（课件1）14角平分线.ppt
4. 4.角平分线（角平分线（1 1） 性质定理与逆定理性质定理与逆定理 创设情景，提出问题创设情景，提出问题驶向胜利的彼岸(1)在一张纸上任意画一个角AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合； 猜一猜:在上述的操作中，你发出了什么，说说你的理由；在上述的操作中，你发出了什么，说说你的理由；(2)在折痕上任意取一C； (3)过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA是折痕与OA边的交点，即垂足； (4)将纸打开，新的折痕与OB边的交点为E。 做一做做一做驶向胜利的彼岸已知已知: :如图如图, ,OC是是AOB的平分线的平分线, ,P是是OC上任意一点上任意一点, ,PDOA, ,PEOB, ,垂足分别是垂足分别是D,E. .求证求证: :PD= =PE. .而OPDOPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在OPD OPE，OCB1A2PDE 师生共析师生共析驶向胜利的彼岸已知已知:如图如图,OC是是AOB的平分线的平分线,P是是OC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.求证求证:PD=PE.OCB1A2PDE证明：如图OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，1=2，OP=OP，PDO=PEO=90PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等） 严格证明严格证明驶向胜利的彼岸w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等. .老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.w如图如图,w OC是是AOB的平分线的平分线,P是是OC上任意上任意一点一点,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(已已知知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两角平分线上的点到这个角的两边距离相等边距离相等).OCB1A2PDE 开启智慧开启智慧驶向胜利的彼岸思考分析w你能写出你能写出“定理定理 角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边距离相等距离相等”的逆命题吗的逆命题吗? ?w逆命题逆命题 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点, ,在这个角的平分在这个角的平分线上线上. .w它是真命题吗它是真命题吗? ?如果是如果是. .请你证明它请你证明它. .已知已知:如图如图,PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分别垂足分别是是D,E.求证求证:点点P在在AOB的平分线上的平分线上.分析分析:要证明点要证明点P在在AOB的的平分平分线上线上,可以先作出过点可以先作出过点P的射线的射线OC,然后证明然后证明1=2.老师期望老师期望: :你能写出规范的证明过程你能写出规范的证明过程. .OCB1A2PDE逆向思考逆向思考驶向胜利的彼岸 我能行我能行w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点, ,在这个角的平分在这个角的平分线上线上. .w如图如图,wPA=PB, PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(已知已知),w点点P在在AOB的平分线上的平分线上.(在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线在这个角的平分线上上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?OBAC12PDE 开启智慧开启智慧 做一做做一做l已知:AOB,如图.l求作:射线OC,使AOC=BOC.l作法:l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线. .l1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,l使OD=OE.l2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOB内内交于点C.l3.作射线OC.请你说明OC为什么是AOB的的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.ABOCl则射线OC就是AOB的平分线.DE 典例精析典例精析 随堂练习随堂练习驶向胜利的彼岸l如图,AD,AE分别是ABC中中A的内角平分线外角平分线的内角平分线外角平分线,它们有什么关系它们有什么关系?老师期望:你能说出结论并能证明它.EDABCF2.如图如图,一目标在一目标在A区区,到公路到公路,铁路距离相等铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置在图上标出它的位置(比例尺比例尺 1:20 000).A区 随堂练习随堂练习w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相角平分线上的点到这个角的两边距离相等等.wOC是是AOB的平分线的平分线,P是是OC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(已知已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相角平分线上的点到这个角的两边距离相等等).w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相且到角的两边距离相等的点等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.wPA=PB, PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(已知已知),w点点P在在AOB的平分线上的平分线上.(在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分在这个角的平分线上线上).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.w邻补角的角平分线之间的关系邻补角的角平分线之间的关系.w如如OCB1A2PDE 小结拓展小结拓展知识的升华知识的升华独立独立作业作业习题1.8 1,2,3题.祝你成功！ 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. w老师期望:w先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.w你发现了什么？ 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等. 老师期望:养成用数学解释生活的习惯. CDABO 独立作业独立作业驶向胜利的彼岸w3.已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.w求证:EB=FC. 老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. BAEDCF结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!
