201江苏苏州高二上期末数学试卷.pdf

2016201720162017 学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：一、填空题： （本大题共（本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分）分）1 （5 分）命题“xR，x29”的否定是2 （5 分）抛物线 y2=2x 的焦点坐标为3 （5 分）过点 P（0，1） ，且与直线 2x+3y4=0 垂直的直线方程为4 （5 分）直线 3x4y12=0 与两条坐标轴分别交于点 A，B，O 为坐标原点，则ABO 的面积等于5 （5 分）函数 y=x32x2+x 的单调递减区间为6 （5 分）“m=1”是“直线 l1：mx2y1=0 和直线 l2：x（m1）y+2=0 相互平行”的条件 （用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）7 （5 分）函数 y=x2xlnx 在区间1，3上的最小值等于8 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，则下列结论：AD平面 PBC；平面 PAC平面 PBD；平面 PAB平面 PAC；平面 PAD平面 PDC其中正确的结论序号是9 （5 分） 已知圆 C： x2+y24x2y+1=0 上存在两个不同的点关于直线 x+ay1=0对称，过点 A（4，a）作圆 C 的切线，切点为 B，则|AB|=10（5 分） 已知圆柱甲的底面半径 R 等于圆锥乙的底面直径， 若圆柱甲的高为 R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为11 （5 分）已知函数取值范围为在区间（m，m+2）上单调递减，则实数 m 的12 （5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l：ax+y+2=0 和点 A（3，0） ，若直线 l 上存在点 M 满足 MA=2MO，则实数 a 的取值范围为13 （5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 y=2x+b 是曲线 y=2alnx 的切线，则当 a0 时，实数 b 的最小值是14 （5 分）已知 F 是椭圆的左焦点，A，B 为椭圆 C 的左、右顶点，点 P 在椭圆 C 上，且 PFx 轴，过点 A 的直线与线段 PF 交与点 M，与 y 轴交与点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若 NE=2ON，则椭圆 C 的离心率为二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6 6 小题，共小题，共9090 分分. .解答应写出必要的文字说明或推理、验解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程算过程. .15 （14 分）已知圆 M 的圆心在直线 y=x 上，且经过点 A（3，0） ，B（1，2） （1）求圆 M 的方程；（2）直线 l 与圆 M 相切，且 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍，求直线 l的方程16 （14 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 为矩形，平面 CDD1C1平面 ABCD，E，F 分别是 CD，AB 的中点，求证：（1）ADCD；（2）EF平面 ADD1A117 （14 分）从旅游景点 A 到 B 有一条 100km 的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目 已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时 3240 元，游轮最大时速为 50km/h，当游轮的速度为 10km/h 时，燃料费用为每小时 60 元，设游轮的航速为 vkm/h，游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用为 S 元（1）将游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用 S 表示为游轮的航速 v 的函数 S=f（v） ；（2）该游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用18 （16 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）上的左、右顶点分别为 A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆 C 过点（）求椭圆 C 的方程；（）点P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x2+y2=16 上（点A，B 除外） ，设直线PB，QB的斜率分别为 