【创新设计】2011届高三数学一轮复习 7-7空间向量的应用课件 理 苏教版.ppt

第第7 7课时空间向量的应用课时空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量理解直线的方向向量与平面的法向量/能用向量语言表述直线与直线、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系/能用向量方法证明有关直能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理包括三垂线定理)/能用向量方法解决直能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题/了解向量方法在了解向量方法在研究几何问题中的作用研究几何问题中的作用【命题预测】【命题预测】 1空间向量的共线定理常常用来证明线线平行，在高考中使用向量法证明线线空间向量的共线定理常常用来证明线线平行，在高考中使用向量法证明线线平行是近几年的热点平行是近几年的热点2空间向量的共面定理常常用来证明点共面，在高考中使用向量法证明点共面空间向量的共面定理常常用来证明点共面，在高考中使用向量法证明点共面也是近几年的热点解法也是近几年的热点解法3建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出题中要求的向量，来证明线线的建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出题中要求的向量，来证明线线的平行、线线的垂直、线面的平行、线面的垂直，是近几年高考题中考生最为平行、线线的垂直、线面的平行、线面的垂直，是近几年高考题中考生最为关注的解题思想关注的解题思想4直线的方向向量、平面的法向量是利用向量法解题的中间环节，因此对其求直线的方向向量、平面的法向量是利用向量法解题的中间环节，因此对其求解问题的方法和技巧一定要掌握解问题的方法和技巧一定要掌握【应试对策】【应试对策】 1对异面直线所成的角，要注意：对异面直线所成的角，要注意：深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的其所渗透的“ “空间向平面转化空间向平面转化” ”的思想；的思想；异面直线所成角的范围为异面直线所成角的范围为0 90 ；解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；定理或线面垂直来完成；应熟练掌握应熟练掌握“ “平移平移” ”这个解法，平移的途径有取中这个解法，平移的途径有取中点、作平行线、补体点、作平行线、补体(形形)等；等；理科学生应会用反三角函数表示异面直线所理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角成的角2对于直线和平面所成的角，应分线在面内或线与面平行、线与面垂直、线与对于直线和平面所成的角，应分线在面内或线与面平行、线与面垂直、线与面斜交这三种情况，同时要注意线面角的范围是面斜交这三种情况，同时要注意线面角的范围是 .3向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化其段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化其步骤主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算步骤主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算4计算空间距离时要熟练进行各距离间的相互转化，以点线距离、点面距离为计算空间距离时要熟练进行各距离间的相互转化，以点线距离、点面距离为主，在计算前关键是确定垂足，作出辅助图形，再应用解三角形知识主，在计算前关键是确定垂足，作出辅助图形，再应用解三角形知识【知识拓展】【知识拓展】 立体几何综合问题的向量法处理立体几何综合问题的向量法处理(1)常用方法和规律常用方法和规律利用向量坐标解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问题，关键是建利用向量坐标解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问题，关键是建立正确的空间直角坐标系，难点是正确表达已知点的坐标立正确的空间直角坐标系，难点是正确表达已知点的坐标在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形中的有关问题可用向量表示，利用空间内向图形中的点的坐标求出来，那么图形中的有关问题可用向量表示，利用空间内向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象对空间任意一点对空间任意一点A求其坐标的一般方法，过点求其坐标的一般方法，过点A作作z轴的平行线交平面轴的平行线交平面xOy于点于点B，过点过点B分别作分别作x、y轴的平行线，分别交轴的平行线，分别交y、x轴于轴于C、D，则由，则由 