第六章第4讲　等差数列、等比数列与数列求和.ppt

抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第4讲等差数列、等比数列与数列求和讲等差数列、等比数列与数列求和抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理(1)等差数列与等比数列的联系等差数列与等比数列的联系等差数列等差数列an中的加、减、乘、除运算与等比数列中的加、减、乘、除运算与等比数列an中中的乘、除、乘方、开方对应的乘、除、乘方、开方对应(2)等差数列与等比数列的探求等差数列与等比数列的探求要判定一个数列是等差数列或等比数列，可用定义法或等要判定一个数列是等差数列或等比数列，可用定义法或等差差(比比)中项法、而要说明一个数列不是等差数列或等比数中项法、而要说明一个数列不是等差数列或等比数列，只要说明某连续三项不成等差数列或等比数列即可列，只要说明某连续三项不成等差数列或等比数列即可1等差数列与等比数列等差数列与等比数列抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式项和公式求和求和等差数列的前等差数列的前n项和公式：项和公式：2数列求和的常用方法数列求和的常用方法抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)倒序相加法：如果一个数列倒序相加法：如果一个数列an的前的前n项中首末两端等项中首末两端等“距离距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即项和即是用此法推导的是用此法推导的(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法项和就是用此法推导的推导的(4)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和间的一些项可以相互抵消，从而求得其和抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(5)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减求和法，分别求和而后相加减(6)并项求和法：一个数列的前并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用类型，可采用两项合并求解两项合并求解例如，例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考一种转化思路一种转化思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和【助学助学微博微博】抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案11考点自测考点自测抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析由由a4a3a2q2a2q2q22q4，解得，解得q2(q1)答案答案22(2011广东卷广东卷)已知已知an是递增等比数列，是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比，则此数列的公比q_.抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3(2012无锡市第一学期期末考试无锡市第一学期期末考试)设设Sn是等比数列是等比数列an的的前前n项和，项和，S3，S9，S6成等差数列，且成等差数列，且a2a52am，则，则m_.答案答案8抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案19抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案7抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)是否存在两个等比数列是否存在两个等比数列an，bn，使得，使得b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为成公差不为0的等差数列？若存在，求的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由的通项公式；若不存在，说明理由考向一等差数列与等比数列的综合考向一等差数列与等比数列的综合【例例1】 (2011江西卷江西卷)(1)已知两个等比数列已知两个等比数列an，bn，满足满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33，若数列，若数列an唯一，求唯一，求a的值；的值；抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考q2得得a1(q1q2)(q11)20，由由a10得得q1q2或或q11.()当当q1q2时，由得时，由得b1a1或或q1q21，这时，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为，与公差不为0矛盾矛盾()当当q11时，由得时，由得b10或或q21，这时，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为，与公差不为0矛盾矛盾综上所述，不存在两个等比数列综上所述，不存在两个等比数列an，bn使使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为成公差不为0的等差数列的等差数列方法总结方法总结 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)设数列设数列bn满足满足b13，令，令bn1abn，设数列，设数列bn的前的前n项和为项和为Tn，求数列，求数列Tn6n中最小项的值中最小项的值【训练训练1】 (2012苏州市自主学习调查苏州市自主学习调查)已知数列已知数列an各项均各项均为正数，其前为正数，其前n项和为项和为Sn，点，点(an，Sn)在曲线在曲线(x1)24y上上抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)由已知得由已知得b13，bn12bn1，则，则bn112(bn1)，所以所以bn1是首项为是首项为2，公比为，公比为2的等比数列，的等比数列，所以所以bn122n12n，即，即bn2n1，所以所以Tnb1b2bn(21222n)n抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考设设AnTn6n2n15n2，则，则An1An2n15，所以当所以当n1时，有时，有An1An.故最小项为故最小项为A2231024.即数列即数列Tn6n中最小项的值为中最小项的值为4.抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例2】 (2012盐城调研二盐城调研二)在数列在数列an中，中，a11，且对任，且对任意的意的kN*，a2k1，a2k，a2k1成等比数列，其公比为成等比数列，其公比为qk.