142正弦、余弦函数的性质.ppt
1.4.2 正弦、余弦函数的性质（一）正弦、余弦函数的性质（一）X:周期函数都有时取定义域内的每一个值得当使若存在一个非零常数对于函数,),(xTxf)()(xfTxf.)(叫做这个函数的周期非零常数就叫做周期函数，那么函数Txf1、周期性、周期性x1- -1 xkxsin)2sin()0,(2kZkkT( ),( ).f xf x 若在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数 则这个最小正数就叫做的最小正周期;2,)0,(2 ,最小正周期是是它的周期都正弦函数是周期函数kZkk.2,)0,(2 ,最小正周期是是它的周期都余弦函数是周期函数kZkk:1 求下列函数的周期例;,cos3) 1 (Rxxy;,2sin)2(Rxxy;),621sin(2)3(Rxxy)0, 0.(),sin()4(ARxxAy)0, 0.(),cos()0, 0.(),sin(ARxxAyARxxAy2Ty = cos x ( x R )yo-11- 2 3 4 - - 2 - 3 yo-11- 2 3 4 - - 2 - 3 y = sin x ( x R )例例2 观察图象，写出满足下列条件的观察图象，写出满足下列条件的 x 的集合：的集合： (1) sinx 0 (2) sinx = 0 (3) sinx 0 (5) sin (2x + /3) 0 (6) cosx 0 (7) cosx = 0 (8) cosx 0正弦曲线：正弦曲线：sin yxxRxy1- -1 最高点：最高点：(2,1)2 kkZ最低点：最低点：(2, 1)2 kkZ余弦曲线：余弦曲线：cos yxxRxy1- -1 最高点：最高点：(2,1) kkZ最低点：最低点：(2, 1) kkZ2、最大、最小值、最大、最小值例例2. 求使下列函数取得最大求使下列函数取得最大(小小)值的值的 x 的集合，的集合， 并写出最大并写出最大(小小)值是多少？值是多少？ (1) y = cosx +1 (2) y = -3 sin2x (3) y = 1- 2sinx (4) y=35cos2x (5) y= cosx ( /6 x 4 /3 )x2 6-12(6) y = cos( ) 1. sin( x+ ), cos( x+ )与与sinx, cosx 一样一样, 最大值最小值最大值最小值 都是都是 1、-1，但使函数取得这些值的，但使函数取得这些值的 x 值却各不一样；值却各不一样； 其求法是：其求法是：换元法换元法。2. 注意：注意： cos2x、sin2x 0、1： 1.下列各等式能否成立？说明理由。下列各等式能否成立？说明理由。 (1) 2sinx = 3 (2) sin2x = 0. 5 (3) cosx = - /2 (4) sinx + cosx = 2 2. 已知已知 sinx = 1- 2m , 则则 m 的取值范围是的取值范围是_.:1. (1)函数函数 y = a sinx b 的最大值是的最大值是_, 最小值是最小值是 _. (2)函数函数 y=asinx+b的最大值是的最大值是3, 最小值是最小值是2,则则a=_,b=_. 2.(1)求求f(x)=sinx-sinx+1的最大值、最小值及相应的的最大值、最小值及相应的x; (2)求求f(x)=2cosx+5sinx-4的最大值、最小值的最大值、最小值及相应的及相应的x ；1.4.2 正弦、余弦函数的性质（二）正弦、余弦函数的性质（二） 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 y=sinxyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 y=sinx (x R) 图象关于图象关于原点原点对称对称 如果对于函数如果对于函数f（x）的定义域内的任意的一个）的定义域内的任意的一个x，都有，都有f（-x）=-f（x）（或（或f（-x）=f（x），则称），则称f（x）为这个定义域内的奇函数（或偶函数），）为这个定义域内的奇函数（或偶函数），奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称。sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R) 是是偶函数偶函数定义域关于原点对称定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性例已知例已知 f(x) = ax3+sinx+1，且，且 f(2) =7，则，则 f(- 2) = _. 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ， 其值从其值从-1增至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12 23 +2k , +2k ,k Z2 2 +2k , +2k ,k Z2 23 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R)增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k , 2k ,k Z 减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12k , 2k + , k Zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 例例3 不通过求值，指出下列各式大于不通过求值，指出下列各式大于0还是小于还是小于0： (1) sin( ) sin( )18 10 (2) cos( ) - cos( ) 523 417 解：解：218102 又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数2,2 sin( ) 018 10 解：解： 5340cos cos 4 53 即：即： cos cos 053 4 又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数, 0 cos( )=cos =cos 523 523 53 417 cos( )=cos =cos 417 4 从而从而 cos( ) - cos( ) 0523 417 解解(3)： y=2sin(-x ) = -2sinx函数在函数在 上单调递减上单调递减 +2k , +2k ,k Z2 2 函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k , +2k ,k Z2 23 222242kxk388kxk3222242kxk3788kxk单调增区间为单调增区间为3,()88kkkZ所以：所以：解解(2)单调减区间为单调减区间为37,()88kkkZ例例4 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间： (3) y=2sin(-x ) (2) y=3sin(2x- )4 (1) y=sin2x解：解：令令x+ =u , 4 则则 y= -|sinu| 大致图象如下：大致图象如下：y=sinuy=|sinu|y=- |sinu|u2O1y-12222323减区间为减区间为Zkkku ,2 增区间为增区间为Zkkku ,2, 即：即：Zkkkx ,4,43 y为增函数为增函数Zkkkx ,4,4 y为减函数为减函数 y = -| sin(x+ )|4 例求函数例求函数 的单调区间的单调区间:正弦曲线正弦曲线：sin yxxRxy1- -1 对称轴：对称轴：,2xkkZ对称中心：对称中心：(,0) kkZ对称轴对称轴：,xkkZ对称中心：对称中心：(,0)2 kkZ余弦曲线：余弦曲线：cos yxxRxy1- -1 正弦、余弦函数的对称性正弦、余弦函数的对称性 例求下列函数的对称轴和对称中心（1）y=sin2x (2)y=2cos( )32x小小 结：结： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）奇函数奇函数偶函数偶函数 +2k , +2k ,k Z2 2 单调递增单调递增 +2k , +2k ,k Z2 23 单调递减单调递减 +2k , 2k ,k Z 单调递增单调递增2k , 2k + , k Z单调递减单调递减函数函数余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数求函数的单调区间：求函数的单调区间：1. 直接利用相关性质直接利用相关性质2. 复合函数的单调性复合函数的单调性3. 利用图象寻找单调区间利用图象寻找单调区间
