2022高考数学一轮-导数的应用-函数与导数精品课件.ppt
第一页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0. f(x)0 f(x)为 ; f(x)0 f(x)为 .减函数 增函数 第二页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, 如果在x0附近的左侧, 右侧 ,那么f(x0)是极大值. 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 求f(x); 求方程 的根;f(x)0f(x)0 f(x)0f(x)=0第三页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 考察在每个根x0附近,从左到右导函数f(x)的符号如何变化.如果左正右负,那么f(x)在x0处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在x0处取得 . 3.函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值.极小值 极大值 f(a) f(b)f(a) f(b)第四页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。 (3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: 求函数y=f(x)在(a,b)内的 ; 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.返回目录 极值 第五页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-,0上单调递减,在 0,+)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存 在,说明理由.第六页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 f(x)=ex-a. (1)若a0,f(x)=ex-a0恒成立,即f(x)在R上递增. 若a0,ex-a0,exa,xlna. f(x)的单调递增区间为(lna,+). (2)f(x)在R内单调递增,f(x)0在R上恒成立.ex-a0,即aex在R上恒成立.a(ex)min,又ex0,a0. (1)通过解f(x)0求单调递增区间; (2)转化为恒成立问题求a; (3)假设存在a,则x=0为极小值点,或利用恒成立问题.第七页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 (3):由题意知ex-a0在(-,0上恒成立.aex在(-,0上恒成立.ex在(-,0上为增函数.x=0时,ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0,+)上恒成立.aex在0,+)上恒成立.a1,a=1.:由题意知,x=0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即e0-a=0,a=1.第八页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0或f(x)0,x(a,b)恒成立,且f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f(x)0或f(x)0恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f(x)不恒为0,则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定.第九页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.由已知得函数f(x)的定义域为（，）,且f(x)= (a1).(1)当-1a0时,由f(x)0时，由f（x）=0,解得x= .a1f（x）,f(x)随x的变化情况如下表：第十页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。x x(-1, )ff（x x）-0+f f（x x）极小值极小值a1a1),1(a返回目录 从上表可知 当x(-1, )时，f(x)0,函数f(x)在( ,+)上单调递增.综上所述: 当-1a0时,函数f(x)在(-1,+ )上单调递减. 当a0时,函数f(x)在(-1, )上单调递减,f(x)在( ,+)上单调递增.a1a1a1a1a1a1第十一页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，当且仅当x=-1，x=1时 取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的极大值和极小值.求出f(x)，依题意x=-1，x=1是 f(x)=0的两根，得到a,b的方程，并判断出x=-1及x=1时所取的极值是极大值还是极小值，从而建立y极大 y 极小=4的方程.联立解出a,b的值和极大、极小值.第十二页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。 (1)f(x)=x5+ax3+bx+1的定义域为R.f(x)=5x4+3ax2+b.x=1时有极值,5+3a+b=0.b=-3a-5.将代入f(x)得f(x)=5x4+3ax2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1)=(x2-1)5(x2+1)+3a=(x+1)(x-1)5x2+(3a+5).f(x)仅在x=1时有极值,5x2+(3a+5)0对任意x成立.3a+50,a .返回目录 35第十三页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 考查f(x),f(x)随x的变化情况:由此可知，当x=-1时取得极大值;当x=1时取得极小值.f(-1)-f(1)=4.即(-1)5+a(-1)3+b(-1)+1-(15+a13+b1+1)=4.整理得a+b=-3. a=-1, b=-2.x x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+) +0-0+极大值极大值极小值极小值)(x(xf f)f(xf(x由解得第十四页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为f(x)=0的根，利用这一关系，建立字母系数的方程，使问题转化为含字母系数的方程或方程组问题，通过解方程或方程组确定字母系数.返回目录 （2）a=-1，b=-2，f(x)=x5-x3-2x+1.f(x)的极大值f(x)极大=f(-1)=3;f(x)的极小值f(x)极小=f(1)=-1.第十五页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 已知函数f(x)= +aln(x-1),其中nN*,a为常数.(1)当n=2时,求函数f(x)的极值;(2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x2时,有f(x)x-1.n nx)x)- -(1(1 1第十六页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。(1)由已知得函数f(x)的定义域为x|x1,当n=2时,f(x)= +aln(x-1),所以f(x)= .当a0时,由f(x)=0得x1=1+ 1,x2=1- 1,此时f(x)= .当x(1,x1)时,f(x)0,f(x)单调递增.返回目录 2 2x)x)- -(1(1 13 32 2x x) )- -( (1 1x x) )- -a a( (1 1- -2 2a2a23 32 21 1x x) )- -( (1 1) )x x- -) )( (x xx x- -a a( (x x- -第十七页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 （2）证明:证法一:因为a=1,所以f(x)= +ln(x-1).当n为偶数时,令g(x)=x-1- -ln(x-1),则g(x)=1+= 0(x2).所以当x2,+)时，g(x)单调递增，当a0时,f(x)0时,f(x)在x=1+ 处取得极小值,极小值为f(1+ )= (1+ln ).当a0时，f(x)无极值.a2a22aa2 x x) )- -( (1 1 1 1n n x)x)- -(1(1 1 1n n1 1- -x x1 1- -1 1) )- -( (x xn n1 1n n1 1- -x x2 2- -x x1 1n n1 1) )- -( (x xn n第十八页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。又g(2)=0,因此g(x)=x-1- -ln(x-1)g(2) =0恒成立，所以f(x)x-1成立.当n为奇数时，要证f(x)x-1,由于 0，所以当x2时，恒有h(x)0,即ln(x-1)0).试问当x取何值时，容积V有最大值?返回目录 第二十九页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x. t,0 x .函数V=V(x)=4x(a-x)2的定义域为 .显然 0,得0 xa，此时V(x)为增函数；由V0，得 xa，此时V（x）为减函数.返回目录 2x2x- -2a2ax x2 2t t1 12 2a at t 2 2t t1 12 2a at t,02 2t t1 12 2a at t3 3a a3 3a a第三十页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 当 ，即t 时，在x= 时，V有最大值 a3;当 ,即0t 时，在x= 时，V有最大值 .3 3a a2 2t t1 12 2a at t4 41 12 27 71 16 64 41 13 33 32 2t t) )( (1 1t t8 8a a2 2t t1 12 2a at t3 3a a3 3a a2 2t t1 12 2a at t第三十一页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。返回目录 1.注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性求参数值(范围)时,隐含恒成立思想. 2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小. 3.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.第三十二页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。 4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯 ,可使问题直观且有条理,减少失分的可能. 5.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 6.要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识.返回目录 第三十三页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。第三十四页，编辑于星期四：二十二点 二十二分。
