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直线、平面垂直的直线、平面垂直的判定及其性质判定及其性质2.3主要内容2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.4 平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的直线与平面垂直的判定判定2.3.1复习复习1 1 旗杆与地面的位置关系旗杆与地面的位置关系观察观察线面垂直线面垂直大桥的桥柱与水面的位置关系大桥的桥柱与水面的位置关系思考思考1直线和平面垂直直线和平面垂直旗杆与地面中的直线的位置关系如何？旗杆与地面中的直线的位置关系如何？ 将一本书打开直立在桌面上，将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？关系如何？思考思考2 2思考思考3 3一条直线与一平面垂直的特征是什么？一条直线与一平面垂直的特征是什么？ 特征：直线垂直于平面内的任意一条直线特征：直线垂直于平面内的任意一条直线BACBC直线和平面垂直直线和平面垂直 如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直.定义定义lP平面平面 的垂线的垂线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足平面内任意一平面内任意一条直线条直线l记为 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？思考思考4 4l如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验： 过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触） （1）折痕AD与桌面垂直吗？ （2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直ABCDABCD探究探究ABCDABCD 当且仅当折痕当且仅当折痕AD AD 是是BC BC 边上的高时，边上的高时，AD AD 所在所在直线与桌面所在平面直线与桌面所在平面垂直垂直 （1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面 上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面 ，你同意他的说法吗？ABCDABCD （2）如图，由折痕 ，翻折之后垂直关系不变， ， 由此你能得到什么结论？BCAD CDAD BDAD 思考思考5线面垂直的判定线面垂直的判定 判定定理判定定理 一条直线与一个平面内的一条直线与一个平面内的两条两条相交相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直直线都垂直，则该直线与此平面垂直balAal bl abAbal作用：作用：判定直线与平面垂直判定直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直直线与直线垂直思想：思想： 例1. 如图，已知 ，求证aba,/.bbamn根据直线与平面垂直的定义知.,nama又因为ab/所以.,nbmb又又nmnm,是两条相交直线，所以.b证明：在平面 内作 两条相交直线m，n因为直线 ，a 例2 已知：正方体中,AC是面对角线,BD 是与AC 异面的体对角线. 求证：ACBDABDCA B CD 例3 在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AB，D为PB的中点，求证：ADPC.PABCD直线与平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”小结小结 通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题）转化为直线间的垂直关系（平面问题）.思想方法 前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？问题提出问题提出直线与平面所成的角直线与平面所成的角第第2课时课时线面角相关概念线面角相关概念P斜线PA与平面所成的角为PABl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线1.1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角射影所成的角)90, 0(02.2.平面的垂线与平面所成的角为直角平面的垂线与平面所成的角为直角3. 3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的条直线与平面所成的角的0 00 0角角一条直线与平面所成的角的取值范围是一条直线与平面所成的角的取值范围是90, 00 例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO 例2 如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知ABC=60，OBC=45，求斜线AB和平面所成的角.ABCOD 如图，BAD为斜线AB与平面所成的角，AC为平面内的一条直线，那么BAD与BAC的大小关系如何？DCABBAD BACE解：作BOAD于O，BEAC于E， 则 BDBEsinBADsinBAC思考思考1o 两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？思考思考2 1. 1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？是哪些图形？ 2. 2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？是哪些图形？ 3. 3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？是哪些图形？思考思考3 3小结小结1. 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量. 线面垂直和线面平行是特殊情况.2. 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角.3. 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影.作业P67练习1，2，3 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定2.3.2卫星轨道面地球赤道面概念概念 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.半平面半平面半平面半平面射线射线射线射线概念概念 从一点出发的两条射线，构成平面角. 同样,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.m记为：二面角-m-记作AOBABO二面角的图示二面角的记号二面角的记号（1）以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为： ll,（2）以直线AB为棱，以 为半平面的二面角记为： , ABlAB思考思考3 3两个相交平面有几个二面角？