数学妙想奇思：神奇的剑_趣味数学 - .doc

数学妙想奇思：神奇的剑_趣味数学 - 查字典数学网a.请仔细观察左图。发现图上有什么错误了?(图上的字义是“肉店”)b.看看那支剑，它根本不能插入剑鞘。(图上的字义是“放弃”)c.如果这两把剑都有均匀的横截面，那么它们就都可以插入与之形状相同的剑鞘中。你能再找出一种其它形状的剑可插入同形状两剑鞘中吗?d.凭你的聪明估计你想到了三维空间曲线即螺旋线，很正确，螺旋线是我们唯一能找出的剑与鞘的形状相同的第三种形状。一般螺旋线体在现代科学中，螺旋体结构逐渐成为一种极其重要的结构，尤其在生物学和原子物理学中。DNA分子结构就是螺旋体结构。在剑鞘匹配的三种形式当中，螺旋体与一维直线及二维平面上的圆不同，它还涉及到一个旋转方向的问题。就是说它可能是左旋的，也可能是右旋的。一条直线或一个圆与它在镜子中的影像完全一样，而螺旋体却不同。在镜中“它们的旋转方向发生了变化”，影片路易斯·开罗中的爱丽斯在看到镜中的屋子时曾发出这样的感慨。再比如，物理学中的中微子，以光速运行，在运行过程中始终绕一个轴旋转，从某种意义上讲，它随时间变化在空间描绘出了一个螺旋线轨道。而反中微子的螺旋线轨道旋转方向则与中微子的刚好相反。在自然界和人们的日常生活中，螺旋线的实例不胜枚举。右旋螺旋线传统的定义是，按顺时针方向旋转逐渐向远离你的方向旋进所形成的螺旋线。螺钉、螺栓和螺母一般都是右旋的。许多螺旋状结构，比如圆环形楼梯、螺旋状糖果器、弹簧、绞合线或电缆中每股细绳的缠绕方向等等，有的是右旋、有的是左旋。你注意到理发店门前红白相间的招牌是什么旋转方向吗?在自然界中，螺旋状还可见诸动物的某些部位，如海螺的壳、雄性角鲸的长牙、人的耳蜗及脐带等。在植物界螺旋状更是屡见不鲜，如草本植物的主茎、叶柄、蔓、种子、花、球果、叶子、树干等等。当松鼠在树上爬上爬下时，它爬过的路线就是螺旋形的。蝙蝠从巢里出来后飞行的轨迹也是螺旋形的。在自然现象中，涡流、龙卷风都是锥形螺旋的实例。水通过下水道入口向下流时亦呈螺旋形式。如果想了解自然界中更多的螺旋现象，请参看马丁·伽顿尼所著奇妙世界一书。一个规则的螺旋线是环绕圆柱体表面而形成的曲线，环绕过程中必须使之与圆柱体母线的夹角恒定(母线系指在圆柱体表面上与轴平行的直线)，我们称这个恒定的角为B。不难看出，如果B角为O度，螺旋线就成了一条直线;如果B角为90度，螺旋线就变成了一个圆。进一步分析可以看出，当B角在0度至90度之间变化时，形成的螺旋曲线是一个以B角为参数的参数方程。而上述的直线与圆则是这个一般空间螺旋曲线的两个极限形式。规则的螺旋曲线必须是曲率与挠度保持不变的螺旋线。满足剑与鞘相匹配的形状只有螺旋线及它的两个极限形式，前述分析是否可以作为这一结论的注脚?螺旋线在水平面上的投影显而易见是一个圆，如果在垂直于螺旋线轴的方向上投影呢?结果是一条正弦曲线。于是这里又得出一个以投影方向为参数的曲线参数方程，从不同的角度投影，得到不同的投影曲线。事实上，正弦曲线及其性质正是由此巧妙地引入。下面再谈一个有关螺旋线的而且颇具玄机的小故事。一个圆柱形塔，高100米，塔中有一电梯，塔的外表面有一环形楼梯，环形楼梯的伸展方向与竖直方向夹角60度恒定不变。塔的直径是13米。一天，皮特夫妇乘电梯去塔顶的了望台，他们的儿子汤姆托·皮特从塔外的环形楼梯上爬上去，当汤姆托爬到塔顶时，他自然是上气不接下气了。“你必输无疑，我的儿子。”皮特先生说，“你要走四倍于我们的距离，而且完全靠双脚。”“你说错了，爸爸。”汤姆托说，“我走的距离是你的距离的两倍。”究竟谁说得对?是汤姆托还是他的爸爸?对于如何求楼梯长度的问题，许多人坚持必须要先知道圆柱塔的直径才行。出乎意料的是，塔的直径13米这一已知条件在此可以完全不予考虑。为什么圆柱的直径是个与环形楼梯的长度无关的量呢?盘绕在塔柱面上的环形(即螺旋形)楼梯实质上是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的三个角是60度、30度和90度，高度100米。在这种三角形中，斜边的长度是高度(30度角所对的边)的两倍。所以汤姆托是正确的。你可以做一个小实验来验证上述结论。展开一个硬圆筒或展开绕在圆筒上的手纸，你会意外地发现，圆筒上的螺旋线变成了平面上一个直角三角形的斜边，其长度与这个直角三角形卷成的圆柱体的直径全然无关。 第 4 页 共 4 页