二次型历史.pdf

二次型历史二次型的系统研究是从 18 世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论， 将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在 18 世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了 n 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801 年，高斯在算术研究中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。 特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中， 拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。 而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson，17811840）建立的。柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来， 他又证明了 n 个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。