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江苏省扬州市江苏省扬州市 20152015 届高三上学期期末考试数学试题届高三上学期期末考试数学试题2015 年 2 月 第第 I 卷卷一、填空题 （70 分） 1、集合 A1,0，2，Bxx1，则 AB2、已知 i 是虚数单位，则的实部为21 (1)i i3、命题 P：“” ，命题 P 的否定：2,230xR xx 4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回） ，两 人都中奖的概率为 5、如图是一个算法流程图，输出的结果为6、已知样本 6，7，8，9，m 的平均数是 8，则标准差是7、实数 x，y 满足，则的最小值为2401 1xyx y 2zxy8、已知，则4(0, ),cos5 tan()49、已知双曲线 C：的一条渐近线与直线 l：0 垂直，22221(0,0)xyabab3xy且 C 的一个焦点到 l 的距离为 2，则 C 的标准方程为10、设函数，若 f（x）的值域为 R，是实数 a 的取值范围是22,2( ),2xa xf xxax 11、已知 A（）是单位圆（圆心为坐标极点 O，半径为 1）上任一点，将射线 OA,AAxy绕点 O 逆时针旋转到 OB 交单位圆于点 B（） ，已知 m0，若的最大3,BBxy2ABmyy值为 3，则 m 12、设实数 x，y 满足 x22xy10，则 x2y2的最小值是13、设数列的前 n 项和为 Sn，且，若对任意，都有na114()2n na *nN，则实数 p 的取值范围是1(4 )3np Sn14、已知 A（0,1） ，曲线 C：ylogax 恒过点 B，若 P 是曲线 C 上的动点，且的最小值为 2，则aAB AP A学科网 二、解答题（90 分）15、 （14 分）已知函数部分图象如图所示。( )sin()(0,0,0)2f xAxA（1）求函数 f（x）的解析式；（2）当时，求函数的值域。1 5 , 2 2x(1)( )yf xf x16、 （14 分）在三棱锥 PABC 中，D 为 AB 的中点。 （1）与 BC 平行的平面 PDE 交 AC 于点 E，判断点 E 在 AC 上的位置并说明理由如下：（2）若 PAPB，且PCD 为锐角三角形，又平面 PCD平面 ABC，求证：ABPC。17、 （15 分）如图，A，B，C 是椭圆 M：上的三点，其中点 A 是22221(0)xyabab椭圆的右顶点，BC 过椭圆 M 的中心，且满足 ACBC，BC2AC。 （1）求椭圆的离心率； （2）若 y 轴被ABC 的外接圆所截得弦长为 9，求椭圆方程。18、 （15 分）如图，某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30º 方向的两条街道，某公园P 位于商业中心北偏东角（） ，且与商业中心 O 的距离为公0tan3 32，21里处，现要经过公园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A，B 两处。 （1）当 AB 沿正北方向时，试求商业中心到 A，B 两处的距离和； （2）若要使商业中心 O 到 A，B 两处的距离和最短，请确定 A，B 的最佳位置。19、 （16 分）已知数列中，且对任意正整数都成立，na121,aaa12()nnnak aa数列的前 n 项和为 Sn。na（1）若，且，求 a；1 2k 20152015Sa（2）是否存在实数 k，使数列是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项na按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有 k 值，若不存在，请说明理12,mmmaaa 由；（3）若。1,2nkS 求20、 （16 分）已知函数。2( ), ( )xf xeg xaxbxc （1）若 f（x）的图象与 g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在 y 轴上，且在该点处 两条曲线的切线互相垂直，求 b 和 c 的值。 （2）若 ac1，b0，试比较 f（x）与 g（x）的大小，并说明理由； （3）若 bc0，证明：对任意给定的正数 a，总存在正数 m，使得当 x时，( ,)m 恒有 f（x）g（x）成立。数 学 试 题(附加题)( (考试时间：考试时间：3030 分钟分钟 总分：总分：4040 分分) )21.A （本小题满分 10 分，矩阵与变换）在平面直角坐标系 xoy 中，设曲线 C1在矩阵 A对应的变换作用下得到曲线 C2：，求曲线 C1的方程。