152分式的运算.ppt

15.2 分式的运算分式的运算教学目标教学目标1类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则2. 能熟练借助分式的运算法则进行相关计算3结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系教学重点与难点教学重点与难点分式的四则运算分式的乘除分式的乘除 问题问题 1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？nm 长方体容器的高为 ，水面的高度为 abVnmabV 问题问题 2 大拖拉机 m天耕地a hm2，小拖拉机n 天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？ 大拖拉机的工作效率是 hm2/天，小拖拉机的工作效率是 hm2/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的 倍manbnbma 从上面的问题可知，为讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算 分式与分数具有类似的形式，我们可以类比分数的运算法则认识分式的运算法则 思考思考 你还记得分数的乘除法法则吗？类比分数的乘除法法你还记得分数的乘除法法则吗？类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？则，你能说出分式的乘除法法则吗？ 类似于分数，分式有： 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母子，分母的积作为积的分母 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘颠倒位置后，与被除式相乘 上述法则可以用式子表示为，dbcadcba.cbdacdbadcba例例 1 计算：3234xyyx（1） ；cdbacab4522223（2） .2333264234xyxxyxyyx解:（1） ；222322232223104542452cbacdabbacdcabcdbacab（2）.52acbd例例 2 计算：411244222aaaaaa（1） ；mmm7149122（2） .411244222aaaaaa解：解：（1）)2)(2(1) 1()2(22aaaaa)2)(2() 1() 1()2(22aaaaa；)2)(1(2aaammm7149122（2） )7)(7()7()7(49122mmmmmmm.7mm 例例 3 如下图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a1）的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a1）m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 解：解：（1）“丰收号”小麦的试验田面积是(a21)m2，单位面积产量是 kg/m2；“丰收号”小麦的试验田面积是 (a1)2 m2 ，单位面积产量是 kg/m2 15002a2) 1(500a a1， (a1)20，a210 由上右图可得(a1)2a21 .) 1(5002a 15002a所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高（2）5001) 1(5001500) 1(5002222aaaa.11) 1() 1)(1(2aaaaa 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍11aa例例 4 计算：.3592533522xxxxx3592533522xxxxx解：解：3539253522xxxxx.322x 思考思考？2)(ba？3)(ba？10)(ba 根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：；222)(babbaabababababababa3)( ；10)(ba .一般地，当n 是正整数时，即nnbabbbaaababababan)(n 个n 个n 个.)(nnbaban这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方分式乘方要把分子、分母分别乘方例例 5 计算：；22)(32cba（1）.)2(223332)(acdacdba（2）；2242222294)3()2(32)(cbacbacba解：解：（1）.)2(223332)(acdacdba（2）223933622393364242acaddcbaacdadcba.8633cdba分式的加减分式的加减 问题问题3甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用 3 天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？ 甲工程队一天完成这项工程的 ，乙工程队一天完成这项工程的 ，两队共同工作一天完成这项工程的( )n131nn131n 问题问题4 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是 S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？ 2011年的森林面积增长率是 ，2010 年的森林面积增长率是 ，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了 .223SSS 112SSS 223SSS 112SSS 从上面的问题可知，为讨论数量关系，有时需要进行分式的加减运算 思考思考 分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同. .观察下列分数加减运算的式子：观察下列分数加减运算的式子： 你能将它们推广，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？得出分式的加减法法则吗？，535251，515251，65626331216162633121类似分数的加减法，分式的加减法法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减再加减上述法则可用式子表示为，cbacbca，bdbcadbdbcbdaddcba例例 6 计算：；2222235yxxyxyx（1）.321321qpqp（2）2222235yxxyxyx解：解：（1）；yxyxyxyxxyx3332352222.321321qpqp（2）)32)(32(32)32)(32(32qpqpqpqpqpqp.944)32)(32(323222qppqpqpqpqp例例 7 计算：.41)2(2bbababa解：解：41)2(2bbabababbababa41422)()(4)(44)(4222222babbaabababababa)(4)(4442222bababbababaa.42baba例例 8 计算：；mmmm342)252(（1）.4)44122(22xxxxxxxx（2）解：解：（1）mmmm342)252(mmmmm34225)2)(2(mmmm3)2(2292mmmmm3)2(22)3)(3(；)3(2mxxxxxxxx4)44122(22（2）4)2(1)2(22xxxxxxx4)2() 1()2)(2(2xxxxxxxx)4()2(4222xxxxx.)2(12x整数指数幂整数指数幂 我们知道，当n 是正整数时，anaaa.n 个 正整数指数幂有以下运算性质： （1）a ma na mn（m，n 是正整数）； （2）(a m)na mn（m，n 是正整数）； （3）(ab)nanbn（n 是正整数）； （4）a ma na mn（a0，m，n是正整数，mn）； 其中，第（5）个性质就是分式的乘方法则 此外，我们还学习过 0 指数幂，即当a 0时，a 01.（5） （n是正整数）nnnbaba)( 思考思考 a m中指数中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂指数幂a m表示什么？表示什么？由分式的约分可知，当a0时，.122335353aaaaaaaa 另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质（4）a ma na mn（a0，m，n是正整数，mn）中的条件mn去掉，即假设这个性质对于像a 3a 5的情形也能使用，则有a 3a 5 a 35a 2. 由两式，我们想到如果规定 (a0)，就能使a ma na mn 这条性质也适用于像 a 3a 5 这样的情形为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定： 221aa一般地，当 n 是正整数时nnaa1(a 0).这就是说，an（a0）是a n 的倒数 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数 思考思考 引入负整数指数和引入负整数指数和0指数后，指数后， a mana mn （m，n是正整数）这是正整数）这条性质能否推广到条性质能否推广到m，n 是任意整数的是任意整数的情形？情形？我们从特殊情形入手进行研究例如，即)5(32253531aaaaaaa；)5(353aaa，即)5()3(885353111aaaaaaa；)5()3(53aaa，即)5(055550111aaaaaa.)5(050aaa 归纳归纳 a ma na mn 这条性质对于这条性质对于m，n 是任意整数的情形是任意整数的情形仍然适用仍然适用 探究探究 类似地，你可以用负整数指数幂或类似地，你可以用负整数指数幂或 0 指数幂对于其他指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用指数幂范围内是否还适用 事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算性质也推广到整数指数幂例例 9 计算：（1）a2a5；223)(ab（2）（1）(a1b2)3；（4）a2b2(a2b2)3.解：解：（1） a2a5a25a7；71a；646446223)(babaabab（2）（3） (a1b2)3a3b6；36ab（4）a2b2(a2b2)3a2b2a6b6a8b8.88ab（1）aman amn（m，n是整数）；（2）(am)n amn（m，n是整数）；（3）(ab)n anbn（m，n是整数）. 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， amanamn，amanam(n )amn，因此amanaman，即同底数幂的除法aman可以转化为同底数幂的乘法aman特别地， abab1，所以， (ab1)n ，即商的乘方 可以转化为积的乘方(ab1)n这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：banba)(nba)( 例例10 纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm109m把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上1 mm3的空间可以放多少个1 nm3 的物体（物体之间的间隙忽略不计）？ 解：解：1 mm103m，1 nm109m(103)3(109)31091027109(27) 1018 1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体 1018是一个非常大的数，它是 1 亿（即108）的100 亿（即1010）倍再见！再见！