k1，k2，若 k1=，证明：A，P，Q 三点共线19 （16 分）已知函数 f（x）=a（x1）lnx（a 为实数） ，g（x）=x1，h（x）=（1）当a=1 时，求函数f（x）=a（x1）lnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程；（2）讨论函数 f（x）的单调性；（3）若 h（x）=f（x） ，求实数 a 的值20 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2+y2=1，P 为直线 l：x=t（1t2）上一点（1）已知 t=若点 P 在第一象限，且 OP=，求过点 P 的圆 O 的切线方程；若存在过点 P 的直线交圆 O 于点 A，B，且 B 恰为线段 AP 的中点，求点 P 纵坐标的取值范围；（2） 设直线 l 与 x 轴交于点 M， 线段 OM 的中点为 Q， R 为圆 O 上一点， 且 RM=1，直线 RM 与圆 O 交于另一点 N，求线段 NQ 长的最小值第二卷（附加题第二卷（附加题. .每题每题 1010 分。分。 ）21求曲线 f（x）=在 x=2 处的切线与 x 轴交点 A 的坐标22已知点P 是圆 x2+y2=1 上的一个动点，定点M（1，2） ，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且，求点 Q 的轨迹方程23 如图， 在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD， ADAB， ABDC， AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点（）证明：BEDC；（）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；（）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值24如图，已知抛物线 y2=4x，过点 P（2，0）作斜率分别为 k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点 A、B 和 C、D，且 M、N 分别是 AB、CD 的中点（1）若 k1+k2=0，求线段 MN 的长；（2）若 k1k2=1，求PMN 面积的最小值2016201720162017 学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题：一、填空题： （本大题共（本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分）分）1 （5 分）命题“ xR，x29”的否定是 xR，x29【解答】解：命题“ xR，x29”的否定是命题“ xR，x29”，故答案为： xR，x292 （5 分）抛物线 y2=2x 的焦点坐标为【解答】解：抛物线 y2=2x 的焦点在 x 轴的正半轴上，且 p=1，=，故焦点坐标为（，0） ，故答案为： （，0） 3（5 分） 过点 P （0， 1） ， 且与直线 2x+3y4=0 垂直的直线方程为3x2y+2=0【解答】解：直线 2x+3y4=0 的斜率 k=，与直线 2x+3y4=0 垂直的直线的斜率为则点 P（0，1） ，且与直线 2x+3y4=0 垂直的直线方程为 y1=（x0） ，整理得：3x2y+2=0故答案为：3x2y+2=04 （5 分）直线 3x4y12=0 与两条坐标轴分别交于点 A，B，O 为坐标原点，则ABO 的面积等于6【解答】解：直线 3x4y12=0 与两条坐标轴分别交于点 A（4，0） ，B（0，3） ，SABO=6故答案为：65 （5 分）函数 y=x32x2+x 的单调递减区间为（，1）【解答】解：y=3x24x+1=（3x1） （x1） ，令 y0，解得：x1，故函数在（，1）递减，故答案为： （，1） 6 （5 分）“m=1”是“直线 l1：mx2y1=0 和直线 l2：x（m1）y+2=0 相互平行”的充分不必要条件（用“充分不必要”， “必要不充分条件”， “充要”， “既不充分也不必要”填空）【解答】解：若直线 l1：mx2y1=0 和直线 l2：x（m1）y+2=0 相互平行，则 m（m1）=2，解得：m=2 或 m=1，故 m=1 是直线平行的充分不必要条件，故答案为：充分不必要7 （5 分）函数 y=x2xlnx 在区间1，3上的最小值等于0【解答】解：y=2x1=由 x1，3，故 y0 在1，3恒成立，故函数在1，3递增，x=1 时，函数取最小值，函数的最小值是 0，故答案为：08 （5 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，则下列结论：AD平面 PBC；，平面 PAC平面 PBD；平面 PAB平面 PAC；平面 PAD平面 PDC其中正确的结论序号是【解答】解：由底面为正方形，可得 ADBC，AD 平面 PBC，BC 平面 PBC，可得 AD平面 PBC；在正方形 ABCD 中，ACBD，PA底面 ABCD，可得 PABD，PAAC=A，可得 BD平面 PAC，BD 平面 PBD，即有平面 PAC平面 PBD；PA底面 ABCD，可得 PAAB，PAAC，可得BAC 为二面角 BPAC 的平面角，显然BAC=45，故平面 PAB平面 PAC不成立；在正方形 ABCD 中，可得 CDAD，PA底面 ABCD，可得 PACD，PAAD=A，可得 CD平面 PAD，CD 平面 PCD，即有平面 PAD平面 PDC综上可得，正确故答案为：9 （5 分） 已知圆 C： x2+y24x2y+1=0 上存在两个不同的点关于直线 x+ay1=0对称，过点 A（4，a）作圆 C 的切线，切点为 B，则|AB|=6【解答】解：圆 C：x2+y24x2y+1=0，即（x2）2+（y1）2=4，表示以 C（2，1）为圆心、半径等于 2 的圆由题意可得，直线 l：x+ay1=0 经过圆 C 的圆心（2，1） ，故有 2+a1=0，a=1，点 A（4，1） AC=切线的长|AB|=故答案为 610（5 分） 已知圆柱甲的底面半径 R 等于圆锥乙的底面直径， 若圆柱甲的高为 R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为24=2=6，CB=R=2，【解答】解：圆柱甲的底面半径 R 等于圆锥乙的底面直径，圆柱甲的高为 R，圆锥乙的侧面积为，圆锥乙的高 h=，解得 l=，=，圆柱甲和圆锥乙的体积之比为：=24故答案为：2411 （5 分）已知函数取值范围为1，1【解答】解：f（x）=，在区间（m，m+2）上单调递减，则实数 m 的令 f（x）0，解得：1x3，故 f（x）在（1，3）递减，故（m，m+2）（1，3） ，故，解得：1m1，故答案为：1，112 （5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l：ax+y+2=0 和点 A（3，0） ，若直线 l 上存在点 M 满足 MA=2MO， 则实数 a 的取值范围为a0， 或 a【解答】解：取 M（x，2ax） ，直线 l 上存在点 M 满足 MA=2MO，=2，化为： （a2+1）x2+（4a2）x+1=0，此方程有实数根，=（4a2）24（a2+1）0，化为 3a24a0，解得 a0，或 a故答案为：a0，或 a13 （5 分）在平面直角坐标系 xoy 中，直线 y=2x+b 是曲线 y=2alnx 的切线，则当 a0 时，实数 b 的最小值是2【解答】解：y=2alnx 的导数为 y=，由于直线 y=2x+b 是曲线 y=2alnx 的切线，则设切点为（m，n） ，则 2=，n=2m+b，n=2alnm，即有 b=2alna2a（a0） ，b=2（lna+1）2=2lna，当 a1 时，b0，函数 b 递增，当 0a1 时，b0，函数 b 递减，即有 a=1 为极小值点，也为最小值点，且最小值为：2ln12=2故答案为：214 （5 分）已知 F 是椭圆的左焦点，A，B 为椭圆 C 的左、右顶点，点 P 在椭圆 C 上，且 PFx 轴，过点 A 的直线与线段 PF 交与点 M，与 y 轴交与点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若 NE=2ON，则椭圆 C 的离心率为【解答】解：由题意可设 F（c，0） ，A（a，0） ，B（a，0） ，令 x=c，代入椭圆方程可得 y=b可得 P（c，） ，=，设直线 AE 的方程为 y=k（x+a） ，令 x=c，可得 M（c，k（ac） ） ，令 x=0，可得 E（0，ka） ，直线 BM 与 y 轴交于点 N，NE=2ON，N（0，） ，由 B，N，M 三点共线，可得 kBN=kBM，即为=，=，即为 a=2c，化简可得可得 e=故答案为：二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6 6 小题，共小题，共9090 分分. .解答应写出必要的文字说明或推理、验解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程算过程. .15 （14 分）已知圆 M 的圆心在直线 y=x 上，且经过点 A（3，0） ，B（1，2） （1）求圆 M 的方程；（2）直线 l 与圆 M 相切，且 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍，求直线 l的方程【解答】解： （1）设圆心坐标为（a，a） ，则（a+3）2+a=（a1）2+（a2）2，解得 a=1，r=，圆 M 的方程为（x+1）2+（y1）2=5，（2）由题意，直线 l 不过原点，设方程为直线 l 与圆 M 相切，=，=1，即 2x+y2a=0，a=2 或3，直线 l 的方程为 2x+y4=0 或 2x+y+6=016 （14 分）如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 为矩形，平面 CDD1C1平面 ABCD，E，F 分别是 CD，AB 的中点，求证：（1）ADCD；（2）EF平面 ADD1A1【解答】证明： （1）由底面 ABCD 为矩形可得 ADCD又平面 C1D1DC平面 ABCD，平面 C1D1DC平面 ABCD 平面=CD，AD平面 