函数奇偶性的性质及其应用.doc

http:/www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育网第 1 页（共 4 页） 正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：010-82310666函数奇偶性的性质及其应用函数奇偶性的性质及其应用蒋明权 邓海如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有，那么函数 f（x）叫fxf x()( ) 做奇函数；如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有，那么函数fxf x()( ) f（x）叫做偶函数。其判定的法则是：（1）看关系式是否出现（此为奇函数）或fxf x()( ) （此为偶函数） ， （2）看定义域是否关于原点对称；（3）看图象是否关于原fxf x()( ) 点对称（此为奇函数）或关于 y 轴对称（此为偶函数） 。显然，法则（1） ， （2）与法则 （3）是等价的。也就是说，一个函数不满足这三条法则中的任何一条，它是非奇非偶函数； 如果函数 f（x）满足了法则（1） ， （2）或者满足法则（3） ，则可判定它的奇偶性。因此，就奇偶性而言函数可以分为四类：奇函数；偶函数；既是奇函数又是偶 函数；非奇非偶函数。设 f（x）是奇函数，如果当 x>0 时，则f xg x( )( )f xg x x gx x( )( )() ()() 0 0（证明从略，类似情况略） 。设 f（x）是奇函数，如果当 x>0 时，f（x）是增函数，则当 x0 时，。试求此f xxx( )lg()1212函数的解析式。解：（1）当 x0 时，于是；fff( )()( )000 f( )00（2）当 x1xx211 ，例例 6. （2004 年上海卷）设奇函数 f（x）的定义域是-5，5 。当时，x05， f（x）的图象如图 1，则不等式 f（x）0 时，f（x）有最小值 2，f xax bxcab( )() 2100，http:/www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育网第 4 页（共 4 页） 正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：010-82310666其中，且bNf( ) 15 2（1）试求 f（x）的解析式；（2）问函数 f（x）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的 坐标；若不存在，说明理由。解：知函数是奇函数，则 c0yf x ab( )()00，fxf x()( ) 由于，所以，又，又，于是f xa bxbxa b( ) 122ab2ab2fa b( ) 115 225202bb解得，又1 22bbN所以 b1，a1所以f xxx( ) 1（2）设点（x0，y0）存在关于点（1，0）对称点（，y0） ，此两点均在函数20 x的图象上，则yx x21yxyx x00200201 221 2 ，()联立以上两式得，即，从而，当时，得xx02 0210x012x012；当时，得y02 2x012y02 2 即存在点（） ， （）关于点（1，0）对称。122 2，122 2，湖南省永州市第一中学（425006）