【创新设计】2011届高三数学一轮复习-第5知识块第4讲数列求和课件-北师大版.ppt

1. 熟练掌握等差、等比数列的前熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.【考纲下载考纲下载】第第4 4讲讲 数列求和数列求和第一页，编辑于星期五：五点 六分。数列求和的方法数列求和的方法1公式法公式法 (1)等差数列的前等差数列的前n项和项和Sn . (2)等比数列的前等比数列的前n项和项和Sn . 【思考思考】 回忆一下，推导公式采用的方法是什么？回忆一下，推导公式采用的方法是什么？ 答案：答案：倒序相加法、错位相减法倒序相加法、错位相减法第二页，编辑于星期五：五点 六分。2倒序相加法：倒序相加法：如果一个数列如果一个数列an，与首末两项等距离的两项之和等于首末，与首末两项等距离的两项之和等于首末 两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列 的和，进而求出数列的前的和，进而求出数列的前n项和项和 提示：提示：倒序相加法用的时候有局限性，只有首末两项的和是个常数时才可倒序相加法用的时候有局限性，只有首末两项的和是个常数时才可 以用以用3错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应 项乘积组成，此时可把式子项乘积组成，此时可把式子Sna1a2an两边同乘以公比两边同乘以公比q，得到，得到 qSna1qa2qanq，两式错位相减整理即可求出，两式错位相减整理即可求出Sn. 提示：提示：错位相减法的实质是构造了一个新的等比数列，再用公式法求和，错位相减法的实质是构造了一个新的等比数列，再用公式法求和， 用公式法求和时要弄清是用公式法求和时要弄清是n项的和还是项的和还是n1项的和项的和第三页，编辑于星期五：五点 六分。4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前于是前n项和变成首尾假设干项之和项和变成首尾假设干项之和5分组转化法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转分组转化法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化化 成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列的求和公式求解成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列的求和公式求解 提示：用分组转化法求数列的前提示：用分组转化法求数列的前n项和时，要注意分解后特殊数列适用的前项和时，要注意分解后特殊数列适用的前提提 条件，例如对公比的讨论、对数列项数奇偶性的讨论等条件，例如对公比的讨论、对数列项数奇偶性的讨论等第四页，编辑于星期五：五点 六分。1等差数列等差数列an的通项公式为的通项公式为an2n1，那么由，那么由bn 所确定的数所确定的数 列列bn的前的前n项和为项和为() An(n2) B. n(n4) C. n(n5) D. n(n1) 解析：解析：an2n1， a1a2an n2. bn n. b1b2bn . 答案：答案：D第五页，编辑于星期五：五点 六分。2等比数列等比数列an的首项为的首项为1，公比为，公比为q，前，前n项之和为项之和为Sn，那么，那么 等等 于于() A. B. CSn D. 解析：由等比数列解析：由等比数列an的首项为的首项为1，公比为，公比为q，那么，那么q1时，前时，前n项之和为项之和为Sn ，等比数列，等比数列 的首项为的首项为1，公比为，公比为 ，那么数列，那么数列 的前的前n项之和为项之和为 ；当；当q1时，有时，有 的前的前n项之和为项之和为 答案：答案：B第六页，编辑于星期五：五点 六分。3数列数列an的通项公式为的通项公式为an(1)n1(4n3)，那么，那么S100等于等于() A200 B200 C400 D400 解析：解析：S100(15)(913)(4993)(41003)(4)50 200. 答案：答案：B4数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，假设，假设an ，那么，那么S5等于等于_ 解析：解析： 答案：答案：第七页，编辑于星期五：五点 六分。 将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然 后再合并后再合并 【例例1】 求和：求和：Sn 思维点拨：思维点拨：分析通项公式分析通项公式 ，可转化为两，可转化为两 个等比数列个等比数列x2n、 与常数列与常数列2的求和问题的求和问题第八页，编辑于星期五：五点 六分。解：解：当当x1时时，Sn4n.当当x1时时， Sn第九页，编辑于星期五：五点 六分。用乘公比错位相减法求和时，应注意用乘公比错位相减法求和时，应注意1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；2在写出在写出“Sn与与“qSn的表达式时应特别注意将两式的表达式时应特别注意将两式“错项对齐错项对齐 以便下一步准确写出以便下一步准确写出“SnqSn的表达式的表达式第十页，编辑于星期五：五点 六分。 【例例2】 设数列设数列an满足满足a1a，an1can1c，nN*，其中，其中 a，c为实数，且为实数，且c0. (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； (2)设设a ，c ，bnn(1an)，nN*，求数列，求数列bn的前的前 n项和项和Sn.