的长度和方向便可求得点的长度和方向便可求得点A的坐标的坐标用用空间向量解决立体几何问题空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：一般可按以下过程进行思考：a要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？b所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？c所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？d怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？(2)常用工具常用工具如如图图1，若平面，若平面的法向量为的法向量为n，则直线，则直线AB与与所成角的大小为：所成角的大小为： 如图如图2，点，点A到平面到平面的距离等于的距离等于的斜线段的斜线段AB在在的法向量的法向量n上的正射影长，即上的正射影长，即d|A1B1| a、b为为异面直线，如图异面直线，如图3，若，若b，a，n为为的法向量，的法向量，A1、B1分别为分别为a、b上两点在上两点在n上的正射影，则上的正射影，则a、b的距离的距离d|A1B1| 如图如图4，设二面角，设二面角l的两个半平面的两个半平面和和的法向量分别为的法向量分别为m、n，设二面角，设二面角l的大小为的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补当二面，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补当二面角为锐角时，角为锐角时，arccos 当二面角为钝角时，当二面角为钝角时，arccos 1直线的方向向量直线的方向向量直直线线l上的向量上的向量e(e0)以及与以及与e共线的非零向量叫做直线共线的非零向量叫做直线l的的 向量向量2平面的法向量平面的法向量如果如果表示非零向量表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量，那么称向量 n 平面平面，记作，记作n，此时，我们把向量，此时，我们把向量n叫做平面叫做平面的的 3三垂线定理三垂线定理在在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直垂直，那么它也和这条斜线垂直方向方向垂直于垂直于法向量法向量1正正方体方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为a，点，点M分分 的比为的比为 ，N为为BB1的中点，的中点，则则|MN|为为_解析：解析：以以D为原点，为原点， 所在直线分别为所在直线分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立空间直轴建立空间直角坐标系，则角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)， .又又M分分 的比为的比为 ， 答案：答案： 2已已知直线知直线l1的方向向量的方向向量a(2,4，x)，直线，直线l2的方向向量的方向向量b(2，y,2)，若，若|a|6，且且ab，则，则xy的值是的值是_解析：解析：依题意，得依题意，得 解得解得 xy1或或3.答案：答案：1或或33若若直线直线l的方向向量为的方向向量为a(1,0,2)，平面，平面的法向量为的法向量为u(2,0，4)，则，则l与与的位置关系是的位置关系是_解析：解析：u2a，则直线，则直线l与平面与平面的法向量平行，故的法向量平行，故l.答案：答案：l4若若直线直线l的一个方向向量的一个方向向量a(1,0,2)，平面，平面的一个法向量为的一个法向量为n(3,0,4)，则则l与与所成角的正弦值为所成角的正弦值为_解析：解析：所求角的正弦值为所求角的正弦值为 答案：答案：5已知已知二面角二面角l中，其平面角为锐角，面中，其平面角为锐角，面的一个法向量为的一个法向量为(2，2,1)，面，面的一个法向量为的一个法向量为(1,1,1)，则二面角的平面角的余弦值，则二面角的平面角的余弦值为为_解析：解析：所求余弦值为所求余弦值为 答案：答案：利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直与平面的平行和垂直(1)设直线设直线l1的方向向量为的方向向量为u1(a1，b1，c1)，直线，直线l2的方向向量为的方向向量为u2(a2，b2，c2)，则，则l1l2u1u2(a1，b1，c1)k k(a2，b2，c2)(k kR)；l1l2u1u2a1a2b1b2c1c20.