14生活中的优化问题举例.ppt

1.4 生活中的优化问题举例 一、如何判断函数的单调性？一、如何判断函数的单调性？f(x)为增函数为增函数f(x)为减函数为减函数 设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间内可导，某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的求函数极值的一般步骤一般步骤（1）确定定义域）确定定义域（2）求导数）求导数f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根（4）列表（）列表（5）判断）判断求求f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最值的步骤上的最值的步骤(1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值；(2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b）比较）比较,从而确定函数的最从而确定函数的最值值 生活中经常遇到求生活中经常遇到求利润最大利润最大、用料最省用料最省、效效率最高率最高等问题，这些问题通常称为等问题，这些问题通常称为优化问题优化问题，通，通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题一些生活中的优化问题. .1.1.了解导数在实际问题中的应用；了解导数在实际问题中的应用；2.2.对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用；用；3.3.利用导数知识解决实际中的最优化问题；利用导数知识解决实际中的最优化问题； （重点）（重点）4.4.将实际问题转化为数学问题，建立函数模型将实际问题转化为数学问题，建立函数模型. . （难点）（难点）探究点探究点1 1 海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 例例1 1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传宣传. .现让你设计一张如图现让你设计一张如图3.4-13.4-1所示的竖向张贴的海所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为报，要求版心面积为128dm128dm2 2，上、下两边各空，上、下两边各空2dm2dm，左、，左、右两边各空右两边各空1dm1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？白面积最小？图图3.4-1 分析：已知版心的面积，分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？四周的面积来？xx设为则宽为时积为128128版版心心的的高高dm,版dm,版心心的的dm,dm,此此四四周周空空白白面面解解: :128( )(4)(2) 128S xxx51228,0 xxx2512( )2S xx求求,得,得导数2512( )20S xx令：1616xx，解解 得得 ：（ 舍舍 ） 0,160 xs x当时，；128128816x于于是是：宽为 16,0.xs x当时，因此，因此，x=16x=16是函数是函数S(xS(x) )的极小值点，也是最小值的极小值点，也是最小值点点. .所以，当版心高为所以，当版心高为16dm16dm，宽为，宽为8dm8dm时，能使四时，能使四周空白面积最小周空白面积最小. .你还有其他解法你还有其他解法吗？例如用基本吗？例如用基本不等式行吗？不等式行吗？解法二：解法二：由解法由解法( (一一) )得得512512( )282 28S xxxxx2 32872512,16(0)xxxSx当当且且仅仅当当2即2即时时 取取最最小小值值128x时128128此此= 8= 81616应宽为为报积答答：使使用用版版心心8dm，8dm，16dm，16dm，四四周周空空白白面面最最小小. .高海 2.2.在实际应用题目中，若函数在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较，则不需与端点比较， f ( x0 )即即是所求的最大值或最小值是所求的最大值或最小值.总结提升总结提升1.1.设出变量找出函数关系式；设出变量找出函数关系式；确定出定义域；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义所得结果符合问题的实际意义. .( (所说的区间也适用于开区间或无穷区间所说的区间也适用于开区间或无穷区间) )规格（规格（L）0.61.252价格（元）价格（元）2.54.55.1探究点探究点2 2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 例例2 2 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则若它们的价格如下表所示，则（1 1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2 2）对制造商而言，哪一种的利润更大？）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是瓶子的制造成本是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半径是瓶子的半径(单位单位:cm)，已知每出售，已知每出售1mL的饮料，制造商可的饮料，制造商可获利获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为为6cm，问题：问题：( () )瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？( (）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？324r(r)0.20.8r3yf解：解：由于瓶子的半径为由于瓶子的半径为r,r,所以每瓶饮料的利润为：所以每瓶饮料的利润为：(0r6)2(r)0.8(r2r)0f令，r2,(r)0.f当时r(0,2),(r)0;f当时r(2,6),(r)0.f当时r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 -1.07p p因此，当因此，当r2r2时，时，f(rf(r)0,)0,它表示它表示f(rf(r) )单调递增，单调递增，即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当当r2r2时，时，f(rf(r)0,)0,它表示它表示f(rf(r) )单调递减，即半单调递减，即半径越大，利润越低径越大，利润越低. . .