《学案与测评》2011年高考数学总复习-第九单元第三节-圆的方程精品课件-苏教版.ppt
第三节第三节 圆的方程圆的方程根底梳理根底梳理1. 圆的标准方程1方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)表示圆心为 ,半径为 r 的圆的标准方程.2特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为 .2. 圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+ )2+(y+ )2= .故有：1当D2+E2-4F0时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆;2D)2E,2D(2E24FED22(a,b)x2+y2=r244FED22第一页，编辑于星期五：四点 三十六分。3. 点与圆的位置关系对于平面上的任意一点M(x0,y0)和一个圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,点M与圆C的位置关系及判断方法如下：1点M在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2;(2)点M在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(3)点M在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2.4. 求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：2当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(- ,- ); (3)当D2+E2-4Fr,所以点P在圆外.31242041)(1222541)(222第五页，编辑于星期五：四点 三十六分。学后反思 1此题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三那么应用了平面几何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几何问题中，能用上平面几何知识，会使解题变得相对简单.(2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.第六页，编辑于星期五：四点 三十六分。举一反三举一反三1. 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.解析: 因为圆经过点A(5,2),B(3,2),所以圆心在x=4上;又圆心在2x-y-3=0上，所以可得圆心为（4，5）.可设圆的方程为 ,又圆过B(3,2)，所以 ,即r2=10.故圆的方程为 22245xyr2223425r224510 xy第七页，编辑于星期五：四点 三十六分。题型二题型二 与圆有关的参数问题与圆有关的参数问题【例2】(2021威海模拟圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点A(1,2),要使过定点A的圆的切线有两条.求实数a的取值范围.分析 (1)方程表示圆，那么D2+E2-4F0,即a2+4-4a20.(2)由定点A的切线有两条，那么点A一定在圆外.解 x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆，那么应满足a2+4-4a20,即4-3a20,又A应在圆外，有12+22+a+22+a20,即a2+a+90,由,得- a0，此点易被无视.2点(x0,y0)在x2+y2+Dx+Ey+F=0外，x02+y02+Dx0+Ey0+F0.答案： -3举一反三举一反三2. (2009福州模拟)圆 与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若APB=90,则实数c=.22420 xyxyc解析： 圆的方程可化为 ,5-c0.P(2,-1),又APB=90,PA=PB,2=PBsin 45,PB=22.5-c=8,c=-3.22215xyc第九页，编辑于星期五：四点 三十六分。题型三题型三 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题【例3】实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求 的最大值和最小值；2求y-x的最大值和最小值；3求x2+y2的最大值和最小值.解 原方程可化为x-22+y2=3,表示以2，0为圆心， 为半径的圆.分析 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.xy第十页，编辑于星期五：四点 三十六分。1 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设 =k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ,解得k= .(如图1所以yx的最大值为 ,最小值为- .(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距.当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ,解得b=-2 .如图2所以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- .3xyxy31k02k23332b02666第十一页，编辑于星期五：四点 三十六分。(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.如图3又圆心到的原点的距离为 .所以x2+y2的最大值是2+ 2=7+4 ,x2+y2的最小值是2- 2=7-4 20)(00)(22233学后反思 1本例中利用图形的直观性，使代数问题得到非常简捷的解决，这是数形巧妙结合的好处.2本例的解题关键在于能否抓住“数中的某些结构特征，从而联想到解析几何中的某些公式或方程，从而挖掘出“数的几何意义，实现由“数到“形的转化.33第十二页，编辑于星期五：四点 三十六分。(3)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如=y-bx-a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.