(2)设设直直线线l的方向向量的方向向量为为u(a1，b1，c1)，平面，平面的法向量的法向量为为n(a2，b2，c2)，则则luna1a2b1b2c1c20；lun(a1，b1，c1)k k(a2，b2，c2)(k kR)(3)设设平面平面的法向量的法向量为为n1(a1，b1，c1)，平面，平面的法向量的法向量为为n2(a2，b2，c2)，则则n1n2(a1，b1，c1)k k(a2，b2，c2)(kR)；n1n2a1a2b1b2c1c20.【例【例1】 (江苏启东中学高三质量检测江苏启东中学高三质量检测)如如图所示，在四棱锥图所示，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为正方形，为正方形，PD平面平面ABCD，且，且PDABa，E是是PB的中点的中点(1)在平面在平面PAD内求一点内求一点F，使得，使得EF平面平面PBC；(2)求二面角求二面角FPCE的余弦值大小的余弦值大小思路点拨：思路点拨：建立适当的空间直角坐标系，利用向量求解建立适当的空间直角坐标系，利用向量求解解：解：由由题意可知直线题意可知直线PD、DC、DA两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系则系则B(a，a,0)，C(0，a,0)，P(0,0，a)， (1)设平面设平面PAD内一点内一点F的坐标为的坐标为(x,0，z)，则，则 ，又又 (a,0,0)， (a，a，a)，要使，要使EF平面平面PBC，需，需 即即 解之得解之得 ，F为为AD的中点的中点(2)由由(1)可知：可知： 为平面为平面PCE的一个法向量，设平面的一个法向量，设平面FPC的法向量为的法向量为n(p，q，r)，则则 取取ra，得，得qa，p2a，即，即n(2a，a，a)则则 变式变式1：(南京市高三期末调研南京市高三期末调研)如如图所示，图所示，PD垂直于正方形垂直于正方形ABCD所在的平面，所在的平面，AB2，PDm，记二面角，记二面角DPBC的大小为的大小为.若若60，求，求m的取值范围的取值范围解：解：因为因为PD平面平面ABCD，DADC，所以分别以，所以分别以DA，DC，DP所在直线为所在直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立空间直角坐标系，连接轴建立空间直角坐标系，连接AC，因为，因为ABCD是边长为是边长为2的正方形，因为的正方形，因为PDm，所以，所以A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，m)，因为因为PDAC，BDAC，所以，所以AC平面平面PBD.所以所以 (2,2,0)为平面为平面PBD的一个法向量的一个法向量 (2,0,0)， (0,2，m)，设平面设平面PBC的法向量为的法向量为n(a，b，c)，则由则由 得，得， 所以所以即即 不妨取不妨取c2，则，则bm，向量，向量n(0，m,2)是平面是平面PBC的一个法向量的一个法向量因为二面角因为二面角DPBC的大小为的大小为，所以所以|cos | 因为因为 .所以所以，所以，所以m2，即即m的取值范围是的取值范围是(2，)(1)求求两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角设设a，b分别是两异面直线分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则的方向向量，则l1与与l2的夹角的夹角满足满足cos (2)求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a，平面，平面的法向量为的法向量为n，直线，直线l与平面与平面所成的角为所成的角为，则则sin (3)求求二面角的大小二面角的大小若若 分别是二面角分别是二面角l的两个面内与棱的两个面内与棱l垂直的异面直线，垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量则二面角的大小就是向量AB与与CD的夹角的夹角(如图如图)设设n1，n2分别是二面角分别是二面角l的两个面的两个面，的法向量，则向量的法向量，则向量n1与与n2的夹角的夹角(或其补角或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小的大小就是二面角的平面角的大小(如图如图)【例【例2】 (盐城市高三调研盐城市高三调研)如如图所示，在三棱锥图所示，在三棱锥PABC中，中，PA平面平面ABC，PA1，ABAC，AB2，AC2，E为为AC中点中点(1)求异面直线求异面直线BE与与PC所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)求二面角求二面角PBEC的平面角的余弦值的平面角的余弦值思路点拨：思路点拨：建立适当的空间直角坐标系，把求余弦值转化成向量坐标的运算建立适当的空间直角坐标系，把求余弦值转化成向量坐标的运算解：解：(1)以以A为原点，为原点，AB、AC、AP所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角轴建立空间直角坐标系坐标系Axyz，则则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,0)，P(0,0,1)，所以所以 (2,1,0)， (0,2，1)， 故异面直线故异面直线BE与与PC所成角的余弦值为所成角的余弦值为 (2)作作PMBE交交BE(或或 延延 长线长线)于于M，作，作CNBE交交BE(或或 延延 长线长线)于于N，则存在实数则存在实数m、n，使得，使得 即即 (2m,1m，1)， (2n，n1,0)因为因为 所以所以 15m0， 5n10，解得，解得 所以所以 所以所以即为所求二面角的平面角的余弦值即为所求二面角的平面角的余弦值变式变式2：(苏锡常镇四市高三教学情况调查苏锡常镇四市高三教学情况调查)如如图所示，建立空间直角坐标系图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，BC2，点，点O是是BC的中点，点的中点，点A的坐标为的坐标为 ，点，点D在平面在平面yOz上，且上，且BDC90，DCB30.(1)求向量求向量 的坐标；的坐标；(2)若若P为线段为线段CD上的一点，且上的一点，且PC2DP，求二面角，求二面角DABP的余弦值的余弦值解：解：(1)BDC90，BC2，DCB30，BD1，OC1，BCD的的边边BC上的高为上的高为 D点的坐标为点的坐标为 ，C(0,1,0)， (2)B(0，1,0)， 设平面设平面ABD的法向量为的法向量为n(x，y，z)，则，则 令令x3，则，则 PC2DP， 设平面设平面ABP的法向量为的法向量为m(x，y，z)，则，则 令令x ，则，则y1，z ，m( ，1， )，设二面角设二面角DABP的平面角大小为的平面角大小为，cos 由题意知，由题意知，为锐角，为锐角，二面角二面角DABP的余弦值为的余弦值为 1用向量方法证明平行、垂直问题的步骤：用向量方法证明平行、垂直问题的步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建可以建立空间直角坐标系，也可以不建系系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题根据运算结果解释相关问题2求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确3找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或求出法向量利用已知公式求出的垂线，或求出法向量利用已知公式求出4求二面角的法向量法；利用两个平面法向量夹角去求二面角大小，要注意区求二面角的法向量法；利用两个平面法向量夹角去求二面角大小，要注意区别与联系别与联系. 【规律方法总结】【规律方法总结】 【例【例3】 (2009宁夏、海南卷宁夏、海南卷)如如图所示，四棱锥图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱为侧棱SD上的点上的点(1)求证：求证：ACSD；(2)若若SD平面平面PAC，求二面角，求二面角PACD的大小；的大小；(3)在在(2)的条件下，侧棱的条件下，侧棱SC上是否存在一点上是否存在一点E，使得使得BE平面平面PAC.