圆与方程-圆的方程典型例题.pdf

圆与方程圆与方程- -圆的方程典型例题圆的方程典型例题类型一：圆的方程类型一：圆的方程例例 1 1 求过两点A(1, 4)、B(3, 2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2, 4)与圆的关系分析：分析：欲求圆的标准方程， 需求出圆心坐标的圆的半径的大小， 而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系， 若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：解法一： （待定系数法）设圆的标准方程为(xa) (y b) r圆心在y 0上，故b 0圆的方程为(xa) y r又该圆过A(1, 4)、B(3, 2)两点22(1a) 16 r22(3a) 4 r222222解之得：a 1，r 20所以所求圆的方程为(x1) y 20解法二：解法二： （直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A(1, 4)、B(3, 2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为222kAB42 1，故l的斜率为 1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为：13y 3 x2即x y 1 0又知圆心在直线y 0上，故圆心坐标为C(1, 0)半径r AC (11) 4 222220故所求圆的方程为(x1) y 20又点P(2, 4)到圆心C(1, 0)的距离为d PC (21)24225 r点P在圆外说明：说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例例 2 2 求半径为 4，与圆x y 4x2y 4 0相切，且和直线y 0相切的圆的方程分析：分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解22(xa) (y b) r解：解：则题意，设所求圆的方程为圆C：圆C与直线y 0相切，且半径为 4，则圆心C的坐标为C1(a , 4)或C2(a , 4)又已知圆x y 4x2y 4 0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为 3若两圆相切，则CA 43 7或CA 431(1) 当C1(a , 4)时 ，(a2) (41) 7， 或(a 2) (41) 1( 无 解 ) ， 故 可 得22222222222a 22 10222222所求圆方程为(x22 10) (y 4) 4，或(x2 2 10) (y 4) 4(2) 当C2(a , 4)时 ，(a 2) (41) 7， 或(a2) (41) 1( 无 解 ) ， 故222222a 2 2 6222222所求圆的方程为(x22 6) (y 4) 4，或(x2 2 6) (y 4) 4说明：说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线y 0相切且半径为 4，则圆心坐标为C(a , 4)，且方程形如(xa)2(y 4)2 42又圆x2 y24x2y 4 0，即(x2)2(y 1)2 32，其圆心为222半径为 3 若两圆相切， 则CA 43 故(a2) (41) 7， 解之得a 22 10 所A(2,1)，222222以欲求圆的方程为(x22 10) (y 4) 4，或(x2 2 10) (y 4) 4上述误解只考虑了圆心在直线y 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y 0下方的情形另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例例 3 3 求经过点A(0,5)，且与直线x2y 0和2x y 0都相切的圆的方程分析：分析： 欲确定圆的方程 需确定圆心坐标与半径， 由于所求圆过定点A， 故只需确定圆心坐标 又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：解：圆和直线x2y 0与2x y 0相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x2y 0和2x y 0的距离相等x2y5x2y5两直线交角的平分线方程是x3y 0或3x y 0又圆过点A(0,5)，圆心C只能在直线3x y 0上设圆心C(t ,3t)C到直线2x y 0的距离等于AC，2t 3t5t2(3t 5)22化简整理得t 6t 5 0解得：t 1或t 5圆心是(1,3)，半径为5或圆心是(5,15)，半径为5 5所求圆的方程为(x1) (y 3) 5或(x5) (y 15) 125说明：说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例例 4 4、 设圆满足：(1)截y轴所得弦长为 2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l：x2y 0的距离最小的圆的方程分析：分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一：解法一：设圆心为P(a ,b)，半径为r则P到x轴、y轴的距离分别为b和a由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为2rr 2b又圆截y轴所得弦长为 2222222r a 1又P(a ,b)到直线x2y 0的距离为22d a2b525d2 a 2b a2 4b2 4ab a24b22(a2b2) 2b2a21当且仅当a b时取“=”号，此时dmin55a b这时有222b a 1a 1a 1或b 1b 122又r 2b 2故所求圆的方程为(x1) (y 1) 2或(x1) (y 1) 2解法二：同解法一，得2222d a2b5a2b 5da 4b 4 5bd 5d将a 2b 1代入上式得：222222b24 5bd 5d21 0上述方程有实根，故 8(5d21) 0，d 555代入方程得b 152将d 2又2b a 1a 1由a2b 1知a、b同号故所求圆的方程为(x1) (y 1) 2或(x1) (y 1) 2说明：说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程22224与圆O相切的切线例例 5 5已知圆O：x y 4，求过点P2，224不在圆O上，解：解：点P2，切线PT的直线方程可设为y kx24根据d r2k 41k2 2343所以y x244解得k 即3x4y 10 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x 2说明：说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决（也要注意漏2解） 还可以运用x0 x y0y r，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解例例 6 6 两圆C1：x y D1x E1y F1 0与C2：x y D2x E2y F2 0相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程分析：分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：解：设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0, y0)，则有：222222x0 y0 D1x0 E1y0F1 022x0 y0 D2x0 E2y0 F2 0得：(D1 D2)x0(E1 E2)y0 F1 F2 0A、B的坐标满足方程(D1 D2)x(E1 E2)y F1 F2 0方程(D1 D2)x(E1 E2)y F1 F2 0是过A、B两点的直线方程又过A、B两点的直线是唯一的两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为(D1 D2)x(E1 E2)y F1 F2 0说明：说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例例 7 7、过圆x y 1外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。练习：1 1求过点M(3,1)，且与圆(x1) y 4相切的直线l的方程解：设切线方程为y 1 k(x3)，即kx y3k 1 0，圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2，2222|k 3k 1|k 1223 2，解得k ，43(x3)，即3x4y13 0，4当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x 3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线x 3也适合题意。所以，所求的直线l的方程是3x4y13 0或x 35222、过坐标原点且与圆x y 4x 2y 0相切的直线的方程为2522解：设直线方程为y kx，即kx y 0.圆方程可化为(x 2) (y 1) ，圆心为（2，2切线方程为y1 -1） ，半径为2k 111010.依题意有，解得k 3或k ，直线方程为y 3x或322k21y 1x.3223、已知直线5x 12y a 0与圆x 2x y 0相切，则a的值为.解：圆(x 1)2 y21的圆心为（1，0） ，半径为 1，类型三：弦长、弧问题类型三：弦长、弧问题5 a5 12221，解得a 8或a 18.例 8、求直线l :3x y 6 0被圆C : x y 2x 4y 0截得的弦AB的长.22例 9、直线3x y 2 3 0截圆x y 4得的劣弧所对的圆心角为22解：依题意得，弦心距d 3，故弦长AB 2 r d得的劣弧所对的圆心角为AOB 2222 2，从而OAB 是等边三角形，故截3.22例 10、求两圆x y x y 2 0和x y 5的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系类型四：直线与圆的位置关系22例 11、已知直线3x y 2 3 0和圆x y 4，判断此直线与已知圆的位置关系.例 12、若直线y x m与曲线y 解：曲线y 4 x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.4 x2表示半圆x2 y2 4(y 0)，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是2 m 2或m 2 2.