C1D1DC又CD1 面 C1D1DC，ADCD1（2）设 DD1中点为 G，连结 EG，AGE，G 分别为 CD1，DD1的中点，EGCD，EG= CD在矩形 ABCD 中，F 是 AB 的中点，AF=CD 且 AFCD，EGAF，且 EG=AF四边形 AFEG 是平行四边形，EFAG又AG 平面 ADD1A1，EF 平面 ADD1A1，EF平面 ADD1A117 （14 分）从旅游景点 A 到 B 有一条 100km 的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目 已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时 3240 元，游轮最大时速为 50km/h，当游轮的速度为 10km/h 时，燃料费用为每小时 60 元，设游轮的航速为 vkm/h，游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用为 S 元（1）将游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用 S 表示为游轮的航速 v 的函数 S=f（v） ；（2）该游轮从 A 到 B 一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用【解答】解： （1）设游轮以每小时 vkm/h 的速度航行，游轮单程航行的总费用为 f（v）元，游轮的燃料费用每小时 kv3元，依题意 k103=60，则 k=0.06，S=f（v）=（2）f（v）=f（v）=0 得，v=30，当 0v30 时，f（v）0，此时 f（v）单调递减；当 30v50 时，f（v）0，此时 f（v）单调递增；故当 v=30 时，f（v）有极小值，也是最小值，f（30）=16200，所以，轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为 30km/h+3240，=6v2+（0v50） ；18 （16 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）上的左、右顶点分别为 A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆 C 过点（）求椭圆 C 的方程；（）点P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x2+y2=16 上（点A，B 除外） ，设直线PB，QB的斜率分别为 k1，k2，若 k1=，证明：A，P，Q 三点共线，又 b2=a2c2=12，【解答】解： （）由已知可得 ac=2，解得 a=4故所求椭圆 C 的方程为=1（）由（）知 A（4，0） ，B（4，0） 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，P（x1，y1）在椭圆 C 上，即又，kPAk2=1由已知点 Q（x2，y2）在圆 x2+y2=16 上，AB 为圆的直径，QAQBkQAk2=1由可得 kPA=kQA直线 PA，QA 有共同点 A，A，P，Q 三点共线19 （16 分）已知函数 f（x）=a（x1）lnx（a 为实数） ，g（x）=x1，h（x）=（1）当a=1 时，求函数f（x）=a（x1）lnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程；（2）讨论函数 f（x）的单调性；（3）若 h（x）=f（x） ，求实数 a 的值【解答】解： （1）当 a=1 时，f（x）=x1lnx，f（1）=0，f（x）=1，f（1）=0，函数 f（x）=a（x1）lnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=0；（2）f（x）=a（x0） ，a0，f（x）0，函数在（0，+）上单调递减；a0，由 f（x）0，解得 x，函数的单调递增区间是（，+） ，f（x）0，0 x，函数的单调递减区间是（0，） ；（3）令 G（x）=f（x）g（x）=（a1） （x1）lnx，定义域（0，+） ，G（1）=0h（x）=f（x） ，x0，G（x）0 成立；a1，G（x）=a10，G（x）在（0，+）单调递减，G（2）G（1）=0，此时题设不成立；a1 时，G（x）在（0，）上单调递减， （）上单调递增，G（x）min=2a+ln（a1） ，2a+ln（a1）0 恒成立，令 t=a1，t0，则 1t+lnt0 恒成立，令 H（t）=1t+lnt（t0） ，则 H（1）=0，H（t）=，H（t）在（0，1）上单调递增， （1，+）上单调递减，H（t）max=H（1）=0，H（t）0（t=1 时取等号） ，t0 时，1t+lnt=0 的解为 t=1，即 a=220 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2+y2=1，P 为直线 l：x=t（1t2）上一点（1）已知 t=若点 P 在第一象限，且 OP=，求过点 P 的圆 O 的切线方程；若存在过点 P 的直线交圆 O 于点 