圆锥曲线的综合应用专题.pdf
圆锥曲线的综合应用专题圆锥曲线的综合应用专题一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共8 8 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共4040 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）合题目要求的）x2y21.1.椭圆椭圆1的离心率为的离心率为( )( )168A.A.1 B. B.1 C. C.3 D. D.232232.2.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离个平面的距离. .已知平面已知平面，两两互相垂直，两两互相垂直，点点A，点点A到到，的距离都是的距离都是3，点点P是是上的动点，满足上的动点，满足P到到的距离是到的距离是到P到点到点A距离的距离的2倍，则点倍，则点P的轨迹上的点到的轨迹上的点到的距离的最小的距离的最小值是（值是（）A.A.33 B. B.3 2 3 C. C.63 D. D.33.3.若一个椭圆长轴的长度若一个椭圆长轴的长度. .短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )( )A.A.4 B. B.3 C. C.2 D. D.15555x2y21的左的左. .右焦点，若右焦点，若 M M 为椭圆上一点，且为椭圆上一点，且MFMF1 1F F2 2的内切圆的周长等于的内切圆的周长等于3, ,4.4.已知已知 F F1 1.F.F2 2为椭圆为椭圆2516则满足条件的点则满足条件的点 M M 有有( )( )个个. .A.0 B.1 C.2 D.4A.0 B.1 C.2 D.4x2y25.5.已知抛物线已知抛物线y y2 2pxpx（p p0 0）与双曲线）与双曲线221 (a 0，b 0)有相同的焦点有相同的焦点F F，点，点A A是两曲线的是两曲线的ab2 2一个交点，且一个交点，且AFAFx x轴，则双曲线的离心率为轴，则双曲线的离心率为( )( )A A2 2 B B5 1C C3 1 D D2 1a2x2y26.6.已知双曲线已知双曲线221 (a 0,b0)的右焦点的右焦点F F，直线，直线x 与其渐近线交于与其渐近线交于A A，B B两点，且两点，且ABFcab为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是( )( )A.A. （3，） B. B. （1 1，3）C.C. （2，）D D. . （1 1，2）7.7.设设F为为抛抛物物线线y 2x的的焦焦点点，A、B、C为为抛抛物物线线上上三三点点，若若F为为ABC的的重重心心 ，则则2| FA| | FB| | FC |的值为的值为( )( )1 A.1 B.2 C.3 D.4 A.1 B.2 C.3 D.48.8.（20152015 浙江高考真题）如图，设抛物线浙江高考真题）如图，设抛物线y 4x的焦点为的焦点为 F F，不经过焦点的直线上有三个不同的点，不经过焦点的直线上有三个不同的点2A,B,C，其中点，其中点A,B在抛物线上，点在抛物线上，点C在在y轴上，则轴上，则BCF与与ACF的面积之比是（的面积之比是（）BF 1BF 1BF1BF1A.A. B. B. C. C. D. D.22AF 1AF 1AF1AF1一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）x2y29.9.已知已知 F F 是双曲线是双曲线1的左焦点，的左焦点，A(1,4)是双曲线外一点，是双曲线外一点，P P 是双曲线右支上的动点，则是双曲线右支上的动点，则PF PA412的最小值为的最小值为10.10.过抛物线过抛物线y2 2px(p 0)的焦点作倾斜角为的焦点作倾斜角为60o的直线，与抛物线分别交于的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点两点（点A在在x轴轴上方）上方） ，22AFBF . .x2 y21的渐近线交于的渐近线交于E1,E2两点，两点，记记OE1 e1，OE2 e2. .11.11.如图所示，如图所示，直线直线x 2与双曲线与双曲线 C:C:4uuu rru u r任取双曲线任取双曲线 C C 上的点上的点P，若，若OP ae1be2（a. .bR） ，则，则a. .b满足的一个等式是满足的一个等式是. .x2y2x2y212.12.若椭圆若椭圆C1:221(a1b1 0)和和C2:221(a2b2 0)是焦点相同且是焦点相同且a1 a2的两个椭的两个椭a1b1a2b2圆圆，有有以以下下几几个个命命题题：C1,C2一一定定没没有有公公共共点点；a1b12222；a1a2 b1b2；a2b2a1a2 b1b2，其中，所有真命题的序号为，其中，所有真命题的序号为。2二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 9090 分）分）3x2y213.13.已知椭圆已知椭圆 C C1 1：221(a b 0)的离心率为的离心率为，直线直线 l:y=x+2l:y=x+2 与以原点为圆心、与以原点为圆心、椭圆椭圆 C C1 1的短的短3ab半轴长为半径的圆相切半轴长为半径的圆相切. .（1 1）求椭圆）求椭圆 C C1 1的方程；的方程；（2 2）设椭圆）设椭圆 C C1 1的左焦点为的左焦点为 F F1 1，右焦点为，右焦点为 F F2 2，直线，直线 l l1 1过点过点 F F1 1且垂直于椭圆的长轴，动直线且垂直于椭圆的长轴，动直线l l2 2垂直垂直于直线于直线 l l1 1，垂足为点，垂足为点 P P，线段，线段 PFPF2 2的垂直平分线交的垂直平分线交 l l2 2于点于点 M M，求点，求点 M M 的轨迹的轨迹 C C2 2的方程；的方程； (3) (3)设设 C C2 2与与 x x 轴交于点轴交于点 Q Q，不同的两点，不同的两点 R R、S S 在在 C C2 2上，且满足上，且满足QRRS 0，求，求QS的取值范围的取值范围. .a214.14.如图，设如图，设 F(F(c, 0)c, 0)是椭圆是椭圆221(a b 0)的左焦点，直线的左焦点，直线l l：x x与与 x x 轴交于轴交于 P P 点，点，MNMNcabx2y2为椭圆的长轴，已知为椭圆的长轴，已知|MN|MN|8 8，且，且|PM|PM|2|MF|2|MF|。（1 1）求椭圆的标准方程；）求椭圆的标准方程；（2 2）过点）过点 P P 的直线的直线 m m 与椭圆相交于不同的两点与椭圆相交于不同的两点 A, BA, B。证明：证明：AFMAFMBFNBFN；求求ABFABF 面积的最大值。面积的最大值。15.15.已知实轴长为已知实轴长为2a，虚轴长为，虚轴长为2b的双曲线的双曲线S的焦点在的焦点在x轴上，直线轴上，直线y 3x是双曲线是双曲线S的一条渐近的一条渐近uuu r2uuu r24uuu r2uuu r2线，且原点线，且原点O. .点点A(a,0)和点和点B(0,b)）使等式）使等式OA OBOA OA成立成立. .3（1 1）求双曲线）求双曲线S的方程；的方程；（IIII）若双曲线）若双曲线S上存在两个点关于直线上存在两个点关于直线l : y kx 4对称，求实数对称，求实数k的取值范围的取值范围. .3x2y216.16.已知双曲线已知双曲线C :221(a 0,b 0),F1,F2分别为分别为 C C 的左右焦点的左右焦点 .P.P 为为 C C 右支上一点，且使右支上一点，且使abF1PF2=3,又F1PF2的面积为3 3a2. .(I)(I)求求 C C 的离心率的离心率 e e ；(II)(II)设设 A A 为为 C C 的左顶点，的左顶点，Q Q 为第一象限内为第一象限内 C C 上的任意一点，问是否存在常数（上的任意一点，问是否存在常数（ 00）, ,使得使得QF2A QAF2恒成立恒成立. .若存在，求出的值；若不存在，请说明理由若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. .17.17.已知抛物线已知抛物线C: :x 2py(p 0)的准线为的准线为L，焦点为焦点为F，e M的圆心在的圆心在y轴的正半轴上，轴的正半轴上，且与且与x轴轴相切，过原点作倾斜角为相切，过原点作倾斜角为y y2的直线的直线n，交，交L于点于点A，交，交e M于另一点于另一点B，且，且AO OB 26S SMMF FO OB BT Tx xn nA AQ QL L（）（） 求求e M和抛物线和抛物线C的方程的方程; ;（）过（）过L上的动点上的动点Q作作e M的切线，切点为的切线，切点为S、T，求当坐标原点，求当坐标原点O到直线到直线ST的距离取得最的距离取得最大值时，四边形大值时，四边形QSMT的面积的面积40.0.