(1)若若qk2(kN*)，求，求a1a3a5a2k1；考向二考向二等差数列与等比数列的判定或证明等差数列与等比数列的判定或证明抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 求数列通项或前求数列通项或前n项和，首先考虑原数列是否项和，首先考虑原数列是否是等差数列或等比数列，可以通过定义或等差是等差数列或等比数列，可以通过定义或等差(比比)中项作中项作出判断或证明出判断或证明抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)等差数列等差数列bn的各项为正，其前的各项为正，其前n项和为项和为Tn，且，且T315，又又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求成等比数列，求Tn.解解(1)由由an12Sn1，可得，可得an2Sn11(n2)，两式相减得两式相减得an1an2an，则，则an13an(n2)又又a22S113，a23a1.故故an是首项为是首项为1，公比为，公比为3的等比数列，的等比数列，an3n1.【训练训练2】 数列数列an的前的前n项和记为项和记为Sn，a11，an12Sn 1(n1)抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)设设bn的公差为的公差为d，由由T315，b1b2b315，可得，可得b25，故可设故可设b15d，b35d，又，又a11，a23，a39，由题意可得由题意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得解得d12，d210.等差数列等差数列bn的各项为正，的各项为正，d0，抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考向三考向三裂项相消法求和裂项相消法求和抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的消是此法的根源与目的抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点审题视点(1)由已知写出前由已知写出前n1项之和，两式相项之和，两式相减减(2)bnn3n的特点是数列的特点是数列n与与3n之积，可用错位相之积，可用错位相减法减法考向四考向四错位相减法求和错位相减法求和抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3n1an的前的前n项和，从而利用项和，从而利用an与与Sn的关系求出通项的关系求出通项3n1an，进而求得，进而求得an；另外乘公比错位相减是数列求和的；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养的培养抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练4】 (2011辽宁卷辽宁卷)已知等差数列已知等差数列an满足满足a20，a6a810.(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起来考查是高考的重点这类问题多属于两者基本运算的综来考查是高考的重点这类问题多属于两者基本运算的综合题以及相互之间的转化合题以及相互之间的转化规范解答规范解答10怎样求解等差与等比数列的综合性问题怎样求解等差与等比数列的综合性问题抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【示例示例】 (2011湖北卷湖北卷)成等差数列的三个正数的和等于成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列后成为等比数列bn中的中的b3、b4、b5.(1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；审题路线图审题路线图 正确设等差数列的三个正数，利用等比数正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差列的性质解出公差d，从而求出数列，从而求出数列bn的首项、公比；利的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第用等比数列的定义可解决第(2)问问抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解答示范解答示范 (1)设成等差数列的三个正数分别为设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得依题意，得adaad15，解得解得a5.(2分分)所以所以bn中的中的b3，b4，b5依次为依次为7d,10,18d.依题意，有依题意，有(7d)(18d)100，解得，解得d2或或d13(舍去舍去)(5分分)故故bn的第的第3项为项为5，公比为，公比为2，抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考模板构建模板构建 解等差数列与等比数列的综合性问题的一般程解等差数列与等比数列的综合性问题的一般程序：序：第一步：搞清这个数列成等差数列还是等比数列；第一步：搞清这个数列成等差数列还是等比数列；第二步：证明这个数列成等差数列或等比数列，符合等差第二步：证明这个数列成等差数列或等比数列，符合等差(比比)数列定义，用定义证明，否则用等差中项或等比中项数列定义，用定义证明，否则用等差中项或等比中项给出证明；给出证明；第三步：在原数列不是等差数列或等比数列的情况，可构第三步：在原数列不是等差数列或等比数列的情况，可构造一个新的数列，使其成等差或等比数列；造一个新的数列，使其成等差或等比数列；第四步：才是应用有关等差第四步：才是应用有关等差(比比)数列的有关公式或性质求数列的有关公式或性质求解有关问题解有关问题抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案2n高考经典题组训练高考经典题组训练抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2(2012湖北卷改编湖北卷改编)定义在定义在(，0)(0，)上的函上的函数数f(x)，如果对于任意给定的等比数列，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍仍是等比数列，则称是等比数列，则称f(x)为为“保等比数列函数保等比数列函数”现有定义现有定义在在(，0)(0，)上的如下函数：上的如下函数： 答案答案抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考a2a412.(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)记记an的前的前n项和为项和为Sn，若，若a1，ak，Sk2成等比数列，求成等比数列，求正整数正整数k的值的值3(2012重庆卷重庆卷)已知数列已知数列an为等差数列，且为等差数列，且a1a38，抓住抓住2个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考