全国初中数学联合竞赛试题及参考答案与评分标准.doc
上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com20072007 年全国初中数学联合竞赛年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档； 第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果 考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划 分的档次，给予相应的分数.第一试第一试一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分）本题共有 6 小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正DCBA,确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的 代号字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分.1.1. 已知满足，则的值为 （ zyx,xzzyx532 zyyx 25 ）（A）1. （B）. （C）. （D）.31 3121【答】B.解解 由得，所以，故选xzzyx532xzxy23,331 3335 25 xxxx zyyx（B）. 注：本题也可用特殊值法来判断.2 2当分别取值， ，时，x20071 20061 20051 2112200520062007计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ 2211 xx ） （A）1. （B）1. （C）0. （D）2007. 【答】C.解解 因为，即当分别取值，为正整 222211)1(1)1(1nnnn011 112222 nn nnxn1nn(上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com数）时，计算所得的代数式的值之和为 0；而当时，.因此，当分别取值1x0111122 x， ，时，计算所得各代20071 20061 20051 2112200520062007数式的值之和为 0.故选（C）.3.3. 设是的三边长，二次函数在时取最小值cba,ABC2)2(2bacxxbay1x，则是 （ b58ABC） （A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三 角形. 【答】D.解解 由题意可得即所以， ,58 22, 1 )2(2bbacbabac,53,2bcacb bc53ba54因此，所以是直角三角形. 故选（D）.222bcaABC4.4. 已知锐角的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（ ABCAHA ） （A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°. 【答答】C.解解 锐角的垂心在三角形内部，如图，设的外心为，ABCABCO 为的中点，的延长线交于点，连、，则/DBCBOOECEAECE ，/，则，所以30°，AHAECHODCEAHOB2OBD 60°，所以60°.故选（C）.BODABOD 5 5设是内任意一点，、的重心分别为、，KABCKABKBCKCADEF则的值为 （ ）ABCDEFSS:（A）. （B）. （C）. （D）.91 92 94 32【答】A.解解 分别延长、，与的三边、交于点、KDKEKFABCABBCCAM 、，由于、分别为、的重心，易知、NPDEFKABKBCKCAMN分别为、的中点，所以.PABBCCAABCMNPSS41AECBDO H上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com易证，且相似比为，所以DEFMNP3:2MNPDEFSS2)32(ABCS41 94.ABCS91所以.故选（A）.:DEFS1 9ABCS6袋中装有 5 个红球、6 个黑球、7 个白球，从袋中摸出 15 个球，摸出的球中恰好有 3 个 红球的概率是 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.101 51 103 52【答】B. 解解 设摸出的 15 个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且xyzzyx,，.因为，所以可取值 2，3，4，5.7, 6, 5zyx15zyx13 zyx当时，只有一种可能，即；2x7, 6zy当时，有 2 种可能，或；3x12 zy7, 5zy6, 6zy当时，有 3 种可能，或或；4x11 zy7, 4zy6, 5zy5, 6zy当时，有 4 种可能，或或或5x10 zy7, 3zy6, 4zy5, 5zy.4, 6zy因此，共有 123410 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有 3 个红球的结果有 2 种，所以所求的概率为.故选（B）.51 102二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分）1.1. 设，是的小数部分，是的小数部分，则121xaxbx_1_.abba333解解 ，而，.12121x3122122 xa又，而，12 x2123.，22)3(xb1ba上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com.abba333abbababa3)(221)(3222baabbaba2.2. 对于一切不小于 2 的自然数，关于的一元二次方程的两nx22(2)20xnxn个根记作（） ，则nnba ,2n)2)(2(122ba)2)(2(133ba=)2)(2(120072007ba.1003 4016解解 由根与系数的关系得，所以2nbann22nnabn ，)2)(2(nnba(2nnba4)nnba222(2)42 (1)nnn n 则， 111 11()(2)(2)2 (1)21nnabn nnn )2)(2(122ba)2)(2(133ba)2)(2(120072007ba.11111111 111003()()()()22334200720082 220084016 3.3. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、ABCD6,10, 2ADCDBCABB两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为DBAECBFBFBE _4_.解解 延长交于点，设的中点分别为点，CDOGDGBE,NM,则易知.