衡水万卷周测（七）答案解析衡水万卷周测（七）答案解析一、选择题一、选择题c212x2y22222221.D1.D【解析】由【解析】由1可得可得a 16,b 8, ,c a b 8,e 2,e . .a221682.A2.A3.B3.B【解析】由题意有【解析】由题意有2a2c 22b，即，即ac 2b，又，又c2 a2b2，消去，消去b整理得整理得5c2 3a22ac，即，即3，选，选 B B5e22e3 0，e 或或e 1（舍去）（舍去）54.C4.C5.D5.D6.D6.D7.C7.C8.A.8.A.【解析】试题分析：【解析】试题分析：SBCFBCxBBF 1，故选，故选 A.A.SACFACxAAF 1考点：抛物线的标准方程及其性质考点：抛物线的标准方程及其性质二、填空题二、填空题9. 99. 9【解析】【解析】设双曲线的右焦点为设双曲线的右焦点为 F F1 1，则由双曲线的定义可知则由双曲线的定义可知PF 2a PF1 4 PF1，所以当满足所以当满足PF1 PA的的最小时就满足最小时就满足PF PA取最小值取最小值. .由双曲线的图像可知当点由双曲线的图像可知当点A,P,F1共线时，满足共线时，满足PF1 PA最小最小. .而而AF1即为即为PF1 PA的最小值，的最小值，AF1 5，故所求最小值为，故所求最小值为 9.9.10.10.311.4ab=1 .11.4ab=1 .12.12.三、解答题三、解答题13.13.解：解： （1 1） e 322a2 3b2, b 2,a 32231 1x2y21.椭圆椭圆 C C1 1的方程是：的方程是：32（2 2）由）由|MP|MP=|MF=|MF2 2，可知动点，可知动点 M M 的轨迹是以的轨迹是以l1: x 1为准线，为准线，F F2 2为焦点的抛物线，为焦点的抛物线，点点 M M 轨迹轨迹 C C2 2的方程是的方程是y 4x.3 3 分分（3 3）Q Q（0 0，0 0） ，设，设22y12y2y12y2 y12R(, y1),S(, y2),QR (, y1),RS (, y2 y1).44442y12(y2 y12) QRRS 0, y1(y2 y1) 0.3.3 分分162 y1 y2, y2 y1162562562, y2 y12232 2 y12232 64.y1y1y15（当且仅当（当且仅当y122562, y116, y1 4时等号成立）时等号成立）2y12y2122 QS ()2 y2(y28)264.44又又 y 64,当当y 64，即，即y2 8时，时，QSmin2222 8 5，故故QS的取值范围是的取值范围是: :8 5,)14.14.（1 1）|MN|MN|8,8, a a4 4，1，22 22 22 2c c2, b2, b a a c c 1212，又又|PM|PM|2|MF|2|MF|，e ex2y2椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为11612（2 2）证明：）证明：当当 ABAB 的斜率为的斜率为 0 0 时，显然时，显然AFMAFMBFNBFN0 0，满足题意；，满足题意；当当 ABAB 的斜率不为的斜率不为 0 0 时，设时，设 ABAB 的方程为的方程为 x xmymy8 8，2 2代入椭圆方程整理得代入椭圆方程整理得(3m(3m 4)ymy4)ymy1441440.0.48m144576(m),576(m),y yA Ay yB B, y, yA Ay yB B. .223m 43m 4yAyByAyB则则kAF kBFxA 2xB 2myA6myB6y (myB6) yB(myA6)2myAyB6(yA yB), ,A(myA6)(myB6)(myA6)(myB6)而而 2 2mymyA Ay yB B6(6(y yA Ay yB B) )2m2m14426 648m20 0，3m 43m 4k kAFAFk kBFBF0 0，从而，从而AFMAFMBFN.BFN.综合可知：对于任意的割线综合可知：对于任意的割线 PABPAB，恒有，恒有AFMAFMBFN.BFN.方法一：方法一：172 m24S SABFABFS SPBFPBFS SPAFPAF| PF | yB yA|,223m 4即即 S SABFABF72 m243(m 4)162723 m 4 216m2 4722 316 3 3，当且仅当当且仅当3 m2 4 16m2 4，即，即 m m2 21时（此时适合于时（此时适合于0 0 的条件）取到等号。的条件）取到等号。