【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第5知识块第5讲数列的综合应用课件 北师大版.ppt

【考纲下载考纲下载】能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题并能用相关知识解决相应的问题.第第5 5讲讲 数列的综合应用数列的综合应用1数列应用问题的常见模型数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加等差模型：一般地，如果增加(或减少或减少)的量有一个固定的具体量时，该模的量有一个固定的具体量时，该模 型是等差模型，增加型是等差模型，增加(或减少或减少)的量就是公差，其一般形式是：的量就是公差，其一般形式是：an1and(常常数数) (2)等比模型：一般地，如果增加等比模型：一般地，如果增加(或减少或减少)的百分比是一个固定的数时，该模型的百分比是一个固定的数时，该模型是是 等比模型等比模型 (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少或减少)，同时又以一个固定的具体量增加同时又以一个固定的具体量增加(或减少或减少)时，我们称该模型为生长时，我们称该模型为生长模型如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等模型如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项与它的前一项an1(或前或前几项几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推关系的知识求解问题间的递推关系式，那么我们可以用递推关系的知识求解问题2数列与其他分支的知识的综合应用数列与其他分支的知识的综合应用 (1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何、极限等知识的主要为数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何、极限等知识的 综合综合 (2)解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支 内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分 解成若干个小题或解成若干个小题或“步骤步骤”，使它们成为在各自分支中的基本问题；最，使它们成为在各自分支中的基本问题；最 后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论1(2009四川卷四川卷)等差数列等差数列an的公差不为零，首项的公差不为零，首项a11，a2是是a1和和a5 的等比中项，则数列的等比中项，则数列an的前的前10项之和是项之和是() A90 B100 C145 D190 解析：解析： a1a5，(a1d)2a1(a14d) d22a1d，而，而d0，d2a12. S10101 2100. 答案：答案：B2(2009江西卷江西卷)公差不为零的等差数列公差不为零的等差数列an的前的前n项和为项和为Sn.若若a4是是a3与与a7的等比的等比 中项，中项，S832，则，则S10等于等于() A18 B24 C60 D90解析：解析：由题意可知由题意可知S1010(3) 260.答案：答案：C3黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案，则黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案，则 第第n个图案中有白色地面砖的块数是个图案中有白色地面砖的块数是()A4n2 B4n2 C2n4 D3n3解析：解析：白色地面砖的块数为等差数列，首项为白色地面砖的块数为等差数列，首项为6，公差为，公差为4，即得通项为，即得通项为 4n2.答案：答案：A4一张厚度为一张厚度为0.1 mm的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共 折叠折叠20次次(假定这样的折叠是可以完成的假定这样的折叠是可以完成的)，这样折叠后纸的总厚度，这样折叠后纸的总厚度h1与一座塔的高度与一座塔的高度h2100 m的大小关系为的大小关系为h1_h2. 解析：解析：设厚度构成数列设厚度构成数列an，则，则a10.1，a20.2，a30.4，a21 0.1220，即，即an为公比为为公比为2的等比数列而的等比数列而2201 000 000，h1h2. 答案：答案：对于同一个数列，某些项在一定的条件下可以成为等比数列，另一些项在特定对于同一个数列，某些项在一定的条件下可以成为等比数列，另一些项在特定条件下也可以成为等差数列，寻找这个数列项之间的关系是解题的关键条件下也可以成为等差数列，寻找这个数列项之间的关系是解题的关键 【例例1】 设设an是公比大于是公比大于1的等比数列，的等比数列，Sn为数列为数列an的前的前n项和已知项和已知S3 7，且，且a13,3a2，a34构成等差数列构成等差数列 (1)求数列求数列an的通项；的通项； (2)令令bnln a3n1，n1,2，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn. 思维点拨：思维点拨：设出等比数列，从等差数列建立方程，再判定设出等比数列，从等差数列建立方程，再判定bn的特征的特征解：解：(1)由已知得由已知得解得解得a22.设数列设数列an的公比为的公比为q，由，由a22， 可得可得a1 ， a32q， 又又S37，可知，可知 22q7，即即2q25q20.解得解得q12，q2由题意得由题意得q1，q2.a11.故数列故数列an的通项为的通项为an2n1(nN*) (2)由于由于bnln a3n1，n1,2， 由由(1)得得a3n123n，bnln 23n3nln 2， 又又bn1bn3ln 2，bn是等差数列是等差数列 Tnb1b2bn故故Tn ln 2，n1,2，. 变式变式1：设设an是等差数列，是等差数列，bn是各项为正数的等是各项为正数的等比数列，比数列， 且且a1b11，a3b521，a5b313. 求求an，bn的通项公式的通项公式解：解：设设an的公差为的公差为d，bn的公比为的公比为q，依题意有依题意有q0且且解得解得d2，q2，an1(n1)d2n1，bnqn12n1. 