半径为半径为2cm2cm时，利润最小时，利润最小, ,这时这时f(2)0,f(2)0,表示此表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；是负值；.半径为半径为6cm6cm时，利润最大时，利润最大. .ryo32r( )0.8(r )3f r23从图中，你从图中，你还能看出什还能看出什么吗？么吗？当当0r3时，利润为负值；当时，利润为负值；当r3时，利润为零；时，利润为零；当当r3时，利润为正值，并随着瓶子半径的增大利时，利润为正值，并随着瓶子半径的增大利润也相应增大润也相应增大.Rr例例3 3 磁盘的最大存储量问题磁盘的最大存储量问题计算机把计算机把信息信息存储在磁盘上存储在磁盘上. .磁盘是带有磁性介质的磁盘是带有磁性介质的圆盘，并圆盘，并由由操作系统将其格式化成磁道和扇区操作系统将其格式化成磁道和扇区. .磁道磁道是指不同半径所构成的同心是指不同半径所构成的同心圆圆轨道，扇区是指被轨道，扇区是指被圆圆心角心角分割所成的扇形区域分割所成的扇形区域. .磁道上的定长弧可作为基本磁道上的定长弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据记录数据0 0或或1 1，这个基本单元，这个基本单元通常称为比特（通常称为比特（bitbit）. .Rr 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m m， 每比特所占用的磁道长度不得小于每比特所占用的磁道长度不得小于n.n.为了数据检索为了数据检索 便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数. . 问题：现有一张半径为问题：现有一张半径为R R的磁盘，它的存储区是半径的磁盘，它的存储区是半径 介于介于r r与与R R之间的环形区域之间的环形区域 是不是是不是r r越小，磁盘的存储量越大？越小，磁盘的存储量越大？ r r为多少时，磁盘具有最大存储量为多少时，磁盘具有最大存储量 （最外面的磁道不存储任何信息）？（最外面的磁道不存储任何信息）？解：解：由题意知：存储量由题意知：存储量= =磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比特数. . 设存储区的半径介于设存储区的半径介于r r与与R R之间，由于磁道之间的之间，由于磁道之间的宽度必须大于宽度必须大于m m，且最外面的磁道不存储任何信息，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达故磁道数最多可达 . .由于每条磁道上的比特数由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达即每条磁道上的比特数可达 . .所以磁盘总存储量所以磁盘总存储量 Rrm 2 rnp pR-r 2 r2f r =r R-rmnmn.pppp（ ）（）(1)(1)它是一个关于它是一个关于r r的二次函数，从函数解析式上可的二次函数，从函数解析式上可以以判断，不是判断，不是r r越小，磁盘的存储量越大越小，磁盘的存储量越大(2)(2)为求为求 的最大值，计算的最大值，计算 令令 ，解得，解得 当当 时，时， ；当；当 时，时， 因此当因此当 时，磁盘具有最大存储量时，磁盘具有最大存储量, ,此时最大存储量为此时最大存储量为 2f r =R-2rmnp p（ ）（）f r =0（ ）Rr=2Rr2f r0（ ） f r0（ ） 0b0，x x 或或 ( (舍去舍去) )，又又0 10 1，0b1.0b1.2x23x2x2 2函数函数f(xf(x) )x x3 33bx3bx3b(b3b(b0)0)在在(0,1)(0,1)内有极小内有极小值，则值，则 ( )( ) A A0b1 0b1 B Bb1b0 b0 D Dbb12bbbA AD DC C二、填空题二、填空题5 5面积为面积为S S 的一切矩形中，其周长最小的的一切矩形中，其周长最小的是是 6函数函数f(x) (2 2x)的单调递减区间的单调递减区间是是 2x7.在边长为在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？积最大？最大容积是多少？解：解：设箱高为设箱高为xcmxcm，则箱底边长为，则箱底边长为(60(602x)cm2x)cm，则，则得箱子容积得箱子容积V V是是x x的函数，的函数，V(xV(x) )(60(602x)2x)2 2x(0 x30)x(0 x30)4x4x3 3240 x240 x2 23600 x.3600 x.所以所以V(xV(x) )12x12x2 2480 x480 x36003600，令令V(xV(x) )0 0，得，得x x1010，或，或x x30(30(舍去舍去) )当当0 x100 x0)0，当当10 x3010 x30时，时，V(xV(x)0.)0.所以当所以当x x1010时，时，V(xV(x) )取极大值，这个极大值就是取极大值，这个极大值就是V(xV(x) )的最大值的最大值V(10)V(10)16000(cm16000(cm3 3) )答：答：当箱子的高为当箱子的高为10cm10cm，底面边长为，底面边长为40cm40cm时，时，箱子的容积最大，最大容积为箱子的容积最大，最大容积为16000cm16000cm3 3. . 点评点评 在解决实际应用问题中，如果函数在在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数值进行比较值进行比较1.解决优化问题的基本思路：解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题优化问题的答案优化问题的答案用导数解决数学问题用导数解决数学问题2.2.导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：方面：(1)(1)与几何有关的最值问题；与几何有关的最值问题；(2)(2)与物理学有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；(3)(3)与利润及其成本有关的最值问题；与利润及其成本有关的最值问题；(4)(4)效率最值问题效率最值问题. . 3.3.解决优化问题的方法：解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系题是建立适当的函数关系. .再通过研究相应函数再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具个过程中，导数是一个有力的工具. . 卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不挠. 贝多芬