§9.4-双曲线(讲解部分).pptx
9.4 双曲线高考数学高考数学第一页，编辑于星期六：七点 五十一分。考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程1.定义在平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线,定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.考点清单考点清单注意(1)设双曲线上的点M到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为2a,即|MF1|-|MF2|=2a,其中02a|F1F2|,则点M的轨迹不存在;c.若2a=0,则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.第二页，编辑于星期六：七点 五十一分。(2)若将双曲线定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,则点的集合是双曲线的一支,具体是左支(上支)还是右支(下支)视情况而定.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a0,b0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a0,b0）.22xa22yb22ya22xb注意(1)焦点位置的判断:在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数正负,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”.(2)a,b,c满足c2=a2+b2,即c最大(c为半焦距).第三页，编辑于星期六：七点 五十一分。考点二双曲线的几何性质考点二双曲线的几何性质标准方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)一般方程mx2+ny2=1(mn1)渐近线方程y=xy=xca221babaab第五页，编辑于星期六：七点 五十一分。拓展延伸1.通径:过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.焦点三角形的面积:P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且F1PF2=,则F1PF2的面积为.3.焦点到渐近线的距离为b.4.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.(2)双曲线为等轴双曲线双曲线离心率e=两条渐近线互相垂直.22ba2tan2b2第六页，编辑于星期六：七点 五十一分。5.设P,A,B是双曲线(焦点在x轴上)上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB的斜率之积为.6.若P是双曲线右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.7.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为,异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.8.P是双曲线-=1(a0,b0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标恒为定值a.9.共轭双曲线的性质:(1)它们有共同的渐近线;(2)它们的四个焦点共圆;(3)它们的离心率的倒数的平方和等于1.22ba22ba22xa22yb第七页，编辑于星期六：七点 五十一分。考法一考法一求双曲线方程的方法求双曲线方程的方法知能拓展知能拓展例例1设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为(,4),则此双曲线的标准方程是.227x236y15解题导引解题导引要求双曲线的标准方程,应先看焦点所在坐标轴,再确定a,b的值,即先定型,再定量.结合题设,焦点已知且在y轴上,并且过点P(,4),求出P到两焦点距离,用定义求即可;还可以设出标准方程,用待定系数法求解;这两种方法是求双曲线标准方程的通用方法.15第八页，编辑于星期六：七点 五十一分。解析解析 解法一:椭圆+=1的焦点坐标是(0,3),设双曲线方程为-=1(a0,b0),根据双曲线的定义知2a=|-|=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求双曲线的标准方程为-=1.解法二:椭圆+=1的焦点坐标是(0,3).设双曲线方程为-=1(a0,b0),则a2+b2=9,又点(,4)在双曲线上,所以-=1,联立,解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为-=1.227x236y22ya22xb22( 15-0)(4-3)22( 15-0)(43)24y25x227x236y22ya22xb15216a215b24y25x答案答案-=124y25x第九页，编辑于星期六：七点 五十一分。例例2已知双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点为F,点B是虚轴的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若=2,且|=4,则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22ybBA AF BF 26x25y28x212y28x24y24x26y思路导引思路导引本题与例1的不同点在哪儿?这儿给出了两个条件=2,|=4,要求出方程,必求a,b的值,已知中的每个条件应得出关于a,b的方程,联立求出a,b的值.BA AF BF 方法总结方法总结1.定义法:根据已知条件,若所求轨迹满足双曲线的定义,则利用双曲线的定义求出参数a,b的值,从而得到轨迹方程.2.待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方程.第十页，编辑于星期六：七点 五十一分。解析解析不妨设B(0,b),A(x,y),由=2,F(c,0),得=(x-0,y-b),=(c-x,0-y),(x,y-b)=2(c-x,-y),即可得A,代入双曲线C的方程可得-=1,即=,=.又|=4,c2=a2+b2,a2+2b2=16.由可得,a2=4,b2=6,双曲线C的方程为-=1,故选D.BA AF BA AF 2 -2 ,-2 ,xcxy by2,3.3cxby2,33c b4922ca1949222aba10922ba32BF 22bc24x26y答案答案 D方法总结方法总结双曲线与向量等知识结合时,根据已知条件列出方程(组),这实质上也是待定系数法.第十一页，编辑于星期六：七点 五十一分。考法二考法二求双曲线的离心率求双曲线的离心率( (或取值范围或取值范围) )的方法的方法例例3 (2018课标,11,5分)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为()A.B.2C.D.22xa22yb6532第十二页，编辑于星期六：七点 五十一分。解析解析解法一:如图所示,由已知条件知直线OP的方程为y=x,直线PF2的斜率为-,且直线PF2过点F2,则其方程为y-0=-(x-c),联立得方程组求得P,因此|OP|=a,又F1(-c,0),|PF1|=,baabab,-,byxaaayxcbb2,aabcc222aabcc222aabccc223ac第十三页，编辑于星期六：七点 五十一分。又|PF1|=|OP|,=a,c2=3a2,=3,e2=3,e=,故选C.解法二:点F2(c,0)到渐近线y=x的距离|PF2|=b(b0),而|OF2|=c,所以在RtOPF2中,由勾股定理可得|OP|=a,所以|PF1|=|OP|=a.在RtOPF2中,cosPF2O=,在F1F2P中,cosPF2O=,所以=3b2=4c2-6a2,则有3(c2-a2)=4c2-6a2,6223ac62ca3ba2-01bcaba22-c b6622|PFOFbc2222121212| -|2|PFFFPFPFFF2224-622bcabcbc2224-64bcabc解得=(负值舍去),即e=.故选C.ca33答案答案C第十四页，编辑于星期六：七点 五十一分。例例4 (2018广东惠州一调,12)已知F1,F2是双曲线-=1(a0,b0)的两个焦点,过其中一个焦点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(2,+)C.(1,)D.(,+)22ya22xb22解题导引解题导引求离心率的范围,关键是结合已知条件将几何条件代数化,如何应用点M在圆内呢?M的坐标可由联立两直线方程求出,点M在圆内,即点M到圆心的距离小于半径,列出不等式,求解不等式,即得离心率的范围,同时不要忘记双曲线的离心率大于1.第十五页，编辑于星期六：七点 五十一分。解析解析如图,不妨设F1(0,c),F2(0,-c),则过点F1与渐近线y=x平行的直线为y=x+c,由解得即M.因为M在以线段F1F2为直径的圆x2+y2=c2内,所以+c2,化简得b23a2,即c2-a23a2,即4,解得1,所以双曲线离心率的取值范围是(1,2).故选A.abab,-,ayxcbayxb-,2,2bcxacy-,22bc ca2-2bca22c22cacaca答案答案A第十六页，编辑于星期六：七点 五十一分。方法总结方法总结 1.求a及b或c的值,由e2=1+求e.2.列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.22ca222aba22ba第十七页，编辑于星期六：七点 五十一分。