10102 2 214xyB （本小题满分 10 分，坐标系与参数方程选讲）已知曲线 C1的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为 x 轴的非2cos()42 负半轴建立平面直角坐标系，曲线 C2的参数方程为，求曲线 C1与曲线 C2交2cossinxy 点的直角坐标。必做题第必做题第 2222 题，第题，第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分解答时应写出文字说明、证明过分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤22.（(本小题满分 10 分)射击测试有两种方案，方案 1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案 2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为，命中一次得 3 分；命中乙2 3靶的概率为，命中一次得 2 分，若没有命中则得 0 分，用随机变量表示该射手一次测3 4试累计得分，如果的值不低于 3 分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶 3 次，每次射击的结果相互独立。（1）如果该射手选择方案 1，求其测试结束后所得部分的分布列和数学期望 E；（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。23.（(本小题满分 10 分) 对于给定的大于 1 的正整数 n，设，其中2 012n nxaa na na n，且，记满足条件的所有 x 的和为。ia 0,1,2,1n1,2,1,inn0na An（1）求 A2（2）设；，求 f（n）nA (1)( )2nnnf nA扬州市 20142015 学年度第一学期期末调研测试试题高高 三三 数数 学学 参参 考考 答答 案案 第一部分1. 2 3. , 4. 5. 15 01 2Rx0322 xx1 36. 7. -2 8. 9. 10. 21 722 1412xy 12 ，11. 12. 13. 14. 6151 22,3e14.解：点，设，则(0,1)A(1,0)B( ,log)aP xx 1, 1,log1log1aaAB APxxxx 依题在上有最小值 2 且，故是的极值点，( )f xlog1axx(0,)(1)2f1x ( )f x即最小值点，若，单调增，在无最1ln1'( )1lnlnxafxxaxa 01a'( )0fx ( )f x(0,)小值；故，1a 设，则，当时，当时，'( )0fx logaxe(0,log)axe'( )0fx (log,)axe，'( )0fx 从而当且仅当时，取最小值，所以，logaxe( )f xlog1ae ae15由图，得，则， 212,()1433TA 4T 2( )2sin()26f xx3 分由，得，所以， 22( )2sin()232 3fsin()132()32kkZ又，得，所以； 7 分026( )2sin()26f xx， (1)( )2sin()2cos()2 2sin()2626212yf xf xxxx10 分因为，故，则，即1 5 , 2 2x7 62126x1sin()12212x，2( )2 2f x所以函数的值域为 14 分(1)( )yf xf x2,2 2PABCDE16解：为中点理由如下：EAC平面交于，即平面平面， PDEACEPDE ABCDE而平面，平面，所以， 4 分/BCPDEBC ABC/BCDE 在中，因为为的中点，所以为中点； 7 分ABCDABEAC 证：因为，为的中点，所以，PAPBDABABPD因为平面平面，平面平面，PCD ABCPCDABCCD在锐角所在平面内作于，则平面，10 分PCDPOCDOPO ABC 因为平面，所以AB ABCPOAB又，平面，则平面，POPDP,PO PD PCDAB PCD又平面，所以 14 分 PC PCDABPC17. 解因为过椭圆的中心，所以，BCM22BCOCOB又，所以是以角为直角的等腰直角三角形， ,2ACBC BCACOACC3 分则，所以，则，10( ,0),(,), (,),222 22aaa aA aCBABa2222( )()221aaab 223ab所以； 7 分2262,3cb e的外接圆圆心为中点，半径为，ABCAB(,)4 4a aP10 4a则的外接圆为： ABC2225()()448aaxya10 分令，或，所以，得，0x 5 4ay 4ay 5()944aa 6a （也可以由垂径定理得得）22109()( )442aa6a 所以所求的椭圆方程为 15 分22 13612xy18以 O 为原点，OA 所在直线为轴建立坐标系设，x( , )P m n，02tan3 37cos143 21sin14PABCDOyxPBOA则， 4 