二次函数学案(全章).pdf

学习必备欢迎下载第第 1 1 课时课时二次函数的概念二次函数的概念【学习目标学习目标】1经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2探索并归纳二次函数的定义；3能够表示简单变量之间的二次函数关系。【学习重点学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。【课时类型课时类型】概念课【学习过程学习过程】一、学习准备一、学习准备1函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量。2一次函数的关系式为 y=(其中 k、b 是常数，且 k0k0)；正比例函数的关系式为 y(其中 k是的常数)；反比例函数的关系式为 y=(k 是的常数)。二、解读教材二、解读教材数学知识源于生活数学知识源于生活3某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5 个橙子。假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有棵橙子树，这时平均每棵树结个橙子，如果果园橙子的总产量为 y 个，那么 y=。4如果你到银行存款 100 元，设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？。5能否根据刚才推导出的式子 y=-5x2+100 x+60000 和 y=100 x2+200 x+100 猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如一般地，形如 y yaxax2 2+bx+c(a+bx+c(a，b b，c c 是常数，是常数，a0)a0)的函数叫做的函数叫做 x x 的二次函数。的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。例 1 下列函数中，哪些是二次函数？(1)注意：注意：(1)(1)关于关于 x x 的代数式一定是整的代数式一定是整式，其中式，其中 a a，b b，c c 为常数且为常数且 a a 0 0；(2)(2)等式的右边最高次数为等式的右边最高次数为 2 2，可以，可以112y 3x(2)y 212x221t 5t(4)sy 2 2x(3)(5)y (x 3)2 x2(6)s 10r2即时练习即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？学习必备欢迎下载(1)(4)三、挖掘教材三、挖掘教材6 6对二次函数定义的深刻理解及运用对二次函数定义的深刻理解及运用例 2 若函数2221(5)y (6)s x y （3 x 1 ）1ax c123(3)y x 25y x2(2)y x x(x 1)2y xk23k2kx1是二次函数，求 k 的值。分析：分析：x 的最高次数等于 2，即 k2-3k+2=2，求出 k 的值即可。解：即时练习即时练习：若函数四、反思小结四、反思小结1我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。2定义：一般地，形如一般地，形如 y=axy=ax+bx+c(a+bx+c(a，b b，c c 是常数，是常数，a0)a0) 的函数叫做的函数叫做 x x 的二次函数。的二次函数。3二次函数 y=ax+bx+c(a，b，c 是常数，a0)的几种不同表示形式：(1) y=ax (a0)；(2) y=ax+c (a0 且 c0)；(3) y=ax+bx (a0 且 b0)。4 4二次函数定义的核心是关键字“二”二次函数定义的核心是关键字“二” ，即必须满足自变量最高次项的指数为，即必须满足自变量最高次项的指数为 _，且，且_项系数不为项系数不为_的整式。的整式。【达标测评】【达标测评】1下列函数不属于二次函数的是（）Ay=(x1)(x+2)By=y (k 3)xk23k2kx1是二次函数，则 k 的值为。12(x+1)2Cy=2(x+3)22x2Dy=13x22在边长为 6 cm 的正方形中间剪去一个边长为 x cm(x0） ,y 随 x 的增大而； 在对称轴的右侧 （x0y=ax2(a0)x0y=ax2(a0 时，y 随 x 的增大而增大，求 m 的值。m2m102y mx的图象是抛物线，则它是二次函数，所以 m2+m-10=2，且 m0；当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，所以 m0。m2 m10 2m 3或m 4解：由题意得：解得：m 0m 0又当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，所以 m0。 