举一反三举一反三3.圆C：x-32+(y-4)2=1,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动点，求d=PA2+PB2的最大值、最小值及对应的点P坐标.第十三页，编辑于星期五：四点 三十六分。解析 设P(x0,y0),那么d=PA2+PB2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02)+2.欲求d的最值，只需求=x02+y02的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求.设过O,C两点的直线交圆C于P1，P2两点，易知OC所在直线方程为y= x，那么min=(OC-1)2=16=OP12,此时dmin=216+2=34,并易得P1( );max=(OC+1)2=36=OP22,此时dmax=236+2=74,并易得P2( ).34516,512524,518第十四页，编辑于星期五：四点 三十六分。题型四题型四 圆的方程的实际应用圆的方程的实际应用【例【例4 4】(14(14分在气象台分在气象台A A正西方向正西方向300300千米处有一台风中心千米处有一台风中心B B，它以每小时它以每小时4040千米的速度向东北方向移动，距台风中心千米的速度向东北方向移动，距台风中心250250千米千米以内的地方都要受其影响，问：从现在起，大约多长时间后，以内的地方都要受其影响，问：从现在起，大约多长时间后，气象台气象台A A所在地将受台风影响？持续多长时间？所在地将受台风影响？持续多长时间？分析几小时后气象台所在地受到台风影响，就是指以台风中心为圆心的圆何时开始经过该城市，持续多长时间即为台风圆何时离开.建立直角坐标系，用时间变量t表示出B点坐标，进而求解.第十五页，编辑于星期五：四点 三十六分。解 以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.如图，那么现在台风中心B的坐标为-300，0.根据题意可知,t小时后，B的坐标为-300+40tcos 45,40tsin 45,(300+202t,202t.3因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受台风影响，所以气象台A在圆上或圆内时，将受台风影响.所以令AB250,即-300+202t2+(202t)22502,.7整理得16t2-1202t+2750,.10解得152-574t152+574.12故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时.14第十六页，编辑于星期五：四点 三十六分。学后反思在解决有关实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建立直角坐标系，建立数学根本模型，将实际问题转化为数学问题解决.举一反三举一反三4. 4. 有一种大型商品，有一种大型商品，A A、B B两地都有出售，且价格相同两地都有出售，且价格相同. .某地某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A A地每公里的运费地每公里的运费是是B B地每公里运费的地每公里运费的3 3倍倍.A.A、B B两地距离为两地距离为1010公里，顾客选择公里，顾客选择A A地或地或B B地购置这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低地购置这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低. .求求P P地居民选择地居民选择A A地或地或B B地购货总费用相等时，点地购货总费用相等时，点P P所在的方程所在的方程的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？选择购物地点？第十七页，编辑于星期五：四点 三十六分。解析:如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.AB=10,A(-5,0),B(5,0).设P(x,y),P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里).当由P地到A、B两地购物费用相等时，即价格+A地运费=价格+B地运费， 化简整理，得 (1)当P点在以 ,0为圆心、154为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等，此时到A地或B地购物均可.222255xyaxyx第十八页，编辑于星期五：四点 三十六分。2当P点在上述圆内时， .此时到A地购物合算.3当P点在上述圆外时， .此时到B地购物合算.第十九页，编辑于星期五：四点 三十六分。考点演练考点演练NoImage10. (2009天津)若圆 与圆 （a0）的公共弦的长为 ,求a的值.224xy22260 xyay2 3解析： 易知 的半径为 ，画图可知 ,解得a=1.22260 xyay26a222613aa 11. （2010济南模拟）两圆 和 相交于PQ两点，若点P的坐标是(1,2),求点Q的坐标.22211xyr22222xyR第二十页，编辑于星期五：四点 三十六分。解析： 由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(-1,1),(2,-2),则过它们圆心的直线方程为 ,即y=-x，根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故由P(1,2)可得它关于直线y=-x的对称点,即点Q的坐标为(-2,-1).11212 1xy 12. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为 的圆的方程.2 7第二十一页，编辑于星期五：四点 三十六分。解析: 设所求的圆的方程是 则圆心(a,b)到直线y-x=0的距离为 ,即 .所求的圆与x轴相切， .又圆心在直线3x-y=0上，3a-b=0.联立得：a=1,b=3, 或a=-1,b=-3, ,所求圆的方程为 或 222xaybr2ab222()72abr22214rab22rb29r 29r 22139xy22139xy第二十二页，编辑于星期五：四点 三十六分。