例例 1313 圆(x3) (y 3) 9上到直线3x4y11 0的距离为 1 的点有几个？分析：分析：借助图形直观求解或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答解法一：解法一：圆(x3) (y 3) 9的圆心为O1(3,3)，半径r 3设圆心O1到直线3x4y11 0的距离为d，则d 222233 43113 422 2 3如图，在圆心O1同侧，与直线3x4y11 0平行且距离为 1 的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意又r d 32 1与直线3x4y11 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有 3 个解法二：解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y11 0，且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为3x4ym 0，则d m113 4221，m11 5，即m 6，或m 16，也即l1： 3x4y 6 0，或l2： 3x4y16 0(x3) (y 3) 9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，则设圆O1：22d1334363 4223，d23343163 4221l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点即符合题意的点共 3 个说明：说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心O1到直线3x 4y 11 0的距离为d，则d 圆O1到3x 4y 11 0距离为 1 的点有两个显然，上述误解中的d是圆心到直线3x 4y 11 0的距离，d r，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断33 43113 422 2 3练习 1：直线x y 1与圆x y 2ay 0 (a 0)没有公共点，则a的取值范围是解：依题意有22a 12 a，解得2 1 a 2 1.a 0，0 a 2 1.22练习 2：若直线y kx 2与圆(x 2) (y 3) 1有两个不同的交点，则k的取值范围是.解：依题意有3 3、圆x y 2x4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为2的点共有（ ） （A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个22， 2，半径为分分析析：把x y 2x4y 3 0化为x1y 2 8，圆心为1222k 1k211，解得0 k 44，k的取值范围是(0,).3322r 2 2，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选 Cx1y 2 4有公共点，如4作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆C：4 4、过点P3，22图所示分析：分析：观察动画演示，分析思路解：解：设直线l的方程为yy 4 kx3即Oxkx y3k 4 0根据d r有Ek 23k 41k整理得2 2P3k24k 0解得0 k 43类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例 14、判断圆C1: x y 2x 6y 26 0与圆C2: x y 4x 2y 4 0的位置关系，2222例 15：圆x y 2x 0和圆x y 4y 0的公切线共有条。22222222解： 圆(x 1) y1的圆心为O1(1,0)， 半径r11， 圆x (y 2) 4的圆心为O2(0,2)，半径r2 2，O1O25,r1 r2 3,r2r11.r2r1 O1O2 r1 r2，两圆相交.共有 2条公切线。练习1：若圆x y 2mx m 4 0与圆x y 2x 4my 4m 8 0相切，则实数m的取值集合是.2222解：圆(x m) y 4的圆心为O1(m,0)，半径r1 2，圆(x 1) (y 2m) 9的圆心为222222O2(1,2m)， 半 径r2 3， 且 两 圆 相 切 ， O1O2 r1 r2或O1O2 r2r1， (m 1)2 (2m)2 5或(m 1)2 (2m)21，解得m 实数m的取值集合是125或m 2，或m 0或m ，52125, , 0, 2.52222：求与圆x y 5外切于点P(1,2)，且半径为2 5的圆的方程.解：设所求圆的圆心为O1(a,b)，则所求圆的方程为(x a) (y b) 20.