m=310已知抛物线 y=ax2经过点 A（-2，-8） ， （1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点 B（-1，- 4）是否在此抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标。四、反思小结四、反思小结二次函数的 yax2（a0）的图象与性质：五个方面理解：，。【达标测评】【达标测评】1抛物线y=2x2的顶点坐标是，对称轴是，在侧，y 随着 x 的增大而增大；在侧,y 随着 x 的增大而减小。当 x=时，函数 y 的值最小,最小值是。抛物线 y=2x2的图象在方（除顶点外） 。2函数 yx2的顶点坐标为，若点（a，4）在其图象上，则 a 的值是。3函数 yx2与 y-x2的图象关于对称，也可以认为 y-x2是函数 yx2的图象绕旋转得到的。4求出函数 y=x+2 与函数 yx2的图象的交点坐标。5若 a1，点（a-1，y1） ， （a，y2） ， （a+1，y3）都在函数 yx2的图象上，判断 y1，y2，y3的大小关系是。学习必备欢迎下载第第 3 3 课时课时二次函数二次函数 y yaxax2 2+k+k 的图象与性质的图象与性质【学习目标】【学习目标】1会用描点法作出函数 yax2+k 的图象，能根据图象认识和理解二次函数 yax2+k 的性质；2理解二次函数 yax2+k 中 a 和 k 对函数图象的影响；3理解二次函数 yax2与 yax2+k 的关系。【学习重点】【学习重点】理解二次函数 yax2+k 的性质。【学习难点】【学习难点】理解二次函数 yax2与 yax2+k 的关系。【学习过程】一、学习准备【学习过程】一、学习准备 1 1画出两条抛物线的草图并填空。抛物线抛物线开口方向开口方向对称轴对称轴在对称轴左侧， y 随 x 的增大而。增减性增减性在对称轴右侧， y 随 x 的增大而。顶点坐标顶点坐标最值最值yx2y-x2Oyx当 x=0 时，ymax=。二、解读教材二、解读教材 2用描点法用描点法作出二次函数 y2x2+1 的图像。xy2x +12y0O小结：小结：y2x2+1 的图像是，且开口向。对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：x在对称轴左侧，y 随 x 的增大而；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而。顶点是：(， )，且从图像看它有最点，则函数y 有最值，即当x=时 y 有最值是。3在同一直角坐标系中，作出二次函数 y-x2，y-x2+2，y-x2-2 的图像。xy-x2y-x +2y-x2-22yOx小结：小结：抛物线 yax2+k 的开口方向由决定，当时，开口向上；当时，开口向下。对称轴是，当 a0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而。学习必备欢迎下载且函数 y 当 x=0 时 ymin=。当a0时，y 随 x 的增大而。当 x=时，y 有最值为。三、挖掘教材三、挖掘教材-抛物线 yax2+k 可以由抛物线 yax2经过向上（k0）或向下(k0)草图开口方向对称轴增减性顶点坐标最值32x2的图像可以看作函数 y=32x2k的图像有一个公共点是（-1，-1） 。xy=ax2(a0)y=ax2+k(a0）或向(k0，则开口向上，而对称轴xx x b1。 则大致图象是：2a2即时练习：在右边空白处画出函数即时练习：在右边空白处画出函数 y=x2+n 的大致图象。变式训练：画出函数变式训练：画出函数 y=x2+mx+3 的大致图象。三、巩固训练：三、巩固训练：作出下列函数的大致图象y x23x2y x24x4y 2x21y 1x1x22学习必备欢迎下载第第 8 8 课时课时根据抛物线得到二次函数系数信息根据抛物线得到二次函数系数信息【学习目标】【学习目标】根据图象得到a、b、c及它们之间的关系。【学习重点】【学习重点】读图、找出特殊点的坐标。【学习过程】一、学习准备【学习过程】一、学习准备二次函数y ax2bxca 0中，它的顶点坐标式可写为：_，对称轴是，顶点坐标是，还可以写为：，其中对称轴是 _，顶点坐标是。二、典例示范二、典例示范例 1 已知函数y ax2bxc的图象如图所示，x 1为该图象的对称轴，根据图象信息，你能得到关于系数3y ya、b、c的一些什么结论？