A，B，且 B 恰为线段 AP 的中点，求点 P 纵坐标的取值范围；（2） 设直线 l 与 x 轴交于点 M， 线段 OM 的中点为 Q， R 为圆 O 上一点， 且 RM=1，直线 RM 与圆 O 交于另一点 N，求线段 NQ 长的最小值【解答】解： （1）设点 P 的坐标为（ ，y0） ，因为 OP=，所以（）2+y02=（）2，解得 y0=1又点 P 在第一象限，所以 y0=1，即点 P 的坐标为（，1） ，易知过点 P 的圆 O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为 k，则切线为 y1=k（x） ，即 kxy+1k=0，于是有k=1，解得 k=0 或因此过点 P 的圆 O 的切线方程为：y=1 或 24x7y25=0设 A（x，y） ，则 B（，） ，因为点 A、B 均在圆 O 上，所以有，即该方程组有解，即圆 x2+y2=1 与圆（x+）2+（y+y0）2=4 有公共点于是 1，3，解得y0，即点 P 纵坐标的取值范围是（2）设 R（x2，y2） ，则，解得 x2=，=1直线 RM 的方程为：（xt） 由可得 N 点横坐标为，所以 NQ=NQ 最小为第二卷（附加题第二卷（附加题. .每题每题 1010 分。分。 ）21求曲线 f（x）=【解答】解：f（x）=可得曲线 f（x）=切点为（2，则曲线 f（x）=） ，=， 所以当 t2=， 即 t=时，在 x=2 处的切线与 x 轴交点 A 的坐标的导数为 f（x）=在 x=2 处的切线斜率为 f（2）=，在 x=2 处的切线方程为 y=（x2） ，可令 y=0，则 x=即有切线与 x 轴交点 A 的坐标为（，0） 22已知点P 是圆 x2+y2=1 上的一个动点，定点M（1，2） ，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且，求点 Q 的轨迹方程【解答】解：设 P 的坐标为（x，y） ，Q（a，b） ，则，定点 M（1，2） ，x=2a3，y=2b+6Q 是圆 x2+y2=1 上的动点x2+y2=1（2a3）2+（2b+6）2=1即动点 Q 的轨迹方程是（x+）2+（y3）2=23 如图， 在四棱锥 PABCD 中， PA底面 ABCD， ADAB， ABDC， AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点（）证明：BEDC；（）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；（）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值【解答】证明： （I）PA底面 ABCD，ADAB，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点B（1，0，0） ，C（2，2，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） ，E（1，1，1）=（0，1，1） ，=0，=（2，0，0）BEDC；（）=（1，2，0） ，=（1，0，2） ，设平面 PBD 的法向量 =（x，y，z） ，由，得，令 y=1，则 =（2，1，1） ，则直线 BE 与平面 PBD 所成角 满足：sin=，=（2，2，0） ，故直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为（）=（1，2，0） ，=（2，2，2） ，由 F 点在棱 PC 上，设故=+=（2，2，2） （01） ，=（12，22，2） （01） ，=2（12）+2（22）=0，由 BFAC，得解得 =，即=（，） ，设平面 FBA 的法向量为 =（a，b，c） ，由，得令 c=1，则 =（0，3，1） ，取平面 ABP 的法向量 =（0，1，0） ，则二面角 FABP 的平面角 满足：cos=，故二面角 FABP 的余弦值为：24如图，已知抛物线 y2=4x，过点 P（2，0）作斜率分别为 k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点 A、B 和 C、D，且 M、N 分别是 AB、CD 的中点（1）若 k1+k2=0，求线段 MN 的长；（2）若 k1k2=1，求PMN 面积的最小值【解答】解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，不妨设 y10，则设直线 AB 的方程为 y=k1（x2） ，代入 y2=4x，可得 y2y1+y2=yM=1，k1+k2=0，线段 AB 和 CD 关于 x 轴对称，线段 MN 的长为 2；（2）k1k2=1，两直线互相垂直，设 AB：x=my+2，则 CD：x=y+2，x=my+2 代入 y2=4x，得 y24my8=0，则 y1+y2=4m，y1y2=8，M（2m2+2，2m） 同理 N（+2，） ，|PN|=，|）4，y1y2=8，y1=2y2，y1=4，y2=2，y8=0|PM|=2|m|SPMN=|PM|PN|=（m2+1）=2（|m|+当且仅当 m=1 时取等号，PMN 面积的最小值为 4