54柯西不等式与排序不等式_课件(人教A版选修4-5).ppt
第三讲第三讲柯西不等式与柯西不等式与排序不等式排序不等式 一一 二维形式的二维形式的柯西不等式柯西不等式若若a,b,c,d都是实数都是实数,则则 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2当且仅当当且仅当ad=bc时时,等号成立等号成立.定理定理1（二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）:你能证明吗？你能证明吗？推论推论22222222|abcdacbdabcdacbd为非负实数）。dcbabdacdcba,()()()(2 向量形式：向量形式：2222(,),( ,)| | cos|ma bnc dmnmnmnacbdmabncd| | | | cos| | | | |mnmnmnmnmn2222acbdabcd| |设设,是两个向量是两个向量,则则 当且仅当当且仅当是零向量是零向量,或存在实数或存在实数k,使使=k时时,等号成立等号成立.定理定理2: （柯西不等式的向量形式）柯西不等式的向量形式）xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0 xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)022122122222121)()(yyxxyxyx根据两点间距离公式以及三角形的根据两点间距离公式以及三角形的边长关系边长关系:观察观察定理定理（二维形式的三角不等式）（二维形式的三角不等式）设，那么设，那么1212,Ryyxx22122122222121)()(yyxxyxyx 例题例例1.已知已知a,b为实数为实数,证明：证明： (a4+b4) (a2+b2) (a3+b3)2.51102.yxx 例2求函数的最大值例例3.设设a,bR+,a+b=1,求证求证411ba4)11)(baba注意应用公式：练习：22221.2x36, 2112.1, | cossin| 1yxyabab已知求证已知求证作业第第37页页,第第1,5,6题题 二二 一般形式的一般形式的 柯西不等式柯西不等式22222212312321 1223 3() ()()aaabbbaba ba b(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)222222212n12n21 122(.) (.)(.)nnaaabbbaba ba b二维形式的柯西不等式）二维形式的柯西不等式）:三维形式的柯西不等式）三维形式的柯西不等式）:n维形式的柯西不等式）维形式的柯西不等式）:22222212n12n21 122(.) (.)(.)nnaaabbbaba ba b定理定理 设设nnbbbbaaaa,.,.,321321是实数，则是实数，则当且当且仅当仅当 (i=1,2,n) 或或 存存在一在一个个 数数k使使得得 (i=1,2,n) 时时等号等号成立。成立。 以上以上不等不等式称式称为为一一般形般形式的式的柯西柯西不等不等式式。0ibiikba).,.,2, 1,()(.)()(.)()()(22222112222122221221221221222222212121niRyxyxyxyxyyyxxxzzyyxxzyxzyxiinnnn一般形式的三角不等式一般形式的三角不等式例例1 已知已知123,.,na aaa都是实数，求证：都是实数，求证：22221212n1(.).naaaaaan2222abcd例例2 已知已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：是不全相等的正数，证明：ab+bc+cd+da.例例3 已知已知x+2y+3z=1,求求 的最小值。的最小值。222xyz例例4：设：设a、b、c为正数且各不相等。为正数且各不相等。求证：求证： cbaaccbba9222)111)()()( )111)( 2accbbaaccbbaaccbbacba证明：9) 111 (2又又a、b、c各不相等，故等号不能成立各不相等，故等号不能成立 原不等式成立。原不等式成立。例5 若abc 求证：cacbba4114) 11 ( )11)()()11)(2cbbacbbacbbaca证明： cacbba411例6：若求证：Rcba,23bacacbcba分析：左端变形分析：左端变形只需证此式只需证此式 即可即可111bacacbcba)111)(baaccbcba 29 三三 排序不等式排序不等式121121212121121111212222,.,. .nnnnnnnnnnnnabc ccb babaaba baabba caa ba bcbaaabbba cn定理（排序不等式，又称排序定理）设为两组实数是的任一排列，那么：当且仅当或时,反序和等，b于顺序和。反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和例例1 ：有：有10人各拿一只水桶去接水，设水人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第龙头注满第i(i=1,2,10)个人的水桶需个人的水桶需要要ti分，假定这些分，假定这些ti各不相同。各不相同。问：只有一个水龙头时，应该如何安排问：只有一个水龙头时，应该如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？这个最少的总时间等于多少？解：解：总时间总时间(分）是分）是10t1+9t2+2t9+t10根据排序不等式，当根据排序不等式，当t1t2t9t10时，时，总时间取最小值。总时间取最小值。即：按水桶的大小由小到大依次接水，即：按水桶的大小由小到大依次接水，则则10人等候的总时间最少。人等候的总时间最少。最少的总时间是最少的总时间是: 10t1+9t2+2t9+t10例例2 设设a1,a2,an是是n个互不相等的正整数，个互不相等的正整数，求证：求证：3212221111.2323naaaann证明证明：设：设b1,b2,bn是是a1,a2,an的一个排列，的一个排列， 且有且有 b1b2bn因为因为b1,b2,bn是互不相等的正整数，是互不相等的正整数，所以所以b11,b22,bnn. 2221111. . .23n332211222222.2323nnaabbababnn又因又因由排序不等式，得：由排序不等式，得：2221111 111 1 23.1.232 3nnn 122221 12 2121212,.,.,.,. ,1.nn nnnna aaaca ca caaac cca aa为实数，证明：其中是的.设任一排列。练习练习3332222., ,2()()()().a b cabca b cb a cc a b已知为正数，用排序不等式证明练习练习12123,.,.na aaa aa aa aaaaaaa122331312为正数，求3证.设练习练习122222112122314.,.,.nnnnna aaaaaaaaaaaaa设为正数，试分别用柯西不等式与排序不等式证明 练习练习
