332 简单的线性规划问题.ppt
3.3.2 3.3.2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题不等式1了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念2掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值3训练数形结合、化归等数学思想，培养和发展数学应用意识基础梳理基础梳理1线性约束条件：_.2线性目标函数：_.3线性规划问题：_.4可行解：_.5可行域：_.答案：1由关于x，y的一次不等式形成的约束条件2由关于两个变量x，y一次式形成的函数3在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解5由所有可行解组成的集合叫可行域6最优解：_.有可行解组成的集合即不等式组所表示的平面区域(如上图阴影部分)是_易知，当x ，y1时，目标函数z2xy取最大值2，故 是这个规划问题的_答案：6使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解练习1：线性规划问题线性约束条件线性目标函数可行解可行域最优解答案：7原点(1,2)练习2：原点(1，2)8直线y2x1的斜率为：_，在y轴上的截距为：_.9直线ykxb与ymxn平行的条件是：_.10两直线y2x1与yx的交点坐标是：_.答案：8219.km，bn10.(1,1)自测自评自测自评1已知实数x，y满足 则目标函数zx2y的最小值是_解析：画出满足不等式组的可行域如图，目标函数化为：y ，画直线y x及其平行线，当此直线经过点A时，z的值最大，z的值最小，A点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为：3269.答案： 9 求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值 已知实数x，y满足不等式组：(1)求wx2y的最大值；(2)求zxy的最小值分析：由于所给的约束条件及目标函数均为关于x，y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解 解析：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)如右图所示 (1)将wx2y变形为y x ，得到斜率为 ，在y轴上截距为 的一族随w变化的平行直线，作过原点的直线y x，由图可知，当平移此直线过点(0,2)时，直线在y轴上的截距 最大，最大值为2，wx2y的最大值为4.也可把(0,2)代入求得wmax0224.(2)将zxy变形为yxz，得到斜率为1，在y轴上截距为z的一族随z变化的平行直线，作过原点的直线yx，由图可知，当平移此直线过点(0,2)时，直线在y轴上的截距z最大，最大值为2，z最小，最小值为2，zxy的最小值为2.也可把(0,2)代入求得zmin022.跟踪训练跟踪训练 1设z2xy，式中变量x，y满足条件 求z的最大值和最小值解析：作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示把z2xy变形为y2xz，得到斜率为2，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线由图可以看出，当直线z2xy经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小求非线性目标函数的最值求非线性目标函数的最值解析：作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示，设M(x，y)，N(3,0)，则z kMN，其中点M在ABC所包含的区域内，易求得kNA 1，kNB ，z1或z .跟踪训练跟踪训练解析：利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P(x，y)与定点A(1,1)连线的斜率问题，画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W 表示阴影部分的点与定点A(1,1)的连线的斜率，由图可见点(1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故 W1. 线性规划的应用题线性规划的应用题 某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件收入分别为3千元，2千元甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.如何安排生产可使收入最大？ 解析：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是 ，目标函数是f3x2y，要求出适当的x，y，使f3x2y取得最大值如下图作出可行域 设3x2ya，a是参数，将它变形为y ，这是斜率为 ，随a变化的一族直线当直线与可行域相交且截距最大时，目标函数f取得最大值 由 ，因此，甲、乙两种产品的每月产品分别为200,100件时，可得最大收入800千元跟踪训练跟踪训练3某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1工时、2工时，加工一件乙所需工时分别为2工时、1工时，A，B两种设备每月有效使用台时数为a(400a500)求生产收入最大值的范围 解析： 设甲、乙两种产品的月产量分别为x，y件，则约束条件是 目标函数是z3x2y由约束条件画出可行域，如上图所示将z3x2y变形为y ， 这是斜率为 、随z变化的一簇直线. 是直线在y轴上的截距，当 最大时z最大，当直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值2变量x、y满足下列条件：则使得z3x2y的值最小的(x，y)是()A(4,5) B(3,6)C(9,2) D(6,4) 分析：本题考查直线线性规化的基础知识，作出直线包纳范围，画出可行域，求解解析：画出如图可行域，将z3x2y平移到点M(3,6)有最小值故选B.答案：B解简单线性规划问题的基本步骤：1画图：画出线性约束条件所表示的平面区域即可行域2定线：令z0，得一过原点的直线3平移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线4求最优解：通过解方程组求出最优解5求最值：求出线性目标函数的最大或最小值