若存在，求若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由的值；若不存在，试说明理由【高考真题高考真题】分析：分析：对于第对于第(1)问，根据这个四棱锥的特点只要连接底面对角线问，根据这个四棱锥的特点只要连接底面对角线BD，交，交AC于点于点O，再连接，再连接SO，就出现了一系列的垂线，证明，就出现了一系列的垂线，证明AC，SD中的一条直线垂直于另一中的一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可；对于第条直线所在的平面即可；对于第(2)题，很显然，题，很显然，PAC，DAC都是以都是以AC为底为底边的等腰三角形，连接边的等腰三角形，连接PO，DO就得到了所求二面角的平面角，在就得到了所求二面角的平面角，在RtPOD中求中求解解POD即可；对于第即可；对于第(3)问，根据第问，根据第(2)问找到点问找到点E的位置，通过寻找平行线解的位置，通过寻找平行线解决本题也可以在建立空间直角坐标系后，通过向量的方法解决决本题也可以在建立空间直角坐标系后，通过向量的方法解决规范解答：解法一：规范解答：解法一：(1)如如图所示，连接图所示，连接BD，设，设AC交交BD于于O，由题意知，由题意知SOAC.在正方形在正方形ABCD中，中，ACBD，所以，所以AC平面平面SBD，又，又SD平面平面SBD，所以，所以ACSD.(2)设正方形的边长为设正方形的边长为a，则，则SD 又又OD ，所以，所以SDO60.连接连接OP，由由(1)知知AC平面平面SBD，所以，所以ACOP，且，且ACOD，所以所以POD是二面角是二面角PACD的平面角的平面角由由SD平面平面PAC，知，知SDOP，所以，所以POD30.即二面角即二面角PACD的大小为的大小为30.(3)在在棱棱SC上存在一点上存在一点E，使，使BE平面平面PAC.由由(2)可得可得PD ，故可在，故可在SP上取一点上取一点N，使，使PNPD.过过N作作PC的平行线与的平行线与SC的交点即为的交点即为E.连接连接BN.在在BDN中，由分析可知中，由分析可知BNPO.又由于又由于NEPC，故平，故平面面BEN平面平面PAC，得，得BE平面平面PAC.由于由于SN NP2 1，故，故SE EC2 1. 解法二：解法二：(1)连连接接BD，设，设AC交交BD于于O，由题意知，由题意知SO平面平面ABCD.以以O为坐标原点，为坐标原点， 分别为分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向，轴的正方向，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，如图所示设底面边长为设底面边长为a，则高，则高SO 于是于是 因为因为 故故OCSD.从而从而ACSD.(2)由题设知，平面由题设知，平面PAC的一个法向量的一个法向量 ，平面，平面DAC的一个的一个法向量法向量 .设所求二面角为设所求二面角为，则，则 故所求二面角的大小为故所求二面角的大小为30.(3)在在棱棱SC上存在一点上存在一点E使使BE平面平面PAC.由由(2)知知 是平面是平面PAC的一个法向量，的一个法向量，且且 设设 则则 而而 即当即当SE EC2 1时，时， 而而BE不在平面不在平面PAC内，故内，故BE平面平面PAC., 【命题探究】【命题探究】本题是以正四棱锥为载体，考查线线垂直的证明、二面角的求解及本题是以正四棱锥为载体，考查线线垂直的证明、二面角的求解及线面平行的一个探索性问题，试题的前两问属于立体几何最基本的证明与计算，线面平行的一个探索性问题，试题的前两问属于立体几何最基本的证明与计算，试题的核心部分是第试题的核心部分是第(3)问，探索性问题本身就是一个考生不容易解决的问题，问，探索性问题本身就是一个考生不容易解决的问题，本题又是在需要较高的空间想象能力和逻辑推理能力的立体几何中，难度是比较本题又是在需要较高的空间想象能力和逻辑推理能力的立体几何中，难度是比较大的，但解答问题的基本思路是明确的，一个思路就是通过两个平面的平行解决大的，但解答问题的基本思路是明确的，一个思路就是通过两个平面的平行解决线面平行，一个是通过向量的方法解决本题入手容易，但最后完整解答就需要线面平行，一个是通过向量的方法解决本题入手容易，但最后完整解答就需要考生具有一定的分析问题、解决问题的能力，是一道具有较好区分度的试题考生具有一定的分析问题、解决问题的能力，是一道具有较好区分度的试题【全解密全解密】【方法探究】【方法探究】 解决探索性问题的基本思路解决探索性问题的基本思路解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路：一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，就说明其不出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，就说明其不存在如本题解法一就是直接寻找满足要求的点存在如本题解法一就是直接寻找满足要求的点E，解法二实际上就是先假设了，解法二实际上就是先假设了其存在，通过计算得到了一个合理的结果，就说明了点其存在，通过计算得到了一个合理的结果，就说明了点E的存在性以及点的存在性以及点E的确的确切位置切位置【技巧点拨】【技巧点拨】 