解：由图可得：a0；1c0；对称轴在y轴的左边a、b同号，对称轴在 y 轴的右边，1 1b1，即2a 3b，由可得b0；2a3a、bb又1 而 a0 则得b2a，2a+b0；2a由得abc0；考虑x 1时-1-1o o1/31/31 12 2x x-1-1y0，所以有abc0；y0，所以有abc0；考虑x 1时考虑x 2时y0，所以有4a2bc0，同理x 2时，4a2bc0；2图象与 x 轴有两个交点，所以b例 2 如图是二次函数24ac0。y yy ax2bxc图像的一部分，图像过点 A3,0，对称轴x 1，给出四个结论：b4ac，2ab 0，abc 0，5ab，其中正确的结论是（）A、B、C、D、分析：由图象可以知道a0；抛物线与 x 轴有两个交点，4ac0，即b24ac；b 1，2a b，b0；又对称轴x 1，即2ab2ab 0，a、b均为负数，5ab；当x 1时，抛物线有最高点，abc0；综上，正确的是，故选 B。例 3 如图所示的抛物线是二次函数分析：由图象可知：a0；当x即a22A Ao ox xy yy ax 3xa22的图象，那么a的值是_。1 1 0时y 1，o ox x1，a 1，但是a0，故a 1。学习必备欢迎下载三、巩固训练三、巩固训练1抛物线y ax2bxc如图所示，则（）A、a0，b0，c0B、a0，b0，c0C、a0，b0，c0D、a0，b0，c02已知二次函数y ax2bxc的图像如图所示，下列结论中正确的个数是（）abc0，abc0，abc0，b 2aA、4 个B、3 个C、2 个D、1 个3已知函数1 题第o ox xy x22xc的部分图像如图所示，则 c0，当 x_时，y 随 x 的增大而减小。y yx=-1x=-1y yy y第 3 题o o1 1x x第 2 题o o1 13 3x x4 已知一次函数2则关于抛物线y ax bx 3的三条叙述： 过定点2,1；y axb的图像过点2,1，对称轴可以是x 1；当a0 时，其顶点的纵坐标的最小值为 3，其中正确叙述的个数是（）A、0B、1C、2D、35已知二次函数y ax2bxca 0的图象如图所示，当 y0 时，x 的取值范围是（）A、1x3B、x3C、x-1D、x3 或 x-16抛物线y ax2bxc的图象与 x 轴的一个交点是2,0，顶点是1,3，下列说法中不正确的是（）A、抛物线的对称轴是x 1B、抛物线开口向下C、抛物线与 x 轴的另一个交点是2,0D、当x 1时，y 有最大值是 37已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A、-1O3xy x22x3B、y x22x3C、y x22x3D、y x22x3y第 5 题y321-2-1O12y-1O3x第 7 题第 6 题x-38在直角坐标系中画一个二次函数y=ax +bx+c 的图象，且满足b0，c0B、a+b+cab-acD、4ac-b2012若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则直线 y=abx+c 不经过象限。yyy第 9 题Ox第 10 题-1O1x第 11题O1x第 12 题Oxy学习必备欢迎下载第第 9 9 课时课时求二次函数的解析式（一）求二次函数的解析式（一）【学习目标学习目标】1掌握已知三点，会用一般式求函数的表达式；2掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求函数的表达式。3掌握已知两根及一点，用两根式求函数解析式。【学习重点学习重点】用一般式、顶点式求函数的表达式。【学习难点学习难点】用顶点式和两根式求函数的表达式。【学习过程学习过程】一、学习准备一、学习准备：1已知一次函数经过点（1，2） ， （-1，0） ，则一次函数的解析式为。2二次函数的一般式为，二次函数的顶点式，二次函数的两根式（或交点式）为。二、方法探究（一）二、方法探究（一）已知三点，用一般式求函数的表达式。已知三点，用一般式求函数的表达式。3例 1 二次函数的图象经过（0，2） ， （1，1） ， （3，5）三点，求二次函数的解析式。4即时练习即时练习 已知抛物线经过 A（-1，0） ，B（1，0） ，C（0，1）三点，求二次函数的解析式。三、方法探究（二）三、方法探究（二）已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。5例 2 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3） ，且经过点（-1，7） ，求函数的解析式。解：设抛物线的解析式为y a(xh)2k。把顶点（2，3）,即 h=-2, k=3 代入表达式为y a(x2)23再把（1，7）代入上式为7 a ( 122 ) 3解得a 4y 4(x2)23所以函数解析式为即y 4x216x196即时练习即时练习 （1）抛物线经过点（0，8） ，当x 1时，函数有最小值为9，求抛物线的解析式。