331函数的单调性与导数课件(新人教A版选修1-1).ppt
3.3.1函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数 ： xxsin)(cos2）（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )一、复习引入一、复习引入:(2)作差f(x1)f(x2) (作商)2用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2D，且x10，则，则f（x） 是增函数。是增函数。 如果恒有如果恒有 f(x)0，则，则f（x） 是减函数。是减函数。特别地：如果恒有特别地：如果恒有 f(x)=0，则，则f（x） 是常函数。是常函数。例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.)(xf解解: 当当1 x 4 , 或或 x 0(或或f(x)0(或或f(x)1，即a2时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知：(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)， 所以4a16，即5a7. 解法二：(数形结合) 如图所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)内f(x)0，(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，则另一根在4,6上 解法三：(转化为不等式的恒成立问题) f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立由题意知5a7. 点评本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想2120 10 1已 知 函 数 （ ），( 若 （ ） 在(上 是 增 函 数 ， 求的 取 值 范 围fxaxx,fxxx,a.322( )f xax31max而 ( )在（0， 1上单调递增，( )(1)=-1g xxg xg 解：由已知得解：由已知得因为函数在（因为函数在（0，1上单调递增上单调递增32( )0,即在（0， 1上恒成立f xa-xx1a -变式变式322当a1时， ( )f xx 1对x （0， 1）也有 ( ) 0时，（ ）在(0, 1)上是增函数f xa-f x所以a的范围是-1，+ ）本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：maxminm f( )恒 成 立( )( )恒 成 立( )xmfxmfxmfx320已知函数 ( )=，(0, 1,若 ( )在（0， 1上是增函数，求 的取值范围练。习2f xax - xxaf xa3)2,练习练习10a4补例补例：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。102xsin x12110201002f( )在（，）上是单调函数，而当时，（ )=0方程有唯一的根f( x)x-sinx,x(,)f ( x)cos xxxf xxsinxx. 已知：x0，求证：xsinx. 解析设f(x)xsinx(x0) f(x)1cosx0对x(0，)恒成立 函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数 又f(0)0f(x)0对x(0，)恒成立 即：xsinx(x0)补例补例：不等式证明问题：不等式证明问题补充练习:1、判断下列函数的单调性 (1)f(x)=x3+3x; (2)f(x)=sinx-x,x(0,); (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; (4)f(x)=ex-x;2、已知函数、已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取值范围。的取值范围。小结小结：定理：定理：一般地，函数一般地，函数yf（x）在某个区间内可导：）在某个区间内可导： 如果恒有如果恒有 ，则，则 f(x)在是增函数。在是增函数。 如果恒有如果恒有 ，则，则 f(x)是减函数。是减函数。 如果恒有如果恒有 ，则，则 f(x)是常数。是常数。步骤：步骤：（1）求函数的定义域）求函数的定义域（2）求函数的导数）求函数的导数（3）令）令f(x)0以及以及f(x)0f(x)0,即在（0， 1上恒成立f xa-xx31max而 ( )在（0， 1上单调递增，( )(1)=-1g xxg xg 1a -2120 10 1已 知 函 数 （ ），( 若 （ ） 在(上 是 增 函 数 ， 求的 取 值 范 围fxaxx,fxxx,a.增例增例2：322当a1时， ( )f xx 1对x （0， 1）也有 ( ) 0时，（ ）在(0, 1)上是增函数f xa-f x所以a的范围是-1，+ ）在某个区间上，在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0也能使也能使f（x）在这个区间上单调，）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证所以对于能否取到等号的问题需要单独验证( )0(或0(或0)f x2120 10 1已知函数（ ），(若（ ）在(上是增函数，求 的取值范围f xaxx, ,f xxx,a.增例增例2：322当a1时， ( )f xx 1对x （0， 1）也有 ( ) 0时，（ ）在(0, 1)上是增函数f xa-f x所以a的范围是-1，+ ）本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：maxminmf( )恒成立( )( )恒成立( )xmf xmf xmf x320已知函数 ( )=，(0, 1,若 ( )在（0， 1上是增函数，求 的取值范围练。习2f xax - xxaf xa3)2,例例3：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。102xsin x12110201002f( )在（，）上是单调函数，而当时，（ )=0方程有唯一的根f( x)x-sinx,x(,)f ( x)cos xxxf xxsinxx. 作业：作业：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取值范围。的取值范围。
