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地球物理反演理论地球物理反演理论一、解释下列概念1. 分辨矩阵数据分辨矩阵描述了使用估计的模型参数得到的数据预测值与数据观测值的拟合程度，可以表示为 d pre = Gmest = GG- g d obs = GG - g d obs = Nd obs ，其中，方阵 N = GG - g 称为数据分辨矩阵。它不是数据的函数, 而仅仅是数据核 G（它体现了模型及实验的几何特征）以及对问题所施加的任何先验信息的函数。模型分辨矩阵是数据核和对问题所附加的先验信息的函数，与数据的真实值无关，可以表示为mest = G- g d obs = G- g (Gmtrue ) = (G- g G)mture = Rmture ，其中R 称为模型分辨矩阵。2. 协方差模型参数的协方差取决于数据的协方差以及由数据误差映射成模型参数误 差的方式。其映射只是数据核和其广义逆的函数, 而与数据本身无关。在地球物理反演问题中,许多问题属于混定形式。在这种情况下 ,既要保证模型参数的高分辨率, 又要得到很小的模型协方差是不可能的 ,两者不可兼得, 只有采取折衷的办法。可以通过选择一个使分辨率展布与方差大小加权之和取极 小的广义逆来研究这一问题:aspread (R) + (1-a )size(covm)u如果令加权参数 a 接近 1,那么广义逆的模型分辨矩阵将具有很小的展布 ,但是模型参数将具有很大的方差。而如果令a 接近 0,那么模型参数将具有相对较小的方差, 但是其分辨率将具有很大的展布。3. 适定与不适定问题适定问题是指满足下列三个要求的问题：解是存在的；解是惟一的；解连续依赖于定解条件。这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适 定问题4. 正则化从 p(k ) 点出发，沿 p(k ) 方向找出F(b) 的极小点b(k +1) = b(k ) + t(k ) p(k )进一步取 p(k +1) 为p(k +1) = - g (k +1) + bkp(k )（4）, n -1)当b= g(k +1)T Qp(k )kp(k )T Qp(k )(k = 0, 2,（5）时，即构造出n 个共轭向量 p(0) 、 p(1) 、 p(n-1) 。可以证明，对Q 为正定的极小问题，有b= g(k +1)T g(k +1) =kg(k )T g(k )g(k +1) 22 g(k ) 22（6）t(k ) =g(k )T g(k )p(k )T Qp(k )（7）共轭梯度法的计算步骤：（1） 给定初始点 p(0) ，允许误差e > 0 ，令 k=0；（2） 计算 g (k ) ，若g(k ) 2步；< e ，则停止计算，得点 b* = b( k ) ，否则进行下一（3） 构造搜索方向，令p(k ) = - g (k ) + bp( k -1)k -1其中，当 k=1 时， b k -1 = 0 ， bk = b0 ，当k > 0 时，有g(k +1) 2b=2kg(k ) 22(4) b(k +1) = b(k ) + t(k ) p(k ) ,求出步长t(k ) =g(k ) 22p(k )TQp(k )并确定新点b ( k +1) ，返回第（2）步。特点：采用共轭方向去搜索极小点, 必须在第一步搜索时取最速下降方向, 否则就不能在有限的迭代中达到极小点。共轭梯度法正是基于这种思想对函数极小点进行逐步探测的。每次迭代的共轭方向 p (k ) 通常不是预先给定的, 而是在迭代过程中逐步确定产生的。共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合 ,利用已知点处的梯度构造一组共轭方向 ,沿着这组方向而不是负梯度方向去搜索目标函数极小点,根据共轭方向的性质,共轭梯度法具有二次终止性。