【例例2】 在一次人才招聘会上，有在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：两家公司分别开出它们的工资标准：A公公 司司 许诺第一年月工资数为许诺第一年月工资数为1 500元元 ，以后每年月工资比上一年月工资增加，以后每年月工资比上一年月工资增加230 元；元；B公司许诺第一年月工资数为公司许诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月元，以后每年月工资在上一年的月 工资基础上递增工资基础上递增5%，设某人年初被，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：两家公司同时录取，试问： (1)若该人分别在若该人分别在A公司或公司或B公司连续工作公司连续工作n年，则他在第年，则他在第n年的月工资收入分年的月工资收入分 别是多少？别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准聘的标准(不计其他因素不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？，该人应该选择哪家公司，为什么？(3)在在A公司工作比在公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确精确到到1元元)？并说明理由？并说明理由解：解：(1)此人在此人在A，B公司第公司第n年的月工资数分别为年的月工资数分别为：an1 500230(n1)(nN*)bn2 000(15%)n1(nN*)(2)若该人在若该人在A A公司连续工作公司连续工作10年年，则他的工资收入总量为则他的工资收入总量为12(a1a2a10)304 200(元元)，若该人在若该人在B公司连续工作公司连续工作10年年，则他的工资收入总量为则他的工资收入总量为12(b1b2b10)301 869(元元)，因为在因为在A公司收入公司收入的总量高些，因此该人应该选择的总量高些，因此该人应该选择A公司公司(3)问题等价于求问题等价于求cnanbn1 270230n2 0001.05n1(nN*)的最大值的最大值当当n2时，时，cncn12301001.05n2，当当cncn10，即，即2301001.05n20时，时，105n22.3，得，得n19.1，因此，当，因此，当2n19时，时，cn1cn；于是，当于是，当n20时，时，cn (n1) 思维点拨：思维点拨：(1)利用已知条件求利用已知条件求a1和和d； (2)由由(1)求出求出bn，再求，再求Tn，然后证明，然后证明2Tn9bn1184与与 4.(1)解：解：a1，a2，a7成等比数列，成等比数列，即即(a1d)2a1(a16d)，又又a11，d0，d4.Snna1 dn2n(n1)2n2n.(2)证明：证明：由由(1)知知bnbn是首项为是首项为2，公差为，公差为2的等差数列，的等差数列，Tnn2n，2Tn9bn1182n22n18(n1)182n216n362(n28n16)42(n4)244，当且仅当，当且仅当n4时取等时取等号号当且仅当当且仅当n ，即，即n3时取等号时取等号又又中等号不能同时取到，中等号不能同时取到，2Tn9bn118 (n1). 【方法规律方法规律】1深刻理解等差深刻理解等差(比比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键两类数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键两类数列性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆同时，用好数列性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错性质也会降低解题的运算量，从而减少差错2等比数列的前等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于和公比不等于1.最容易最容易忽视公比等于忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习的情况，要注意这方面的练习3在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组组)求解，在解方程求解，在解方程(组组)时，仔细体会两种情形中解方程时，仔细体会两种情形中解方程(组组)的方法的不同之处的方法的不同之处4数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：用的数学思想方法有：“函数与方程函数与方程”、“数形结合数形结合”、“分类讨论分类讨论”、“等价转换等价转换”等等5在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题象出数学模型，并用它解决实际问题.已知正项数列已知正项数列an满足满足SnSn1ta 2(n2，t0)，a11，其中其中Sn是数列是数列an的前的前n项和项和(1)求求a2及通项及通项an；(2)记数列记数列 的前的前n项和为项和为Tn，若，若Tn2对所有的对所有的nN*都成立都成立求证求证：0t1.【规范解答规范解答】解：解：(1)由由a11，S2S1ta 2，得得a20(舍去舍去)或或a2又又SnSn1ta 2，Sn1Sn2ta 2(n3)，得得anan1t(a 即即(anan1)1t(anan1)0，数列数列an为正项数列，为正项数列，anan1 (n3)，即数列即数列an从第二项开始是公差为从第二项开始是公差为 的等差数列的等差数列tt22成立，故成立，故0t1得证得证(2)证明：证明：T1t2；当；当n2时，时，Tnt要使要使Tn2对所有的对所有的nN*恒成立，只要恒成立，只要Tntt2 【易入误区易入误区】(1)在转化递推关系时，忽视各项为正这一条件，得出多解或错解在转化递推关系时，忽视各项为正这一条件，得出多解或错解a20；(2)在求在求an时，因思路混乱，可能导致计算繁杂或转化方向不明确而出现错解；时，因思路混乱，可能导致计算繁杂或转化方向不明确而出现错解；(3)不注意不注意n的的取值范围，在得出取值范围，在得出anan1 后，错误得出后，错误得出an ；(4)在证第在证第(2)问时，放缩问时，放缩不当，出现错误的推理过程不当，出现错误的推理过程【状元笔记状元笔记】本题是递推关系型数列的综合问题，在求解这类题的过程中，注意题中各限制本题是递推关系型数列的综合问题，在求解这类题的过程中，注意题中各限制条件的作用，如本题中的正项数列，条件的作用，如本题中的正项数列，t0等条件在解题中的应用。对递推关系等条件在解题中的应用。对递推关系式进行适当的转化是解决此类问题的关键，如在处理本题第式进行适当的转化是解决此类问题的关键，如在处理本题第(1)问时，将前后两问时，将前后两个递推关系式相减后因式分解的变形过程是解题的切入点。在与不等式有关的个递推关系式相减后因式分解的变形过程是解题的切入点。在与不等式有关的证明中应注意放缩法的正确应用证明中应注意放缩法的正确应用.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册