学习必备欢迎下载（2）已知二次函数四、方法探究（三）已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。四、方法探究（三）已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。7例 3 已知抛物线经过（1，0） ， （3，0） ，且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。解：设抛物线的解析式为y a(xh)2k，当x 2时，函数有最大值 2，其过点(0，2)，求这个二次函数的解析式。y a(x x1)(x x2)把抛物线经过的（1，0） ， （3，0）两点代入上式为：y a(x1)(x3)再把（2，6）带入上式为6 a(21)(x3)解得a 2所以函数的解析式为即y 2(x1)(x3)y 2x2 4x68即时练习即时练习 已知抛物线经过 A（-2，0） ，B（4，0） ，C(0，3)，求二次函数的解析式。五、反思小结求二次函数解析式的方法五、反思小结求二次函数解析式的方法1已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？2用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。3用两根式求二次函数的解题思路是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求解析式比较简单。【达标测评】【达标测评】求下列二次函数的解析式：1图象过点（1，0） 、 （0，-2）和（2，3） 。2当 x=2 时，y最大值=3，且过点（1，-3） 。3图象与 x 轴交点的横坐标分别为2 和-4，且过点(1，-10)学习必备欢迎下载第第 1010 课时课时求二次函数的解析式（二）求二次函数的解析式（二）【学习目标学习目标】1了解二次函数的三种表示方式；2会灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。【学习重点学习重点】灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。【学习过程学习过程】一、学习准备学习准备1函数的表示方式有三种：法，法，法。2二次函数的表达式有：、，。二、典型例题用适当的方法求出二次函数的表达式二、典型例题用适当的方法求出二次函数的表达式3例 1 已知抛物线y ax2bxc(a 0)与 x 轴的两个交点的横坐标是1，3，顶点坐标是（1，2） ，求函数的解析式（用三种方法）4即时练习：即时练习：用适当的方法求出二次函数的解析式。一条抛物线的形状与5例 2 已知如图，抛物线y x2相同，且对称轴是直线x 1，与 y 轴交于点（0，1） ，求抛物线的解析式。2y ax2 2ax b与x轴的一个交点为 A(-1,0)，与 y 轴的正半轴交于点 C。直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点 B 的坐标；当点 CO=3时，求抛物线的解析式。学习必备欢迎下载6即时练习：即时练习：已知直线 y=2x-4 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象相交于 A（-2，m） ，B(n，2)两点，且抛物线以直线x=3为对称轴，求抛物线的解析式。三、反思小结求二次函数解析式的方法三、反思小结求二次函数解析式的方法1已知三点或三对 x、y 的对应值，通常用2已知图象的顶点或对称轴，通常用y ax2bxc(a 0)。y a(xh)2k(a 0)。y a(x x1)(x x2)(a 0)。3已知图象与 x 轴的交点坐标，通常用四、巩固训练四、巩固训练1已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1,0)，该二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为(4,0)。（1）求 B 点的坐标（2）求这个二次函数的关系式；2 2如图，在平面直角坐标系中，直线y 3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线yy ax2（1）求过2 3xc(a 0)经过A，B，C三点。3ACOFBxA，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标。（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由。