两圆外切于点P，221122OP OO1， (1,2) (a,b)， a 3,b 6， 所求圆的方程为(x 3) (y 6) 20.33类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题例 16、圆x y 2x6y 9 0关于直线2x y 5 0对称的圆的方程是223发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在例例 1717自点A3，的直线与圆C：x y 4x4y 7 0相切（1）求光线l和反射光线所在的直线方程（2）光线自A到切点所经过的路程分析、分析、略解：略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点AA22yMCN3，其次设过A的圆C的切线方程为的对称点A的坐标为3，G OBy kx33根据d r，即求出圆C的切线的斜率为xk 43或k 34A进一步求出反射光线所在的直线的方程为图4x3y3 0或3x4y3 0最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x3y3 0或3x4y3 0光路的距离为AM，可由勾股定理求得AM2 AC CM 722说明：说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题例 18：圆x y 4x 4y 10 0上的点到直线x y 14 0的最大距离与最小距离的差是22解：圆(x 2) (y 2) 18的圆心为（2，2） ，半径r 3 2，圆心到直线的距离22d 102 5 2 r，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(d r) (d r) 2r 6 2.(x3) (y 4) 1，P(x , y)为圆O上的动点，求d x y的最大、最例例 1919(1)已知圆O1：小值2222(x2) y 1，P(x , y)为圆上任一点 求(2)已知圆O2：22y 2的最大、 最小值， 求x2y的x1最大、最小值分析：分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：解：(1)(法 1)由圆的标准方程(x3) (y 4) 122可设圆的参数方程为22x 3cos,（是参数） y 4sin,22则d x y 96coscos168sinsin 266cos8sin 2610cos()（其中tan所以dmax 2610 36，dmin 2610 164） 3(法 2)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径 1，圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径 1所以d132421 6d232421 4所以dmax 36dmin16x 2cos,(2) (法 1)由(x2) y 1得圆的参数方程：是参数y sin,22则y2sin2sin2令 t，x1cos3cos3得sintcos 23t，1t2sin() 23t23t1t2 sin() 13333 t 44所以tmax3333，tmin44即3333y 2的最大值为，最小值为44x1此时x2y 2cos2sin 25cos()所以x2y的最大值为25，最小值为25(法 2)设图所示，y2 k，则kx y k 2 0由于P(x , y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如x1两条切线的斜率分别是最大、最小值由d 2k k 21k21，得k 334所以3333y 2的最大值为，最小值为44x1令x2y t，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值由d 2m51，得m 25所以x2y的最大值为25，最小值为2522例 20：已知A(2,0)，B(2,0)，点P在圆(x 3) (y 4) 4上运动，则PA PB的最小22值是.解：设P(x, y)，则PA PB (x 2)2 y2(x 2)2 y2 2(x2 y2)8 2OP8.设圆心为C(3,4)，则OP练习：221：已知点P(x, y)在圆x (y 1) 1上运动.2 OC r 52 3，PA PB的最小值为23 8 26.22222miny 1的最大值与最小值； （2）求2x y的最大值与最小值.x 2y 1 k，则k表示点P(x, y)与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取得解： （1）设x 2（1）求最大值与最小值.由2kk211，解得k y 1333，的最大值为，最小值为.x 2333（2）设2x y m，则m表示直线2x y m在y轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值.由1 m51，解得m 15，2x y的最大值为15，最小值为15.2 2 设点P(x , y)是圆x y 1是任一点，求u y2的取值范围x1分析一：分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决22解法一：解法一：设圆x y 1上任一点P(cos,sin)则有x cos，y sin0, 2)u 22sin2，ucosu sin 2cos1ucossin (u 2)即u21sin() u 2（tanu）sin() (u 2)u 12又sin() 1u 2u 121解之得：u 34y222分析二：分析二：u 的几何意义是过圆x y 1上一动点和定点(1, 2)的连线的斜率，利用x122此直线与圆x y 1有公共点，可确定出u的取值范围解法二：解法二：由u 直线的距离d 1y222得：y 2 u(x1)，此直线与圆x y 1有公共点，故点(0 , 0)到x1u 2u 1213422解得：u 另外，直线y 2 u(x1)与圆x y 1的公共点还可以这样来处理：y2 u(x1)2222(u 1)x (2u 4u)x(u 4u 3) 0，由2消去后得：y2x y 1此方程有实根，故 (2u 4u) 4(u 1)(u 4u 3) 0，解之得：u 222234说明：说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便3、已知点A(2,2), B(2,6), C(4,2)，点P在圆x2 y2 4上运动，求PA PB PC的最大值和最小值.