余弦定理、正弦定理应用举例课件--高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

高一年级人教A版数学必修第二册第六章余弦定理、正弦定理应用举例学习目标1.会用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题；2.通过对实际问题的分析，学会建立相应的数学模型，把实际问题数学化，以此培养数学建模素养，提高分析和解决实际问题的能力.环节一、创设情境，明确问题“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”早在1671年，两位法国天文学家已经测量了地球与月球之间的距离，那时天文学家没有先进的仪器，是什么神奇的方法探索到这个奥秘呢？如图6.414，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林（点A）与好望角（点B）为基点，测量出，的大小，并计算出两地之间的距离AB，进而算出地球与月球之间的距离约为385400km.P P在测量上，在测量上，根据测量需要而选取的点叫做测量根据测量需要而选取的点叫做测量基点基点. .根据测量需要而确定的线段叫做测量根据测量需要而确定的线段叫做测量基线基线. .一般来说，一般来说，基线越长基线越长，测量的精确度，测量的精确度越高越高. .环节二、实际问题，建立模型例例9 9 如图6.412，A,B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A,B两点间距离的方法，并求出A,B间的距离.分析：若测量者在A,B两点的对岸取定一点C(测量基点），则在点C处只能测出ACB的大小，因而无法解决问题.CD为此，可以再取一点D，测出线段CD的长，以及ACD，CDB，BDA.这样就将实际问题转化为解三角形问题.若在ABC中求AB，则需求出AC和BC，然后利用余弦定理可求得AB.而AC、BC可分别在ACD和BCD中利用正弦定理求得.图6.413解：如图6.413，在A,B两点的对岸选定两点C,D，测得CD=a,并且C,D两点分别测得ACB=，ACD=，CDB=，BDA=.在ADC和BDC中，由正弦定理，得sin()sin()AC=.sin180()sin()oaasinsinBC=.sin180()sin()oaa于是，在ABC中，由余弦定理可得A,B两点间的距离22AB=2cos.ACBCACBCACsinsinDCADCDACsin()sin180()o2222222sin ()sin2sin()sincos.sin ()sin ()sin()sin()aaa在上述测量方案下还有其他计算在上述测量方案下还有其他计算A BA B两点间距离的方法吗？两点间距离的方法吗？CD测量问题：不可到达点测量距离问题测量方案：选取对A、B两点均可视的两点C、D；测出ACB、ACD 、CDB 、 BDA和CD.例例10 10 如图6.415，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.方案1：我们可以选取对A、B两点均可视的两点C、D（CD与地面垂直），测量出CD的长度以及这两个基点相对于被测两点A、B的张角，然后再利用余弦定理或正弦定理求解 CD例例10 10 如图6.415，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度.方案方案2 2：由锐角三角函数知识可知，只要获得一点C（点C到地面的距离可求）到建筑物顶点A的距离CA，并测出点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度. 为此，应选取一点D构造另一个含有CA的ACD，并进行相关长度和角度的测量，然后通过解三角的方法计算出CA.解：如图6.415，选择一条水平基线HG,使得H,G,B三点在同一条直线上.在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别为,，CD=a，测角仪器的高为h.那么，在ACD中，由正弦定理，得sinAC=.sin()a所以，这座建筑物的高度为AB=AE+h测量问题：底部不可到达物体测量高度问题测量方案：选取两点H、G，与底部B三点共线；在G,H两点分别测得A的仰角和GH.sinsinsin=.sin()aAChh例例1111 位于某海域A处的甲船获悉，其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30o，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1o）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？分析：首先应根据“正东方向”“南偏西30o”“目标方向线”等信息，画出示意图.如图所示，本题的目标是求边BC和C.根据余弦定理“已知两边和它们的夹角，求第三边”，可求BC，然后利用正弦定理或余弦定理求角.ACB30o北20 n mile7 n mileACB30o北20 n mile7 n mile解：根据题意，画出示意图（图6.416）.由余弦定理，得222222cos1201 2072 20 7 ()589.2oBCABACAB AC 24( )BCn mile由正弦定理得320sinsin1205 32=,sin.20242412oCC090 ,46 .oooCCQ因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46o+30o =76o，大约需要航行24 n mile.图6.416环节三、回顾总结，方法提炼距离问题、高度问题、角度问题2.在实际测量中应用余弦定理、正弦定理解题的一般步骤：分析建模求解检验分析题意，画出示意图将实际问题转化为解三角形的数学问题运用余弦定理、正弦定理求解将数学结论还原成实际结论1.本节课解决了哪些实际测量问题： 化归与转化思想数形结合思想3.建模具体方法： 不可到达点的距离问题选取两个基点测出基线长度以及这两个基点相对于被测点的张角底部不可到达高度问题选取两个基点，与底部三点共线测出基线长度以及这两个基点相对于建筑物顶点的仰角方位角度问题根据题意画出示意图在图中标出相关角度和距离谢谢观看！