分9sin2mOP3cos2nOP依题意，ABOA，则 OA=，OB=2OA=9，商业中心到 A、B 两处的距离和为9 213.5km 方法 1：当 AB 与轴不垂直时，设 AB：，x39()22yk x令，得；由题意，直线 OB 的方程为，0y 39 22Axk 3yx解联立的方程组，得，932(3)Bkxk229323BBBkOBxyxk，由，得，或 3993 223kyOAOBkk 0Ax 0Bx 3k 0k 11 分，令，得，22228 333(33)(53)'2(3)2(3)kkykkkk'0y 3 3k 当时，是减函数；当时，是增函数，3 3k '0y y303k'0y y当时，有极小值为 9km；当时，是减函数，结合知3 3k y3k '0y ykm13.5y 综上所述，商业中心到 A、B 两处的距离和最短为 9km，此时 OA=6km，OB=3km， 方法 2：如图，过 P 作 PM/OA 交 OB 于 M，PN/OB 交 OA 于 N，设BAO= ，OPN 中，得sin(90)sin(30 )sin120PNONOP PN=1，ON=4=PM，PNA 中NPA=120°-得sinsin(120)PNNA sin(120) sinNA 同理在PMB 中，得，sinsin(120)BMPM 4sin sin(120)MB ， sin(120)4sin142 459sinsin(120)yOAOB 13 分NMP北BOA当且仅当即即时取sin(120)4sin sinsin(120) sin(120)2sin3tan3等号方法 3：若设点，则 AB：，得，( , 3 )B mm39 22 93322yxmm 4(4,0)21Am， 442421 1492121OAOBmmmm 13 分当且仅当即时取等号42121mm 3 2m 方法 4：设，AB：，得，( ,0)A n0 93022yxnn 21 42Bxn， 442441(4)5944BOAOBnxnnnn 13 分当且仅当即时取等号444nn6n 答：A 选地址离商业中心 6km，B 离商业中心 3km 为最佳位置 15 分19时，所以数列是等差数列， 1 2k 121()2nnnaaa211nnnnaaaana1 分此时首项，公差，数列的前项和是11a 211daaanan， 3 分1(1)(1)2nSnn na故，即，得；1201520152015 2014(1)2aa112014(1)2aa 1a 4 分 （没有过程，直接写不给分）1a 设数列是等比数列，则它的公比，所以，na21aqaa1m maa1m maa， 6 分1 2m maa 若为等差中项，则，即，解得：，1ma122mmmaaa112mmmaaa1a 不合题意；若为等差中项，则，即，化简得：ma122mmmaaa112mmmaaa，220aa解得（舍 1） ；2a 1 112 22 15m m mm mmaaakaaaaa 若为等差中项，则，即，化简得：2ma212mmmaaa112mmmaaa，2210aa 解得； 91 2a 1 112 22 15m m mm mmaaakaaaaa 分综上可得，满足要求的实数有且仅有一个，； 10 分k2 5k 则，1 2k 121()2nnnaaa ， 211()nnnnaaaa 32211()nnnnnnaaaaaa 12 分 当是偶数时， n12341nnnSaaaaaa12341()()()nnaaaaaa，12()(1)22nnaaa当是奇数时，n12341nnnSaaaaaa123451()()()nnaaaaaaa，也适合上式，1231()2naaa1121 ()2naaa11(1)2na 1n 15 分综上可得， 16 分nS 11(1),2(1),2nanann是奇数是偶数20. 解: ， ， (0)1f'( )xfxe'(0)1f(0)gc'( )2g xaxb'(0)gb2 分依题意：，所以； 4 分(0)(0) '(0) '(0)1fg fg 1, 1c b 解: ，时， 5 分1ac0b 2( )1g xx时，即0x (0)1f(0)1g( )( )f xg x时，即0x ( )1f x ( )1g x ( )( )f xg x时，令,则.0x 2( )( )( )1xh xf xg xex'( )2xh xex设，则，( )'( )=2xk xh xex'( )=2xk xe 当时, 单调递减;当时, 单调递增.ln2x '( )0, ( )k xk xln2x '( )0, ( )k xk x所以当时, 取得极小值, 且极小值为ln2x ( )k xln2(ln2)2ln22ln40ke即恒成立，故在上单调递增,又,( )'( )=20xk xh xex( )h xR(0)0h因此,当时, ,即. 9 分0x ( )(0)0h xh( )g( )f xx综上，当时,；当时, ；当时, 0x ( )( )f xg x0x ( )( )f xg x0x 10 分( )g( )f xx证法一：若，由知，当时, .