3ABFABF 面积的最大值是面积的最大值是 3 33. .6方法二：方法二：| AB| 1 m| y1 y2| 1 m22(y1 y2) 4y1y261 m2224 1 m2m243m 42点点 F F 到直线到直线 ABAB 的距离的距离d |28|1 m21124 1 m2m2 4672 m2 4S | AB|d 222223m 43m 41 m723 m 4 216m2 4722316 3 3，当且仅当当且仅当3 m2 4 16m2 4，即，即 m m221时取等号。时取等号。3x2y215.15.解：解： （I I）根据题意设双曲线）根据题意设双曲线S的方程为的方程为221,abb3a且且, ,解方程组得解方程组得a 1,b 3.4a2b2a2b23y21.所求双曲线的方程为所求双曲线的方程为x 32（IIII）当）当k 0时，双曲线时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线上显然不存在两个点关于直线l : y kx 4对称；对称；当当k 0时，设又曲线时，设又曲线S上的两点上的两点 M.NM.N 关于直线关于直线l对称，对称，l MN. .设直线设直线 MNMN 的方程为的方程为y 1x m,则则 M.NM.N 两点的坐标满足方程组两点的坐标满足方程组k1y xm2222 , ,消去消去y得得(3k1)x 2kmx (m 3)k 0.k3x2 y23222显然显然3k 1 0, (2km) 4(3k1)(m 3)k 0.即即k m 3k 1 0.22222kmx 03k21设线段设线段 MNMN 中点为中点为D(x0, y0),则则. .23k my 03k2173k2m k2m D(x0, y0)在直线在直线l : y kx 4上,22 4.3k 13k 122k m 3k 1即即k m 3k 1.222k m 3k 1 0223k213k21k m mk 0,解得m 0或m 1. 0或 1.k2k22223111或 | k |,且k 0.k2或k2.即即| k |3234k的取值范围是的取值范围是(,3113)(,0)(0,)(,). .322316.16.解：解：(I)(I)如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在P FP F1 1 F F2 2中，中，cF F1 12a2a，F F1 1F F2 2 2c 2c，求求. .F1PF2=，F1PF2的面积为3 3a2，E E 为为 PFPF1 1上一点，上一点，PEPE PF PF2 2，E E3a设设 PEPE PF PF2 2 EF EF2 2 x x，F FF F2 23x，2EPFxF2SF1PF2113PF1FF2(x2a)x 3 3a2222，2aF1P2cx24ax12a2 0，x 2a. .E E F F1 1F F2 2为等腰三角形，为等腰三角形，EF1F2(II)(II)2c， 于是于是2c 2 3a，e 3a312OAp1, ,所以所以p 2，抛，抛)，在，在RtVOAN中中OAN 所以所以ON 22617.17.（1 1）准线）准线L L 交交y轴于轴于N(0,2物线方程是物线方程是x 4y (3 (3 分分) )在在VOMB中有中有OM OB,MOB 223, ,所以所以OM OB 2所以所以M M 方程是：方程是：x y2 4 (6 (6 分分) )（2 2）解法一）解法一设设Sx1, y1,T(x2, y2),Q(a,1)所以所以: :切线切线SQ: x1x y12y 2 4；切线；切线TQ: x2x y22y 2 4 (8 (8 分分) )因为因为 SQSQ 和和 TQTQ 交于交于 Q Q 点所以点所以ax13y12 4和和ax23y22 4成立成立8所以所以 STST 方程：方程：ax 3y 2 0 (10 (10 分分) )所以原点到所以原点到 STST 距离距离d 2a 92，当，当a 0即即 Q Q 在在 y y 轴上时轴上时 d d 有最大值有最大值此时直线此时直线 STST 方程是方程是y 23所以所以ST 4 5, MQ 3314 53 2 523所以此时四边形所以此时四边形 QSMTQSMT 的面积的面积S 说明：此题第二问解法不唯一，可酌情赋分说明：此题第二问解法不唯一，可酌情赋分只猜出“直线只猜出“直线 STST 方程是方程是y 2”未说明理由的，”未说明理由的，3利用四点共圆的性质，写出以为直径的圆方程利用四点共圆的性质，写出以为直径的圆方程两圆方程相减得到直线方程两圆方程相减得到直线方程以后步骤赋分参照解法一以后步骤赋分参照解法一9