四、简述遗传算法或模拟退火反演的基本原理。遗传算法基于生物系统的自然选择原理和自然遗传机制。它模拟自然界中 的生命进化过程,在人工系统中解决复杂的、特定目标的非线性反演问题。遗传算法从随机选择的一组模型群体开始。通过“选择”、“交换”和“变 异”三个基本步骤组成的转移过程 ,得到新的模型群体(其中的许多成员可能与上一代群体中的成员相同)；简单地重复这一过程直至模型群体变得“一致”为 止。所谓群体“一致”,意即群体目标函数(或后验概率)的方差或标准偏差很小, 或者群体目标函数(或后验概率)的均值接近于群体中目标函数(或后验概率)的 最大值。具体的过程如下：(1)参数编码。通常遗传算法对模型参数的二进制编码进行工作 ,所以遗传算法的首要步骤是对模型参数进行二进制编码。（2） 初始模型群体的产生。初始模型群体是随机产生的。显然 ,初始模型群体中的个体在模型空间中分布得越均匀越好 ,最好是模型空间中的各代表区域中均有成员。（3） 选择。选择是产生新的模型群体的过程中的第一步。它从群体中挑选模型配成对(亲本)以进行交换。（4） 交换。交换是遗传算法的“繁殖”过程,是遗传算法的内在力。（5） 变异。变异是对偶然的(按较低的变异概率随机选择的)后代中的一个 或多个随机选择的基因作随机摄动。（6） 更新。经过“交换”和“变异”,产生出新的子本模型。（7） 收敛。模型群体经过多次选择、交换和变异之后,群体大小不变,但群 体的平均目标函数 (或后验概率 )值逐渐变大 (若反演问题是求极大值对应的解)，直至最后都聚集在模型空间中一个小范围内为止。六、以地震勘探为例，任选取一种反演算法简述层析成像的基本意义和计算过 程。地震层析成像（ seismic tomography）是指利用大量地震观测数据反演研究区域三维结构的一种方法，是典型的地球物理反演问题。层析成像技术能以图像的方式直观清晰地显示地下物质结构的属性 ,所以这种方法一产生就受到了极大关注,被广泛应用于内部地球物理和地球动力学、能源勘探开发、工程和 灾害地质、金属矿勘探等领域。地震层析成像反演方法可以分为两类：第一类是基于算子的线性或拟线性 反演方法；另一类是基于模型的完全非线性反演方法，又称为“随机反演方法”。以井间地震初至波走时层析成像为例，初至波旅行时层析成像最终归结为求解层析方程组，一般该方程组是对于每个网格慢度的一个大型、稀疏的非线性方程组。解决此问题的关键是将非线性问题线性化。因此，首先给定步长将模型离散化，也就是网格剖分，一般分成三角形网格、正方形网格、或者长方形网格，每个网格又叫一个像素，然后给定初始像素的慢度，依据线性插值计算每条射线的初至波旅行时和射线的传播路径，把求出的射线初至波旅行时与观测的初至波旅行时作差来反演每个像素慢度的修正量，依据结果再修改模型， 重复以上过程，直至理论初至走时与实际拾取初至走时的误差达到误差限，最后获得的慢 度便是层析反演的成果。七、（选作）简述地震全波形反演的基本原理。全波形反演方法利用叠前地震波场的运动学和动力学信息重建地层结 构，具有揭示复杂地质背景下构造与储层物性的潜力。在地震资料处理中，全 波形反演的目标是利用野外采集所得地震记录的振幅、相位等信息恢复得到地下介质的物性参数模型。全波形反演理论的实现是利用一种非线性优化算法将初始模型对应的理论地震波场与采集得到的观测地震波场之差所表示的目标函数极小化，从而不断更新速度模型，最终获得精确的地下介质速度分布情况。因此，该方法主要包括三个部分：首先，基于已知的初始速度模型，通过波动方程正演模拟获得理论地震波场；其次，基于理论地震波场与观测地震波场之间的波场残差，构建目标函数；最后，选择一种优化算法对该反问题进行求解。 这些因素共同决定了全波形反演的精度、稳定性和收敛性等，因此，选择合适的正演模拟算法、目标函数类型以及最优化算法对全波形反演的应用至关重要。