二次函数巩固.ppt

高中数学专题二次函数专题巩固知识梳理 1、二次函数的解析式（、二次函数的解析式（待定系数法）待定系数法） 一般式：一般式：y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0) 顶点式：顶点式：y=a(xy=a(xh)h)2 2+k,a0+k,a0，其中，其中(h,k)(h,k)为抛物线的顶点坐标。为抛物线的顶点坐标。 零点式零点式( (两根式两根式) )：y=a(xy=a(xx x1 1)(x)(xx x2 2) )，a0a0其中其中x x1 1、x x2 2是抛物线与是抛物线与x x轴两交点的横轴两交点的横坐标。坐标。2、二次函数研究的四元素：、二次函数研究的四元素： 开口开口a；对称轴；对称轴-b/2a；顶点；与坐标轴；顶点；与坐标轴的交点的交点1、配方法2、顶点公式3、对称代入法)44,2(2abacab1、与y轴的交点:(0,c)2、与x轴的交点：y=0时，转化成一元二次方程3、二次函数的相关量、二次函数的相关量1）单调性的相关量：）单调性的相关量：开口；对称轴开口；对称轴2）最值相关量：）最值相关量：定义域定义域R： 定义域定义域m,n：3）对称轴相关量：）对称轴相关量：1:对称轴对称轴x=-b/2a2:f(a)=f(b)(ab)对称轴对称轴x=(a+b)/24）二次方程、二次不等式）二次方程、二次不等式与与x轴的交点坐标是方程轴的交点坐标是方程f(x)=0的实根，它在的实根，它在x轴上轴上的线段长为的线段长为 |4)(|2122121axxxxxx 2、突现函数图象，研究二次方程突现函数图象，研究二次方程ax2+bx+c=0的根的根的分布问题：的分布问题： 二次项系数二次项系数a的符号；的符号； 判别式的符号；判别式的符号； 区间端点函数值的正负；区间端点函数值的正负； 对称轴对称轴x=b/2a与区间端点的关系与区间端点的关系注：方程、不等式问题等价转化图形问题注：方程、不等式问题等价转化图形问题 等价转化简单不等式组等价转化简单不等式组= b24ac 0 = 0 0) 的图象的图象一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根 一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集的解集 一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c0)的解集的解集 有相异两实根x1,x2(x1x2)有相等两实根x1 x2b/2a没有实根xx2xb/2aRx1x0，当x(，2)(6，)时，f(x)0，且f(0)48，求f(x) 22320260(2)(6)41244.821241648.f xaxxf xf xa xxaxaxaaaabbaaf xxx 依题意知函数的图象是抛物线，且开口向下，故，且 和 是 的两个根，则设函数 ，比较得，解得所以【解析】 二次函数的表示方法有三种：一般式：yax2bxc(a0)；顶点式：ya(xb)2c(a0)；交点式ya(xx1)(xx2)(a0)根据条件可任选一种来表示二次函数本题采用了交点式根据题目条件，也可以采用顶点式，因为x2或6是f(x)0的两个根，所以x2是其对称轴方程， 22( 2)0(2).(0)4816044486441648.ff xa xcfacaaccf xxx 于是设 由，即，得，所以【练习1】已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间1,1上，函数f(x)的图象恒在直线y2xm的上方，求实数m的取值范围 2222222min1(0)(1)(1) 112221.1111. 1,11231.1(3 )2121.)12(1f xaxbxaa xb xaxbxxabbaabbf xxxxxxxmxxmxxxmmm 设函数，则 ，整理得，解得所以 当时，由 ，得 当 时， ，所以 ，则 故【解析】实数 的取值范围是 ， 考点二、二次函数的零点分布考点二、二次函数的零点分布 【例2】已知函数f(x)x22mx2m1的零点都在区间(0,1)上，求实数m的取值范围 222210,12210,1012120110(0)01(1)02112,21(,122f xxmxmf xxmxmxmmmmfmfmm 函数 的零点都在区间上，即函数 的图象与 轴的交点都在上，根据图象列出不等或式组，解得，所以所以实数 的取值范围是 【】解析 二次函数的零点分布也即二次方程实根分布，若两个零点分布在同一区间，则其充要条件包含三个方面，即判别式大于等于0、对称轴在该区间上、区间端点的函数值的符号(根据图象判断)；若两个零点分布在两个不同区间，则其充要条件包含一个方面，即区间端点的函数值的符号(根据图象判断) 【练习2】已知函数f(x)x22mx2m1的在区间(1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围 22221( 1,0)1,2221( 1,0)1,2120102102514206265051,6251()62f xxmxmf xxmxmxfmfmfmmfmmm 函数 的零点分别在区间和上，即函数 的图象与 轴的交点一个在 上，一个在上，根据图象列出不等式组,解得，所以所以实数 的取值范围是 ，【解析】考点三、二次函数在动区间上的最值考点三、二次函数在动区间上的最值 【例3】函数f(x)x24x1在区间t，t1(tR)上的最大值记为g(t)(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值 