高等数学公式手册.doc
高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 1 页页 共共 11 页页 高等数学公式导数公式：导数公式：基本积分表：基本积分表：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：222212 211cos12sinududxxtguuuxuux， ， ， axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx Caxx axdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxx x)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222 22 2CaxxadxCxaxa axadxCaxax aaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdx arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnn narcsin22ln22)ln(221cossin2 2222222 2222222 222222020高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 2 页页 共共 11 页页 一些初等函数：一些初等函数： 两个重要极限：两个重要极限：三角函数公式：三角函数公式： ··诱导公式：诱导公式：函数 角 Asincostgctg-sincos-tg-ctg90°-cossinctgtg90°+cos-sin-ctg-tg180°-sin-cos-tg-ctg180°+-sin-costgctg270°-cos-sinctgtg270°+-cossin-ctg-tg360°-sincos-tg-ctg360°+sincostgctg··和差角公式：和差角公式： ··和差化积公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeee chxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284. 2)11 (lim1sinlim 0exxxxxx高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 3 页页 共共 11 页页 ··倍角公式：倍角公式：··半角公式：半角公式： cos1sin sincos1 cos1cos1 2cos1sin sincos1 cos1cos1 22cos1 2cos2cos1 2sinctgtg ··正弦定理：正弦定理： ··余弦定理：余弦定理： RCc Bb Aa2sinsinsinCabbaccos2222··反三角函数性质：反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin高阶导数公式高阶导数公式莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式：)()()()2()1()(0)()()(!) 1() 1( ! 2) 1()(nkknnnnnkkknk nnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv 中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFf aFbFafbfabfafbf)(F)()( )()()()()()()(定积分的近似计算：定积分的近似计算：bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 4 页页 共共 11 页页 babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyz FF xzzyxFdxdy FF yFF xdxyd FF dxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxv vz xu uz xzyxvyxufztv vz tu uz dtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz， ， 隐函数， ， 隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22),(),(1 ),(),(1),(),(1 ),(),(1),(),( 0),(0),(yuGF Jyv vyGF JyuxuGF Jxv vxGF JxuGGFFvG uGvF uFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 5 页页 共共 11 页页 ),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),( )()()(000000000000000000000000000000000000000000000000 000zyxFzz zyxFyy zyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFF GGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzz tyy txxzyxM tztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),( , 0),( , 00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx重积分及其应用：重积分及其应用： Dz Dy DxzyxDy DxDDyDxDDDayxxdyxfaF ayxydyxfF ayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyz xzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23 22223 22223 22222D22)(),()(),()(),(,)0(), 0 , 0(),(,),(),(),( ,),(),(1),()sin,cos(),(， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 6 页页 共共 11 页页 )()()()()(),(),(),(,)()(),(22 tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0 , 0(),(),(21·212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00 yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyP xQyP xQGyxQyxPGydxxdydxdyADyP xQxQyPQdyPdxdxdyyP xQQdyPdxdxdyyP xQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 7 页页 共共 11 页页 dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：常数项级数：常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqn n1 31 2112) 1(32111112级数审敛法：级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛 ，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛 ，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUu lim;3111 lim2111 lim1211 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,( nnn nnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 8 页页 共共 11 页页 时收敛时发散级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111) 1(1) 1 () 1 ()2() 1 ()2()2() 1 (232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn 幂级数：幂级数：0010)3(lim)3(11111112 21032 RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnn nnnn nn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：函数展开成幂级数： nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0( ! 2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()( 2 01 0)1(00)( 2 00 00时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：)()!12() 1(! 5! 3sin) 11(!) 1() 1( ! 2) 1(1)1 (12 1532 xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxn nnm欧拉公式：欧拉公式：高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 9 页页 共共 11 页页 2sin2cos sincosixixixixix eexeex xixe 或三角级数：三角级数：。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnn nnn傅立叶级数：傅立叶级数：是偶函数 ，余弦级数：是奇函数 ，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2 , 1 , 0cos)(20sin)(3 , 2 , 1nsin)(201241 31 211641 31 2112461 41 21851 311)3 , 2 , 1(sin)(1)2 , 1 , 0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210周期为周期为的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数：l 2高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 10 页页 共共 11 页页 llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3 , 2 , 1(sin)(1)2 , 1 , 0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。 得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或 一阶微分方程：uxy uudu xdxudxduudxduxudxdy xyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：) 1 , 0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 11 页页 共共 11 页页 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2 qpxrxrececy21 21两个相等实根)04(2 qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2 qp24 2221pqpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx
