在几何中的应用“三角形“四心”向量”.pdf
在几何中的应用“三角形“四心”向量”在几何中的应用“三角形“四心”向量”一、一些重要的结论：一、一些重要的结论：在在ABC中：中：若若Ax1, y1,Bx2, y2,Cx3, y3，则其重心的坐标为，则其重心的坐标为G x1 x2 x3y1 y2 y3,。33PG 1(PA PB PC)G为为ABC的重心，特别地的重心，特别地PA PB PC 0 P为为ABC3的重心；的重心；PAPB PB PC PC PA P为为ABC的垂心；的垂心；向量向量(ABAC)( 0)所在直线过所在直线过ABC的内心的内心( (是是BAC的角平分线所在直线的角平分线所在直线) )；| AB| AC | AB| PC| BC | PA|CA| PB 0 PABC的内心；的内心；二、四心应用二、四心应用1 1、重心、重心( (中线交点中线交点) )G是ABC的重心GAGBGC 0；证明 作图如右，图中GBGC GE，连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GBGC GE代入GAGBGC=0，得GA EG=0GA GE 2GD，故G是ABC的重心。(反之亦然)13证明PG PA AG PB BG PC CG3PG (AG BG CG) (PA PB PC)G是ABCPG (PAPBPC)G为ABC 的重心(P是平面上的点).的重心GAGBGC=0AG BGCG=0，即3PG PA PB PC，由此可得1PG (PAPBPC)。3练习、 向量OP1、OP2、OP3满足OP，OP求证PP12P31 OP2 OP31，1OP2OP3 0是正三角形。练习、若O 为ABC 内一点，OA OB OC 0，则O是ABC 的（）A、内心 B、外心C、垂心D、重心B练习、 A、B、C 是平面上不共线三点，O是ABC 的重心，动点P满足111OP OAOB 2OC，则点P一定为ABC 的（）322A、AB边中线的中点B、AB边中线的三等分点（非重心）C 、重心D、AB边的中点1212AOEDC练习、 证明 由已知OP1+OP2=-OP3， 两边平方得OP1OP2=， 同理OP2OP3=OP3OP1=，1 1 / 4 4在几何中的应用“三角形“四心” 向量”|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而P1P2P3是正三角形。反之， 若点O是正三角形P1P2P3的中心， 则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|.即O是ABC所在平面内一点，OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|点O是正P1P2P3的中心.练习、解析：由OA OB OC 0得OB OC OA，如图以 OB、OC 为相邻两边1构作平行四边形，则OB OC OD，由平行四边形性质知OE OD，2OA 2 OE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D。1 11P O AO B O C 2练习、 解：取AB边的中点M， 则OAOB 2OM， 由OB；，322可得3OP OM 2OC，OP OM，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B；C2 2、垂心、垂心( (高线交点高线交点) )H是ABC的垂心HAHB HBHC HCHAH由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HB AC,ABD同理HC AB，HA BC.故H是ABC的垂心.(反之亦然(证略)C若H是ABC (非直角三角形)的垂心，则SBHC: SAHC: SAHB tan A: tan B: tanC,故tan AHA tan BHB tanC HC 0.AODB练习、P是ABC 所在平面上一点，若PAPB PBPC PC PA，则P是ABC 的（）C 、重心D、垂心A、外心B、内心练习、解析:由PAPB PBPC得PAPB PBPC 0.即所以 P 为ABC 的垂PB(PA PC) 0,即PBCA 0则PB CA,同理PA BC,PC AB，心. 故选 D.、外心、外心( (边垂直平分线交点，外接圆圆心边垂直平分线交点，外接圆圆心) )O是ABC 的外心OA OB OC(或OA OB OC)(点O到三边距离相等)222OAOB AB OB OC BC OAOC CA 0（O为三边垂直平分线)若O是ABC 的外心，则SBOC: SAOC: SAOB sinBOC :sinAOC :sinAOB sin2A:sin2B;sin 2C故sin 2AOA sin 2BOB sin 2C OC 0.练习、若O为ABC 内一点，OA OB OC，则O是ABC 的（）A、内心B、外心C 、垂心D、重心练习、 解析： 由向量模的定义知O到ABC 的三顶点距离相等。 故O 是ABC 的外心，选 B。2 2 / 4 4在几何中的应用“三角形“四心” 向量”4 4、内心、内心( (角平分线交点，内切圆圆心角平分线交点，内切圆圆心) )O是ABC 的内心充要条件是OA(AB| AB | AC |AC) OB(BA| BA| BC |BC) OC (CA|CA|CB |CB) 0如果记AB，BC，CA的单位向量为e1,e2,e3，O是ABC 内心的充要条件可以写成OA(e1+e3)=OB(e1+e2)=OC(e2+e3)=0O是ABC 内心的充要条件也可以是a OA bOB cOC 0.若O是ABC 的内心，则SBOC: SAOC: SAOB a :b:c,AOCDB故a OA bOB cOC 0或sin AOA sin B OB sinC OC 0,| AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P为ABC的内心;向量(ABAC)( 0)所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在直线)；| AB | AC |*设P是ABC 所在平面内任意一点，I为ABC 内心的充要条件是PI aPA bPB cPCabc练习 1、O是平面上一个定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP OA(ABABACAC),0,，则P点轨迹一定经过ABC 的（）(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心练习、已知O是平面上的一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个动点，动点P满足OB OCABAC,0,，则P的轨迹一定通过ABC 的OP 2 AB cosBAC cosC （）(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心ABACBC 0 ，且ABAC1，则ABC练习、已知非零向量AB与AC满足2 ABAC ABAC为（）练习 1、ABAB,ACAC分别表示AB,AC上的单位向量，因此ABABABABACAC；ACACABABACAC表示菱形 ABDC对角线AD； （设AB ,AC ， 角平分线） ；(ABABACAC)( 0)表示AD，即起点A，终点在射线AD上的向量。ABABACAC)表示以OA,(ABABACAC)为邻边的平行四边形的对角线OP OA(上动点P为终点OP：因为P点总在BAC 的平分线上，所以P点过ABC 的内心。选B；3 3 / 4 4在几何中的应用“三角形“四心” 向量”练习、因为ABABAB cosB与ACAC cosC都点乘以BC后分母可以约去，且有ACAC cosCAB cosB 0，即动点P满足OPBC OD BC BC BC，其中D是边BC的中点，移向并整理，得BC OP OD 0,BC DP 0，PD是BC的中垂线，选 A；ABACBC 0,角A的平分线垂直于BC；练习、 ABAC 等边，选D；ABABAC1,角A 60；AC24 4 / 4 4在几何中的应用“三角形“四心” 向量”