【解析】(1)对区间t，t1(tR)与对称轴x2的位置关系进行讨论：当t12，即t1时，函数f(x)在区间t，t1上递增，此时g(t)f(t1)t22t2；当t2t1，即1t2时，函数f(x)在区间t，t1上先增后减，此时g(t)f(2)3； 222214122(1)3(12)241(2)3.tf xttg tf ttttttg tttttg t 当时，函数在区间 ， 上递减，此时 ，综上，利用图象解得的最大值是 定二次函数在动区间上的最值，一般是对区间与对称轴的位置关系进行讨论，讨论要按照顺序，不重复，不遗漏 【练习3】已知函数f(x)x26x8，x1，a的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是_【解析】利用函数f(x)x26x8，x1，a的图象，知实数a的取值范围是(1,3 (1,3 考点四、动二次函数在定区间上的最值考点四、动二次函数在定区间上的最值 【例4】已知f(x)(43a)x22xa(aR)，求f(x)在0,1上的最大值 maxmax4430342.30,140.34430341( )43003430,10.12aaf xxf xf xfaaaaxaf xf xfa若 ，则 ，所以 由于在上是减函数，所以若 ，即，分两种情况讨论：若 ，即，因为对称轴 ，所以在上是减函数，所以【】解析 maxmax41( )4300343112043231221124 0.243330,1222 ()32()3aaxaaaf xfaaf xfaaf xa aag aa a若 ，即，因为对称轴 ，故又分两种情况讨论：当，即时， ；当，即时，综上所述，在上的最大值是关于 的函数 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类：定区间，定轴；定区间，动轴，本题是这一类；动区间，动轴要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0.【练习4】已知二次函数f(x)x22ax1a在区间0,1上有最大值为2，求实数a的值【解析】根据对称轴xa与区间0,1的关系讨论：当a1时，f(x)maxf(1)a2，所以实数a的值是1或2. 考点五、二次函数综合应用考点五、二次函数综合应用 【例5】二次函数f(x)4x22(p2)xp5在区间1,1上至少存在实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围 【解析】只需函数f(x)的图象从1,1上穿过(或f(x)0(1x1)恒成立)，等价条件是f(1)0或f(1)0.因为f(1)42(p2)p5p50，或f(1)42p4p533p0，所以p(，1)(5，) 本题考查二次函数及其图象的综合分析能力，解答中，表面上看，只研究了函数图象从1,1上穿过，并没有讨论图象与x轴无交点的情况事实上，函数图象若与x轴无交点，由于图象开口向上，所以在1,1上每一点c都有f(c)0.本题可用间接法求解，若在1,1上不存在c使f(c)0，则在1,1上所有的点x，使f(x)0， ( 1)0330(1)05015.(1)(5)0 1,1fpfpppf x于是只需考察，即，得故满足条件的 的取值范围是 ，本题容易出现分析上的偏差，认为方程 在上有一根或两根，再根据根的分布去做，注意理解清楚这两种不同的问题【练习5】若函数f(x)(m2)x24mx2m6的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围 1,2,121222821(0)4200402260,2164(2)(26)012mf xxxmf xxxxxmxxmmx xmmmm 【解若 ，则 ，它的图象与 轴的交点是 ，符合要求若，用间接法：当的图象与 轴的非负半轴有两个交点、或与 轴无交时析点，有】 236164(2)(26)061.13.1,3mmmmmmf xxmmm解得或 ；或 ，得综上，得的图象与 轴的负半轴无交点，则或于是符合条件的实数 的取值范围是3.设x1，x2是关于x的方程x22axa60的两个实数解，则xx的最小值是 _8 22222121212222212(2 )4(6)4(6)023.()214922(6)4()4428.aaaaaaxxxxx xaaaaxx因为 ，解得 或所以 ，所以当 时， 的最小【】值为解析 1二次函数性质的应用二次函数性质的应用 若二次函数的二次项系数含有参数若二次函数的二次项系数含有参数a，则必须分则必须分a0，a0进行第一层次的分类讨进行第一层次的分类讨论，以对称轴的不同位置进行第二层次的论，以对称轴的不同位置进行第二层次的分类讨论对称轴与区间的关系有三种类分类讨论对称轴与区间的关系有三种类型，即对称轴变动，区间固定；对称轴固型，即对称轴变动，区间固定；对称轴固定，区间变动；对称轴与区间都未固定，区间变动；对称轴与区间都未固定要根据具体情况分别对待定要根据具体情况分别对待 二次函数方法总结二次函数方法总结 2二次函数的零点分布也即二次方二次函数的零点分布也即二次方程实根分布，若两个零点分布在同一区程实根分布，若两个零点分布在同一区间，则其充要条件包含三个方面，即判间，则其充要条件包含三个方面，即判别式大于等于别式大于等于0、对称轴在该区间上、区、对称轴在该区间上、区间端点的函数值的符号间端点的函数值的符号(根据图象判断根据图象判断)；若两个零点分布在两个不同区间，则其若两个零点分布在两个不同区间，则其充要条件包含一个方面，即区间端点的充要条件包含一个方面，即区间端点的函数值的符号函数值的符号(根据图象判断根据图象判断)二次函数方法总结二次函数方法总结