为3；求；求b，c3 3，求，求ABC的周长的周长 21236 6 （20112011江西江西）在）在ABC中，角中，角 A A，B B，C C 的对边是的对边是a，b，c，已知，已知3acosA ccosB bcosC（1 1） 求求cosA的值；的值；（2 2） 若若a 1，cosB cosC 2 3，求边，求边c的值的值 37 7 （20112011山东山东）已知在）已知在ABC中，内角中，内角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为a，b，c且且（1 1）求）求sinC的值；的值；sin AcosA2cosC2c acosBb（2 2）若）若cosB 1，b2，求，求ABC的面积的面积S42228. 8. （20182018新课标新课标）ABC的内角的内角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为a，b，c 若若SABCa b c， 则则C （）4A A2B B3C C4D D6C 22acb3，9 9 （20142014江西江西） 在在ABC中，中， 内角内角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为， ， ， 若若c (a b) 6，则则ABC的面积为（的面积为（）A A3B B9 32C C3 32D D3 310.10.（20112011重庆重庆）ABC的角的角 A A，B B，C C 所对的边所对的边a，b，c满足满足(a b)2c2 4，且，且C 60，则，则ab的值为的值为（）A A43B B84 3C C1D D2311.11.（20182018石家庄模拟石家庄模拟）在）在ABC中，中，AB 2，C A A6，则，则AC 3BC的最大值为（的最大值为（）D D4 77B B2 7C C3 712.12.（20122012湖北湖北）设）设ABC的内角的内角 A A，B B，C C，所对的边分别是，所对的边分别是a，b，c若若(a b c)(a b c) ab，则，则角角C 12413.13.（20182018北京北京）若）若ABC的面积为的面积为是是c32(a c2b2)，且，且C为钝角，为钝角， 则则B ；的取值范围的取值范围a4c14.14. （20152015天津天津） 在在ABC中，中， 内角内角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为a，已知已知ABC的面积为的面积为3 15，b，bc 2，cos A 14，则，则a的值为的值为15.15.（20142014江苏江苏）若）若ABC的内角满足的内角满足sin A2sin B 2sinC，则，则cosC的最小值是的最小值是16.16.（20182018沈阳期中沈阳期中）在）在ABC中，中， 设角设角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，若，若a b 2c，则，则C的取值的取值范围是范围是1717 （20182018重庆期末重庆期末）设设ABC的内角的内角 A A，B B，C C 所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，已知已知的最大值为的最大值为1818 （20182018道里一模道里一模） 钝角钝角ABC中，中， 若若A 34，| BC |1， 则则2 2 | AB| 3| AC |的最大值为的最大值为B 3，b 3，则则3ac1919 （20182018常州期末常州期末）在）在ABC中，已知中，已知AC 6，A 60，点，点D满足满足BD 2DC，且，且AD 2 7，则，则AB边边的长为的长为2020 （20192019衡水金卷衡水金卷）在在ABC中，中，D在在AC边上，边上，若若CD 3AD，cos则则3AB BC的最大值是的最大值是21.21.（20172017新课标新课标）ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，已知，已知sin(AC) 8sin2（1 1）求）求cosB；（2 2）若）若ac 6，ABC的面积为的面积为 2 2，求，求b2222 （20162016北京北京）在）在ABC中，中，a2c2b22ac（1 1）求）求B的大小；的大小；（2 2）求）求2 cos A cosC的最大值的最大值ABC10的中点，的中点，且且BD 2，24B21252323 （20132013江西江西）在）在ABC中，中， 角角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，已知，已知cosC (cos A 3sin A)cos B 0（1 1） 求角求角B的大小；的大小；（2 2） 若若ac 1，求，求b的取值范围的取值范围2424 （20132013新课标新课标）ABC在内角在内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，已知，已知a bcosCcsinB（1 1）求）求B；（2 2）若）若b2，求，求ABC面积的最大值面积的最大值25.25.