如何用平面角来表示二面角的大小？如何用平面角来表示二面角的大小？探究探究lO OA AB BlO OA AB B二面角-l-二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角平面角AOBAOB即为二面角即为二面角-AB-AB-的的 注意：二面角的平面角必须满足： （1）角的顶点在棱上. （2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱. 二面角的取值范围0180,000，或0度角180度角l001800 例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小.B1C1D1A1ABCDMN 例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值.A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1O 例3 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为300，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为450 ，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？A AB BC CD DE EOF F小结二面角的平面角的作法：小结二面角的平面角的作法：1.1.定义法：定义法：根据定义作出来根据定义作出来. .2.2.作垂面：作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到的交线得到. .3.3.应用三垂线定理：应用三垂线定理：应用三垂线定理或其逆定理作应用三垂线定理或其逆定理作出来出来. .oABoAoABBllll第2课时定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.aAb记为 判定定理：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直垂线，则这两个平面垂直aAaa 面 面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直 例1 如图，O在平面内，AB是O的直径， PA，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC. P PA AB BC CO O证明证明: :,PABC面面BCPA为圆的直径又ABBCAC PAACABCPAC面PACPBC面面BCPBC面PABCACBCPAPACACPAC面面 例2 在四面体ABCD中，已知ACBD, BAC= CAD=45，BAD=60，求证：平面ABC平面ACD.A AB BC CD DE E 例例3 3 如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面为矩形，的底面为矩形，PAPA底底面面ABCDABCD，PA=ADPA=AD，M M为为ABAB的中点，求证：平面的中点，求证：平面PMCPMC平平面面PCD.PCD.P PA AB BC CD DM ME EF F,ABBCD BCCD已知面请问哪些平面互相垂直的,为什么?ABCBCD面面ABCACD面面ABDBCD面面ABBCD面CDABC面ABBCD面探究：ABCD小结1. 知识小结 1）二面角及其平面角 2）两个平面互相垂直 2. 思想方法面面垂直线线垂直线面垂直作业P69练习P73习题2.3 A，1，2，3，4.直线与平面垂直的直线与平面垂直的性质性质2.3.32.3.3直线与平面垂直的判定定理是什么？直线与平面垂直的判定定理是什么？复习复习直线与平面垂直的定义是什么？直线与平面垂直的定义是什么？a aa思考思考1 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1思考2 如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？ab blab blab b l相交平行异面思考思考3 如果直线a，b都垂直于平面，那么a与b一定平行吗？abab垂直于同一个平面的两条直线平行/aabb直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直直线与平面垂直b bO Oab bc性质定理的证明反证法证明： 例1 如图，已知 于点A， 于点B， 求证： .,l C AC B,aaA B/alA AB BC Cla小结 直线与平面垂直的性质定理可简述为直线与平面垂直的性质定理可简述为“线面垂直，则线线平行线面垂直，则线线平行”思想方法 线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方法，也提供了作平行线的一种方法.“线面垂直，则线线垂直线面垂直，则线线垂直”作业P71练习1，2P73习题2.3 A组，5，6. B组1，2平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质2.3.42.3.4复习复习1 1ll两个平面相互垂直三个平面两两垂直两个平面垂直的判定如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直复习复习2l 1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？ 2.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1 3. 设 ， ,垂足为B，那么直线AB与平面的位置关系如何？为什么？CD,CDABAB,A AB BD DC CE E 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直aAllaala 若，过平面内一点A作平面的垂线a，那么垂线a与平面具有什么样的位置关系?B BA AB反证法证明点B在两个平面的交线上注意：过一点只能作一条直线垂直于已知平面.结论B BA A 如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内. 例1.如图，已知，a，a，试判断直线l与平面的位置关系，并说明理由.Abal 例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2， ,侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB底面ABCD. （1）证明：侧面PAB侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.2BC P PA AB BC CD DE 对于三个平面、，如果，= l ，那么直线l与平面 的位置关系如何？为什么？ lab解答：在内分别作平面的垂线a、b，则a l,b l, a与b必相交.所以l小结1. 知识小结 几个结论和性质的应用2. 思想方法线面垂直或线线垂直面面垂直P73练习：1，2.P73习题2.3A组：7,8,9 P74习题2.3B组：3,4作业