即，01a0x 21xex22xexax所以，时，取，即有当，恒有.01a0m xm ，2xeax若,即，等价于即1a ( )g( )f xx2xeax2ln()xax2lnlnxxa令,则.当时,在( )2lnlnt xxxa22'( )1xt xxx 2x '( )0, ( )t xt x内单调递增.(2,)取,则，所以在内单调递增.2 0xae2 02xe( )t x0(,)x 又222 0()2lnln43ln743lnt xe ae aae aaaa4(1)3(ln )0aaa即存在,当时，恒有. 2maexm ，( )( )f xg x15 分综上，对任意给定的正数，总存在正数，使得当，恒有amxm ，. 16 分( )( )f xg x证法二：设，则，2( )xeh xx3(2)'( )xexh xx当时，单调减，当时，单调(0,2)x'( )0h x ( )h x(2,)x'( )0h x ( )h x增，故在上有最小值， 12 分( )h x(0,)2 (2)4eh若，则在上恒成立，24ea ( )2h x (0,)即当时，存在，使当时,恒有；24ea 0m ( ,)xm( )( )f xg x若，存在，使当时,恒有；24ea 2m ( ,)xm( )( )f xg x若，同证明一的， 15 分24ea 综上可得，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有. am( ,)xm( )( )f xg x16 分第二部分（加试部分） 21A设是曲线上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点( , )P x y1C( , )P x yA( ,)P x y则有，即 5 分1 0 102xx yy 1 2xxyy 又因为点曲线上，( ,)P x y2 2 2:14xCy故，从而2 2( )()14xy2 2( )( )142xy所以曲线的方程是 10 分1C224xyB由，得曲线的直角坐标系的方程为, 2cos()42 1C10xy 3 分由，得曲线的普通方程为, 2cossinxy 2C21( 11)xyx 7 分由，得，即（舍去）或，2101xyxy 220xx2x 1x 所以曲线与曲线交点的直角坐标为 101C2C( 1,0)分22在甲靶射击命中记作,不中记作；在乙靶射击命中记作,不中记作，AABB其中 2 分221331( ), ( )1, ( ), ( )1333444P AP AP BP B 的所有可能取值为，则0,2,3,4，1111(0)()( ) ( ) ( )34448PP ABBP A P B P B(2)()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )PP ABBP ABBP A P B P BP A P B P B(，1311136 34434448，2(3)( )3PP A1339(4)()( ) ( ) ( )34448PP ABBP A P B P B的分布列为：0234P1 486 482 39 48， 1629023434848348E 7 分射手选择方案 1 通过测试的概率为，选择方案 2 通过测试的概率为,1P2P；12931(3)34848PP, 21333133327(3)()()()4444444432PPP BBBP BBBP BB9 分因为，所以应选择方案 2 通过测试的概率更大 10 分21PP23当时，2n 01224xaaa00,1a 10,1a 21a 故满足条件的共有个，x4分别为：，,004x 024x 104x 124x 它们的和是 4 分22由题意得，各有种取法；有种取法，0121,na a aanna1n 由分步计数原理可得的不同取法共有，0121,na a aa(1)(1)nn nnnnn 即满足条件的共有个， 6 分x(1)nnn 当分别取时，各有种取法，有种取法，0a0,1,2,1n121,na aanna1n 故中所有含项的和为；nA0a2 1(1)(0121)(1)2n nnnnnn 同理，中所有含项的和为；nA1a2 1(1)(0 121)(1)2n nnnnnnnn 中所有含项的和为；nA2a2 122(1)(0 121)(1)2n nnnnnnnn 中所有含项的和为；nA1na2 111(1)(0 121)(1)2n nnnnnnnnnn 当分别取时，各有种取法，na1,2,1in0121,na a aan故中所有含项的和为；nAna1(1)(121)2n nnnnnnnnn所以；nA 21 21(1)(1)(1)22nn nnnnnnnnnn 21(1)1(1) 212nnn nnnnnnnn1(1)(1)2n nnnnnn故 10 分1( )1nnf nnn