第十一页，编辑于星期五：五点 六分。解：解：(1)an11c(an1)，当当a1时时，an1是首项为是首项为a1，公比为公比为c的等比数列的等比数列an1(a1)cn1，即即an(a1)cn11.当当a1时时，an1仍满足上式仍满足上式数列数列an的通项公式为的通项公式为an(a1)cn11(nN*)(2)由由(1)得得第十二页，编辑于星期五：五点 六分。第十三页，编辑于星期五：五点 六分。 变式变式2：在数列在数列an中，中，a13，an13an3n1(nN*) (1)设设bn .证明：数列证明：数列bn是等差数列；是等差数列； (2)求数列求数列an的前的前n项和项和Sn. 证明：证明：(1)an13an3n1， ，得，得bn1bn1，b11， 数列数列bn是首项和公差均为是首项和公差均为1的等差数列的等差数列(2)解：解：由由(1)易知，数列易知，数列 是首项和公差均为是首项和公差均为1的等差数列，所以的等差数列，所以 n，ann3n. Sn131232(n1)3n1n3n， 3Sn132233(n1)3nn3n1， 两式相减，得两式相减，得2Snn3n1(31323n)， 故故Sn第十四页，编辑于星期五：五点 六分。常见的裂项技巧有：常见的裂项技巧有：第十五页，编辑于星期五：五点 六分。 【例例3】 等差数列等差数列an的各项均为正数，的各项均为正数，a13，前，前n项和为项和为Sn，bn为等为等 比数列，比数列，b11，且，且b2S264，b3S3960. (1)求求an与与bn； (2)求求的值的值第十六页，编辑于星期五：五点 六分。解：解：(1)设设an的公差为的公差为d，bn的公比为的公比为q，那么，那么d为正数，为正数，an3(n1)d，bnqn1，依题意有依题意有解得解得 或或(舍去舍去)，故故an32(n1)2n1，bn8n1.第十七页，编辑于星期五：五点 六分。(2)由由(1)知知Sn35(2n1)n(n2)，所以所以第十八页，编辑于星期五：五点 六分。 变式变式3：数列：数列an中，中，a11，当，当n2时，其前时，其前n项和项和Sn满足满足 (1)求求Sn的表达式；的表达式； (2)设设bn，求，求bn的前的前n项和项和Tn. 解：解：(1) ， anSnSn1，(n2)， ，第十九页，编辑于星期五：五点 六分。即即2Sn1SnSn1Sn，由题意由题意Sn1Sn0，式两边同除以式两边同除以Sn1Sn，得，得 (n2)，数列数列 是首项为是首项为 ，公差为，公差为2的等差数列的等差数列第二十页，编辑于星期五：五点 六分。1直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程2重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项 的根底上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为根本数列的根底上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为根本数列 求和，或转化为根本数列求和求和过程中同时要对项数作出准确判断求和，或转化为根本数列求和求和过程中同时要对项数作出准确判断3含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论【方法规律方法规律】第二十一页，编辑于星期五：五点 六分。(12分分)(2021广东汕头潮阳区高三期末广东汕头潮阳区高三期末)f(x)，数列，数列an满足满足a1，an1f(an)(nN*)(1)求证：数列求证：数列 是等差数列；是等差数列；(2)记记Sn(x) (x0)，求，求Sn(x)第二十二页，编辑于星期五：五点 六分。【阅卷实录阅卷实录】第二十三页，编辑于星期五：五点 六分。【教师点评教师点评】第二十四页，编辑于星期五：五点 六分。【标准解答】【标准解答】 解：解：(1)由得由得 是首项为是首项为3，公差，公差d3的等差数列的等差数列. 4分分 (2)由由(1)得得 33(n1)3n， Sn(x)3x6x29x33nxn， 6分分第二十五页，编辑于星期五：五点 六分。x1时，时，Sn(1)3693n 7分分x1时，时，Sn(x)3x6x29x33nxn，xSn(x)3x26x33(n1)xn3nxn1，(1x)Sn3x3x23xn3nxn1，Sn，11分分综上，综上，x1时，时，Sn(1) n(n1)，x1时，时，Sn(x) . 12分分第二十六页，编辑于星期五：五点 六分。错位相减求和法的适用环境：数列是由一个等差数列错位相减求和法的适用环境：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n n项和项和，根本方法是设这个和式为，根本方法是设这个和式为SnSn，在这个和式两端同时，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前n n项项和或前和或前n n1 1项和为主的求和问题这里最容易出现问项和为主的求和问题这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理题的就是错位相减后对剩余项的处理点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册【状元笔记状元笔记】第二十七页，编辑于星期五：五点 六分。