类型八：轨迹问题例 21、基础训练：已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为22例 22、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3） ，端点A在圆(x 1) y 4上运动，求线段AB2221，求点M的轨迹方程.2的中点M的轨迹方程.例例 2323 如图所示， 已知圆O：x y 4与y轴的正方向交于A点， 点B在直线y 2上运动， 过B做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹22分析：分析：按常规求轨迹的方法，设H(x , y)，找x, y的关系非常难由于H点随B，C点运动而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系解：解：设H(x , y)，C(x , y )，连结AH，CH，则AH BC，CH AB，BC是切线OC BC，所以OC/ AH，CH /OA，OAOC，所以四边形AOCH是菱形y y 2,所以CH OA 2，得x x.又C(x , y )满足x y 4，所以x (y 2) 4(x 0)即是所求轨迹方程说明：说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方程做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，2222可考虑代入法例例 2424 已知圆的方程为x y r， 圆内有定点P(a ,b)， 圆周上有两个动点A、B， 使PA PB，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程分析：分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解解法一：解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB，PQ交于M，显然OM AB，AB PQ，222在直角三角形AOM中，若设Q(x , y)，则M(xa2,y b2)由OM2 AM2 OA2，即(xa)2(yb)21(xa)2(yb)2224 r2，也即x2 y2 2r2(a2b2)，这便是Q的轨迹方程解法二：解法二：设Q(x , y)、A(x2222221, y1)、B(x2, y2)，则x1 y1 r，x2 y2 r又PQ2 AB2，即(xa)2(y b)2 (x21 x2) (y1 y2)2 2r22(x1x2 y1y2)又AB与PQ的中点重合，故xa x1 x2，y b y1 y2，即(xa)2(y b)2 2r22(x1x2 y1y2)，有x2 y2 2r2(a2b2)这就是所求的轨迹方程解法三：解法三：设A(rcos, rsin)、B(rcos, rsin)、Q(x , y)，由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有xa rcosrcos，yb rsinrsin，又由PA PB有rsinbrsinb 1rcosa rcosa22222联立、消去、，即可得Q点的轨迹方程为x y 2r (a b )说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中本题给出三种解法其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法解法二涉及到了x1、x2、y1、y2四个参数， 故需列出五个方程； 而解法三中， 由于借助了圆x y r的参数方程， 只涉及到两个参数、222，故只需列出三个方程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解练习：221、由动点P向圆x y1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程是.解：设P(x, y).APB=600，OPA=300.OA AP，OP 2OA 2，x2 y2 2，2222化简得x y 4，动点P的轨迹方程是x y 4.练习巩固：设A(c,0),B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a 0)，求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P(x, y).由PAPB a(a 0)，得(x c)2 y2(x c) y22 a，化简得(1 a2)x2 (1 a2)y2 2c(1 a2)x c2(1 a2) 0.1 a2ac22c(1 a2)222当a 1时，化简得x y ，整理得(x c) y ()；x c 0222a 1a 11 a222当a 1时，化简得x 0.2ac1 a2所以当a 1时，P点的轨迹是以(2为半径的圆；c, 0)为圆心，2a 1a 1当a 1时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA 2PB，则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是(x, y).由PA 2PB，得(x 2)2 y2 2 (x 1)2 y2，化简得(x 2)2 y2 4，点P的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆，所求面积为4.224、已知定点B(3,0)，点A在圆x y1上运动，M是线段AB上的一点，且AM 1MB，3问点M的轨迹是什么？解：设M(x, y), A(x1, y1).AM 11MB，(x x1, y y1) (3 x,y)，3314x x (3 x)x x 111332222，.点A在圆x y1上运动，x1 y11，y y 1yy 4y1133443939(x 1)2 (y)21，即(x )2 y2，点M的轨迹方程是(x )2 y2.3341641622例 5、已知定点B(3,0)，点A在圆x y1上运动，AOB的平分线交AB于点M，则点M的轨迹方程是.1解：设M(x, y), A(x1, y1).OM是AOB的平分线，AMOA1， AM MB.由变式3MBOB3391 可得点M的轨迹方程是(x )2 y2.41622练习巩固：已知直线y kx 1与圆x y 4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程.解：设P(x, y)，AB的中点为M.OAPB是平行四边形，M是OP的中点，点M的坐标为x y(,)， 且OM AB. 直 线y kx 1经 过 定 点C(0,1)， OM CM， 2 2x yx yxy y22OM CM (,)(,1) ( )2(1) 0，化简得x (y 1) 1.点P的轨迹方程是2 22 222 2x2 (y 1)21.类型九：圆的综合应用例例 2525、 已知圆x y x6y m 0与直线x2y 3 0相交于P、Q两点，O为原点，且22OP OQ，求实数m的值分析：分析：设P、Q两点的坐标为(x1, y1)、(x2, y2)，则由kOPkOQ 1，可得x1x2 y1y2 0，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为程构造以y，由直线l与圆的方xy为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出kOPkOQ的值，从而使问题得以解决x解法一：解法一：设点P、Q的坐标为(x1, y1)、(x2, y2)一方面，由OP OQ，得kOPkOQ 1，即y1y2 1，也即：x1x2 y1y2 0 x1x2另一方面，(x1, y1)、(x2, y2)是方程组程5x 10 x4m27 0的两个根x1 x2 2，x1x22x2y3 0 x y x6ym 022的实数解，即x1、x2是方4m275又P、Q在直线x2y 3 0上，111(3 x1)(3 x2) 93(x1 x2) x1x2224m12将代入，得y1y25将、代入，解得m 3，代入方程，检验 0成立，m 3y1y2解法二：解法二：由直线方程可得3 x2y，代入圆的方程x y x6y m 0，有221mx2 y2(x2y)(x6y)(x2y)2 0，39整理，得(12m)x 4(m3)xy (4m27)y 0由于x 0，故可得22yy(4m27)( )24(m3)12m 0 xxkOP，kOQ是上述方程两根故kOPkOQ 1得12m 1，解得m 34m27经检验可知m 3为所求说明：说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于y的二次x齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感例例 2626、已知对于圆x (y 1) 1上任一点P(x , y)，不等式x ym 0恒成立，求实数m的取值范围分析一：分析一：为了使不等式x ym 0恒成立，即使x y m恒成立，只须使(x y)min m就行了因此只要求出x y的最小值，m的范围就可求得解法一：解法一：令u x y，22x y u由22x (y1) 1得：2y 2(u 1)y u 0 0且 4(u 1) 8u，4(u 2u 1) 0即u 2u 1) 0，12 u 12，umin12，即(x y)min12又x ym 0恒成立即x y m恒成立(x y)min12 m成立，m 2222222 122分析二：分析二： 设圆上一点P(cos,1sin)因为这时P点坐标满足方程x (y 1) 1问题转化为利用三解问题来解解法二：解法二：设圆x (y 1) 1上任一点P(cos,1sin)0, 2)x cos，y 1sinx ym 0恒成立cos1sinm 0即m (1cossin)恒成立只须m不小于(1cossin)的最大值设u (sin cos)1 2sin(umax2 1即m 224)12 1222说明：说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆(xa) (y