《数学分析》 研究生考试大纲.doc

硕士硕士数学分析数学分析考试大纲考试大纲课程名称：数学分析科目代码：661适用专业：数学与应用数学专业 参考书目：1、 数学分析 （上下册）第一版，陈纪修，於崇华，金路；高等教育出版社 1999.92、 数学分析 （上下册）第二版，陈纪修，於崇华，金路；高等教育出版社 2004.103、 数学分析习题全解指南 （上下册） ，陈纪修，等；高等教育出版社 2005.74、 数学分析习题集吉米多维奇，人民教育出版社 1978.12.一、数列极限1、充分认识实数系的连续性；理解并掌握确界存在定理及相关知识。2、充分理解数列极限的定义，熟练掌握用数列极限的定义证明有关极限问题，以及数列 极限的各种性质及其运算。3、掌握无穷大量的概念及其相关知识；熟练掌握 Stolz 定理的内容及其结论及应用。4、理解单调有界数列收敛定理的内容及其结论，并能熟练解决相关的极限问题。5、充分理解区间套定理、致密性定理、完备性定理各自的内容和结论；进一步认识实数 系的连续性与实数系的完备性的关系；明确有关收敛准则中的各定理之间逻辑关系。二、函数极限与连续函数1、充分理解函数极限的定义，熟练掌握用函数极限的定义证明有关极限问题；以及函数 极限的各种性质及其运算。2、明确数列极限与函数极限的关系；熟练掌握单侧极限以及各种极限过程的极限。3、充分理解连续函数的概念，熟练掌握用连续函数的定义和运算解决有关函数连续性问 题。明确不连续点的类型；掌握反函数、复合函数的连续性。4、熟练掌握无穷小（大）量的概念以及自身的比较，并能熟练应用于极限问题当中。5、充分掌握闭区间上连续函数的各种性质；充分理解函数的一致连续性及相关定理。三、微分1、充分理解微分的概念、导数的概念，以及可微、可导、连续三者的关系。2、熟练掌握导数的运算、反函数、复合函数的求导法则，做到得心应手。3、理解高阶导数和高阶微分的概念，熟练掌握高阶导数的运算法则。四、微分中值定理及其应用1、充分理解以 Lagrange 中值定理为核心的各微分中值定理的内容和结论；掌握应用微 分中值定理揭示函数自身的特征和函数之间的关系。2、熟练掌握应用 LHospital 法则解决不定式的定值问题。3、熟练掌握 Taylor 公式，并能应用其解决极限等相关问题。4、熟练掌握有关函数曲线特征（单调、极值、拐点、凹凸及渐进线）的判定，并能准确 地绘出函数曲线的图形。能够运用极值的概念分析并解决实际中的最值问题。五、不定积分1、理解并掌握不定积分的概念、性质；熟练掌握换元积分法、分部积分法，以及对有理 函数、三角函数有理式、无理函数等积分问题，能够做到解题自如。六、定积分1、充分理解定积分的概念及其基本性质；明确 Darboux 和与 Riemann 可积的条件。2、充分掌握微积分基本定理的内容和结论，明确微分与积分、不定积分与定积分之间的 关系；熟练掌握各种定积分的求解问题。3、熟练掌握定积分在几何学中的应用；以及微积分在相关专业学科中的应用。七、反常积分1、理解反常积分的概念，掌握反常积分的计算。2、明确反常积分的收敛问题，掌握反常积分各种情况下的收敛判别法。八、数项级数1、充分理解并掌握数项级数的概念和级数的基本性质；以及数列的上极限与下极限的概 念和运算。2、熟练掌握正项级数、任意项级数、无穷乘积的概念及其敛散性的判别。九、函数项级数1、明确函数项级数的基本问题及其一致收敛性的问题；熟练掌握一致收敛级数的判别及 其分析性质。2、熟练掌握幂级数的敛散性、函数的幂级数展开。十、Euclid 空间上的极限与连续1、充分理解 Euclid 空间及其相关概念，明确 Euclid 空间上的基本定理。2、充分理解多元函数的极限定义，以及累次极限的概念；熟练掌握用极限定义及其各种 性质及其运算证明或解决有关多元函数极限问题。3、充分理解多元函数的连续性，熟练掌握连续函数的有关性质。十一、多元函数微分学1、充分理解偏导数与全微分的概念，以及方向导数、梯度、高阶导数和高阶微分等概念； 明确多元函数可微、可导、连续三者的关系。2、熟练掌握复合函数、隐函数的求导法则；明确一阶微分的形式不变性，以及 Taylor 公 式的概念及其计算；。3、熟练掌握偏导数在几何中的应用；以及各种情况下极值的求解方法。十二、重积分1、充分理解重积分的概念及其基本性质；明确可积性问题。2、熟练掌握各种区域上的重积分计算，以及用变量替换解决有关重积分的计算问题。3、熟练掌握反常重积分的概念及其计算；明确微分形式及相关概念，熟练掌握其计算问 题。十三、曲线积分、曲面积分1、充分理解曲线积分的概念，熟练掌握两类曲线积分的计算及其联系。2、充分理解曲面积分的概念，熟练掌握两类曲面积分的计算及其联系。3、明确各种积分的联系，熟练掌握 Green 公式、Gauss 公式和 Stokes 公式的内涵及应用； 明确曲线积分与路径无关的条件及其应用。十四、含参变量积分1、充分理解含参变量的常义积分及其性质；并熟悉它的有关计算。2、充分理解含参变量的反常积分及其一致收敛性；并熟悉它的判别方法和一致收敛积分 的性质。3、熟练掌握 Euler 积分的概念及其计算；明确 Beta 函数、Gammer 函数的关系。十五、Fourier 级数1、明确三角级数、Fourier 级数的概念及其关系；熟练掌握各类函数的 Fourier 级数展开。2、明确 Dirichlid 积分的含义；充分理解 Riemann 引理及局部性原理；熟练掌握 Fourier 级数的收敛判别法。3、明确 Fourier 级数的各有关性质，并熟练掌握。4、熟悉并掌握 Fourier 变换和 Fourier 积分；明确 Fourier 变换的逆变换及其性质。主要参考书主要参考书