（20182018铜山期中铜山期中）已知）已知a、b、c分别是分别是ABC的内角的内角A，B，C对的边，对的边，b 3（1 1） 若若C 5，ABC的面积为的面积为3，求，求c；62（2 2） 若若B 3，求，求2ac的取值范围的取值范围 2626设设ABC的内角的内角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，若，若a2b2 c2 ab，c 1（1 1）求角）求角C的大小；的大小；（2 2）求）求1ba的最大值的最大值2c，27.27. （20192019泉州一模泉州一模）已知已知b 5，(a b)sin A 2bsin(AC)ABC的内角的内角A，b，C的对边分别为的对边分别为a，B，（1 1）证明：）证明：ABC为等腰三角形；为等腰三角形；（2 2）点）点D在边在边AB上，上，AD 2BD，CD 17，求，求AB12628.28.（20182018商丘期末商丘期末）在）在ABC中，内角中，内角A、B、C的对边分别为的对边分别为a，b，c，且，且(2bc)cos A acosC（1 1）求角）求角A的大小；的大小；（2 2）若点）若点D满足满足AD 2AC，且，且BD 3，求，求2b c的取值范围的取值范围2929 （20102010江苏江苏）某兴趣小组测量电视塔）某兴趣小组测量电视塔AE的高度的高度H（单位：（单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆，如示意图，垂直放置的标杆BC的高的高度度h4m，仰角，仰角ABE，ADE （1 1）该小组已经测得一组）该小组已经测得一组、的值，的值，tan1.24，tan1.20，请据此算出，请据此算出H的值；的值；（2 2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：（单位：m)，使，使与与之差较之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125m，试问，试问d为多少时，为多少时，最大？最大？3030 （20052005天津天津）某人在一山坡）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔及所在的山崖可视为图中处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线的竖线OC，塔高，塔高BC 80（米（米)，山高，山高OB 220（米（米)，OA 200（米（米)，图中所示的山坡可视为直线，图中所示的山坡可视为直线l且且点点P在直线在直线l上，上，l与水平地面的夹角为与水平地面的夹角为，tan角角BPC最大（不计此人的身高）？最大（不计此人的身高）？1试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视23030 题图题图 1 13030 题图题图 2 212731.31.（20162016灌云县期中灌云县期中）如图，）如图， 有一壁画，有一壁画， 最高点最高点A处离地面处离地面AO4m，最低点，最低点B处离地面处离地面BO2m，观赏它的观赏它的C点在过墙角点在过墙角O点与地面成点与地面成30角的射线上角的射线上 （1 1） 设点设点C到墙的距离为到墙的距离为x，当，当x 3m时，时， 求求tan的值；的值；（2 2） 问问C点离墙多远时，点离墙多远时， 视角视角最大？最大？32.32.（20162016遂宁期末遂宁期末）如图，）如图， 墙上有一壁画，墙上有一壁画， 最高点最高点A离地面离地面 4 4 米，米， 最低点最低点B离地面离地面 2 2 米米 观察者观察者从距离墙从距离墙x(x 1)米，米， 离地面高离地面高a(1 剟 a 2)米的米的C处观赏该壁画，处观赏该壁画， 设观赏视角设观赏视角ACB（1 1） 若若a 1.5，问：，问： 观察者离墙多远时，观察者离墙多远时， 视角视角最大？最大？（2 2） 若若tan1，当，当a变化时，变化时， 求求x的取值范围的取值范围 212833.33.（20052005 浙江理科浙江理科）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在在x轴上，长轴轴上，长轴A1A2的长为的长为 4 4，左准，左准线线l与与x轴的交点为轴的交点为M，| MA1|:| A1F1| 2:1（1 1）求椭圆的方程；）求椭圆的方程；（2 2） 若直线若直线l1: x m(| m|1)，P为为l1上的动点，上的动点， 使使F1PF2最大的点最大的点P记为记为Q， 求点求点Q的坐标的坐标 （用（用m表示）表示） 129