b) r上的点设为(arcos,brsin)(0, 2)采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换例例 2727 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的 3 倍已知A、B两地距离为 10 公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低 求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点分析：分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法解：解：以A、B所确定的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系AB 10，A(5 , 0)，B(5, 0)设某地P的坐标为(x , y)， 且P地居民选择A地购买商品便宜， 并设A地的运费为3a元/公里，B地的运费为a元/公里因为P地居民购货总费用满足条件：价格A地运费价格B地的运费即：3a (x5) y a (x5) y2222a 0，3 (x5)2 y2(x5)2 y225215) y2 ()2442515以点(, 0)为圆心为半径的圆是两地购货的分界线44圆内的居民从A地购货便宜，圆外的居民从B地购货便宜，圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等因此可随意从A、B两地之一购货化简整理得：(x说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型连续很多天都是天亮之后才睡觉。别人问我，你晚上不睡觉都在干嘛。我马上回答，写稿啊，书稿还没交呢。但其实，我一个字也没写。而之所以熬夜，也不过是因为心里有牵挂的人和未完成的事吧。别人问你怎么还不睡，你说不困。其实熬夜很困，打个哈欠都会有眼泪流出来，只是心中一直有所期待，有所牵挂。就好像下一秒就会收到喜欢的人的消息，下一秒就能遇见一个惊喜。又或者，熬了太久却迟迟得不到自己想要的结果，渐渐的习惯了孤独。为什么会熬夜呢，大概是因为白天的自己太理智，太冷漠，好像什么都不在乎。所以有些情绪和思念，心酸和不舍，是要留到深夜独自慢慢消化的。白天的自己和晚上的自己完全不是同一个人啊，白天口口声声说一定早睡，晚上却从来做不到。像失忆一样拿命熬夜，白天开开心心无忧无虑，晚上却忧郁的不行。白天觉得我最牛逼，晚上却变成世界第一大傻逼。总觉得幸福的人是不用熬夜的，每天都有规律的生活，爱的人就躺在身边，现在过的是想要的生活，手里牵的是喜欢的人。昨天有人问我，为什么你晚上不睡觉。我想了很久，已经两三年没有在两点之前入睡过了。但我也说不清为什么，那个人突然给我发了一段话，我突然觉得，这是我熬夜的原因，也是很多人熬夜的原因。你总是习惯熬夜，然后我也故意很晚都不睡。装作是和你一样睡不着，这样就可以和你聊很久，可是你都不知道其实我要困死了。后来你走了，熬夜的习惯却怎么都改不掉。说片面点是熬夜，说实在点是失眠，说实话是想你。你有没有过，为了陪一个人聊天，其实下一秒已经要睡着，但还是死抓着手机不肯睡。你有没有过，因为一个人的一句话，明明很困却突然变得很清醒，开心和喜悦赶走了所有困意。你有没有过，为了等一个人的晚安，不停的刷着朋友圈发着动态，其实只想让他看到你还没睡。你有没有过，因为太思念一个人，每天都害怕深夜来临，害怕孤独，害怕寂寞，害怕牵挂的感觉。我知道，你都有过。可是，你每天这样熬夜，有人心疼你吗？前天晚上一个作家姐姐突然发消息说，妹妹，钱是挣不完的，别累着自己，身体最重要。昨晚她发现我又在熬夜，给我发消息说，一定照顾好自己，莫名心疼你。我很感动，又觉得很可笑。一个没见过面的人看你熬夜都会心疼，会劝你照顾好自己，但你每天熬夜想着的那个人，没给你发过一条消息。第一次见面的陌生人都会劝你少喝酒少抽烟，素不相识的微信好友都会让你早点休息，可你抽烟喝酒熬夜在等的那个人，从来都没在意过你，连一句晚安都没有。我经常给别人讲道理，永远不要为了一个不爱你的人折磨自己。但这句话其实就像放屁，因为一旦爱上一个人，就没办法控制自己。我们在爱情里，从来都不是理性的。后来有人问我，怎么忘记一个人。我说，把酒喝够，把烟抽完，把黑夜熬成天亮，等你真的感觉疼了，你就忘记了。不撞南墙不死心，大概就是这个道理。别人苦口婆心的劝说，其实你一点儿都听不进去。你害怕失去、害怕背叛、害怕从未拥有，你害怕的太多、心事太多，所以很难入睡。那你就熬吧，等熬过了这一阵，你又会觉得其实生活还是很美好。你要记住，所有关于感情的问题，都不要在深夜做决定。无论分手还是牵手，无论坚持还是放弃。因为女人啊，从来都不是理性动物，再加上深夜里的一杯红酒，一根香烟，感性越发强烈。五年前第一次听梁静茹的问，歌里唱，如果女人，总是等到夜深，无悔付出青春，他就会对你真。那时候真的傻到相信，用心爱一个人，就能把他留在自己身边。现在才明白，在一起一辈子这种事，不是嘴上说了就可以。外面的诱惑这么多，人的欲望这么大，而你能给的爱，其实就这么多。后来我经常说，如果爱一个人又不可得，那就找个爱自己的吧。别太累，别付出太多，别太委屈，你说你爱他所以无所畏惧，但你的感情和耐心其实就这么多，你无法永远输出。总有一天它们会因迟迟得不到回应而枯竭。等到那一天你会发现，哪怕再遇到喜欢的人，也没有力气去喜欢了。