学习必备欢迎下载第第 1111课时课时利用二次函数求最大利润利用二次函数求最大利润【学习目标】【学习目标】1能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，体会数学“建模”思想，并感受数学的应用价值；b2并能运用公式当 x=时，y2a最大（小）值4acb2=4a解决实际问题。【学习重点】【学习重点】用“数形结合”的思想理解公式，并能运用公式解决实际问题。【学习难点】【学习难点】分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。【学习过程】一、学习准备【学习过程】一、学习准备1二次函数 y=ax2+bx+c 的图像是一条_，它的对称轴是直线 x=b，顶点是_。2a2二次函数 y=-2x2+3x-1 的图象开口_，所以函数有最_值，即当 x=时，ymax =_。二、解读教材二、解读教材3例 1 某商经营 T 恤衫，已知成批购买时的单价是 5 元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是 15 元时，销售量是 500 件，而单价每降低 1 元，就可以多售 200 件。问销售价是多少时，可以获利最多？分析：分析：若设销售单价为 x(x15)元，所获利润为 y 元，则：(1)销售量可以表示为_；(2)销售额可以表示为_；(3)销售成本可以表示为_；(4)所获利润可表示为 y=_。解：设根据题意得关系式：y=_，即 y=。a=0，则当 x=-b时，y()=；若 a0，则当 x=时，y()=。2a2在二次函数 y=2x2-8x+9 中当 x=时，函数 y 有最值等于。3如图，在边BC 长为 20cm，高AM 为 16cm 的 ABC 内接矩形 EFGH，并且它的一边FG 在 ABC 的边 BC 上，E、F 分别在 AB、AC 上，若设 EF 为 xcm，请用 x 的代数式表示 EH。解：矩形 EFGH， EHBC AEH_。又BC 上的高 AM 交 EH 于 T。这是一个二级图形哟！这是一个二级图形哟！公式：公式：A AE ET TH H上底上高下底全高ATAM=_，即16 x=_。16B BEH=。二、解读教材二、解读教材F FMMG GC C4在上题图中，若要使矩形 EFGH 获得最大面积，那么它的长和宽各是多少？最大面积是多少？解：设矩形面积为 y，而 EF=x，EH=，则 y=。a= -利用相似三角形性质和矩形面积利用相似三角形性质和矩形面积50，且 x=时，函数bb时，y 随 x 的增大而，当 x时，y 随 x 的2a2ab增大而；当 a0 时，与 y 轴交于半轴，当 c0 时， 一元二次方程ax bx c 0(a 0)22有两个的实数根， 抛物线与 x 轴有个交点， 当 =0 时， 一元二次方程ax有两个的实数根， 抛物线与 x 轴有个交点， 当 0；当x时，y0；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小。7请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上。8抛物线顶点为 P(-1，-8)且经过点(0，-6)，则此抛物线的解析式为。9函数ABCDy axb和y ax2bxc在同一直角坐标系内的图象大致是： （）学习必备欢迎下载10二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图，则a、b、c、b2 4ac的取值范围是： （）2A、a0，b0，c0，bC、a0, 4ac0B、a0，b0，c0，b 4ac031（）|( )221的结果相同的是：422yb0，c0，b2 4ac0D、a0，b0，c0,b2 4ac0Ox11下列图中阴影部分的面积与算式|ABCD12求满足下列条件的二次函数解析式：（1）图象过（1，0） 、 （0，-2）和（2，3） 。（2）图象与 x 轴的交点的横坐标为-2 和 1，且过点（2，4） 。（3）当 x=2 时，y最大值=3，且过点（1，-3） 。13如图所示，是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A 和 A1、点B 和 B1分别关于y轴对称，隧道拱部分 BCB1为一条抛物线，最高点 C 离路面 AA1的距离为 8m，点 B 离路面为 6m，隧道的宽度 AA1为16m；（1）求隧道拱抛物线 BCB1的函数解析式；（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽度为 4m，车载大型设备的顶部与路面的距离均为 7m，它能否通过这个隧道？请说明理由。AOA1ByCB1x学习必备欢迎下载