利用向量的线性运算证明立体几何的相关问题利用向量的线性运算证明立体几何的相关问题(1)要用向量表示相关的量；要用向量表示相关的量；(2)根据证明的需要对向量进行运算，运算可以结合根据证明的需要对向量进行运算，运算可以结合实际图形，以图形为指导是解题的关键；实际图形，以图形为指导是解题的关键；(3)要注意利用空间向量解决立体几何要注意利用空间向量解决立体几何中各种问题的方法，如证明线线垂直，可以证其向量的数量积为零；如证明四点中各种问题的方法，如证明线线垂直，可以证其向量的数量积为零；如证明四点共面，可以证从同一点出发的三个向量共面；如求线线夹角，可以利用其向量的共面，可以证从同一点出发的三个向量共面；如求线线夹角，可以利用其向量的数量积数量积(向量夹角公式向量夹角公式)；如求两点间的距离，可以求两点向量的模等；如求两点间的距离，可以求两点向量的模等【发散思维】【发散思维】 本题第本题第(1)问可以在不建立空间直角坐标系的情况下用基向量的方法问可以在不建立空间直角坐标系的情况下用基向量的方法证明：设四棱锥的底面边长为证明：设四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为，则侧棱长为 cosSDAcosSDC ，设，设DCa， 则则 ab，故，故 (ab)cacbc0，故故ACSD.本题第本题第(3)问的规范解析中是用直线问的规范解析中是用直线BE与平面与平面PAC的法向量互相垂直解的法向量互相垂直解答的，还可以根据空间向量有关定理解答，基本思路是：如果在侧棱答的，还可以根据空间向量有关定理解答，基本思路是：如果在侧棱SC上存在点上存在点E使使BE平面平面PAC，根据共面向量定理，一定存在一组有序实数，根据共面向量定理，一定存在一组有序实数，使得，使得 由于点由于点E在棱在棱SC上，根据共面向量定理有上，根据共面向量定理有 (0t1)，即，即 ，只要把各个向量的坐标代入，根据空间，只要把各个向量的坐标代入，根据空间向量基本定理中有序实数组的唯一性，就得到了一个含有三个未知数的方程组，如向量基本定理中有序实数组的唯一性，就得到了一个含有三个未知数的方程组，如果这个方程组有解，就说明存在点果这个方程组有解，就说明存在点E，根据求出的，根据求出的t值也知道了点值也知道了点E的位置，如果方的位置，如果方程组无解或是解不合理程组无解或是解不合理(如解得如解得t2)，就说明点，就说明点E不存在不存在.1如如图，在长方体图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知中，已知AB4，AD3，AA12.E，F分分别是线段别是线段AB，BC上的点，且上的点，且EBBF1.求直线求直线 所成的角的余弦所成的角的余弦值值分析：分析：本题宜建立空间直角坐标系，把本题宜建立空间直角坐标系，把EC1与与FD1所成角看做向量所成角看做向量EC与与FD1的的夹角或其补角，用向量法来求解夹角或其补角，用向量法来求解解：解：以以A为原点，为原点， 分别为分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正向建立空间直角轴的正向建立空间直角坐标系，则有坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是，于是 (1,3,2)， (4,2,2)设设EC1与与FD1所成的角为所成的角为，则，则 直线直线EC1与与FD1所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为 2.如如图，在棱长为图，在棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P是侧棱是侧棱CC1上的一上的一点，点，CPm.试确定试确定m，使得直线，使得直线AP与平面与平面BDD1B1所成角的正切值为所成角的正切值为 分析：分析：先根据题意建立空间直角坐标系，求出平面先根据题意建立空间直角坐标系，求出平面BB1D1D的一个法向的一个法向量，再利用公式即可求出其解量，再利用公式即可求出其解解：解：建建立如图所示的空间直角坐标系，立如图所示的空间直角坐标系，则则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)所以所以 (1，1,0)， (0,0,1)， (1,1，m)， (1,1,0)又由又由 0， 0知知 为平面为平面BB1D1D的一个法向量的一个法向量设设AP与平面与平面BB1D1D所成的角为所成的角为，则则 依题意有依题意有 解得解得m .故当故当m 时，直线时，直线AP与平面与平面BB1D1D所成的角的正切值为所成的角的正切值为 点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册