因为，由割线定理，易证，DNAM 10 CDBCDGBF 所以.42)(2)(2ABAMBMDNBMDGBEBFBE4 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是64100 a64201 aa _17_.解解 设，则，两式相减得264100ma264201na100,32nm，因为 101 是质数，且，所以)(10122mnmnmna101101mnABCDEFGMN上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com，故.代入，整理得101 mn1012 nmna264201na，解得，或（舍去）.0202374022nn59n343n所以.171012 na第二试第二试 （A）一、一、 （本题满分（本题满分 20 分）分）设为正整数，且，如果对一切实数 ，二次函数nm,2mt的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.mtxmtxy3)3(2x2tnnm,解解 因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函03)3(2mtxmtxmt3数的图象与轴的两个交点间的距离为.mtxmtxy3)3(2x3mt 由题意，即，即32mttn22(3)(2)mttn.222(4)(64 )90mtmn tn由题意知，且上式对一切实数 恒成立，所以042mt, 0)9)(4(4)46(, 042222nmnmm所以或 22,4(6)0,mmn , 6, 2 mnm , 2, 3 nm . 1, 6 nm二、二、 （本题满分（本题满分 25 分）分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，ABCDEAD 的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，CEBAFEBACDM与交于点.证明：=.BMADNAFNDME 证明证明 设与交于点，/，MNEFPNEBCABCD EFMNP2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 8 页）上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com，,PNEPBCPCPE PBPN. PCPNPEPB又/，,MEBFPMEPBFPFPE PBPM.PFPMPEPB,故 PFPMPCPNPFPC PNPM又=，PNFPMC，PNFPMC，NF/MC FPNMPEANFEDM. 又ME/BF，FANMED.ANFFANEDMMED，AFN=DME. 三、三、 （本题满分（本题满分 25 分）分）已知是正整数，如果关于的方程ax的根都是整数，求的值及方程的整数根.056)38()17(23xaxaxa解解 观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得11x056)18() 1(2xaxx因为是正整数，所以关于的方程ax（1）056)18(2xax的判别式，它一定有两个不同的实数根.0224)18(2a而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 224)18(2a设（其中为非负整数） ，则，即22224)18(kak224)18(22ka.224)18)(18(kaka显然与的奇偶性相同，且，而ka18ka181818ka ，所以8284562112224或或解得或或 , 218,11218kaka , 418,5618 kaka , 818,2818 kaka ,55,39ka ,26,12ka ,10, 0 ka上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com而是正整数，所以只可能或a ,55,39ka .26,12ka当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方39a056572xx156程的三个根为 1，和.156当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方12a056302xx228程的三个根为 1，和.228第二试第二试 （B）一、一、 （本题满分（本题满分 20 分）分）设为正整数，且，二次函数nm,2m的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数mtxmtxy3)3(2x1d的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实ntxntxy2)2(2x2d21dd 数 恒成立，求的值.tnm,解解 因为一元二次方程的两根分别为和，所以03)3(2mtxmtxmt3；31 mtd一元二次方程的两根分别为和，所以. 02)2(2ntxntxt 2nntd 22所以，21dd 22)2()3(23ntmtntmt（1）09)46()4(222ntnmtm由题意知，且（1）式对一切实数 恒成立，所以042mt, 0)9)(4(4)46(, 042222nmnmm所以或22,4(6)0,mmn , 6, 2 mnm , 2, 3 nm . 1, 6 nm二、二、 （本题满分（本题满分 25 分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第二题相同）卷第二题相同.三、三、 （本题满分（本题满分 25 分）分）设是正整数，二次函数，反比例aaxaxy38)17(22007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 6 页（共 8 页）上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点） ，求xy56的值.a解解 联立方程组消去得， ,56,38)17(2xyaxaxy yaxax38)17(2 x56即，分解因式得056)38()17(23xaxax（1）056)18() 1(2xaxx显然是方程（1）的一个根， （1，56）是两个函数的图象的一个交点.11x因为是正整数，所以关于的方程ax（2）056)18(2xax的判别式，它一定有两个不同的实数根.0224)18(2a而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 224)18(2a设（其中为非负整数） ，则，即22224)18(kak224)18(22ka.224)18)(18(kaka显然与的奇偶性相同，且，而ka18ka181818ka ，所以8284562112224或或解得或或 , 218,11218kaka , 418,5618 kaka , 818,2818 kaka ,55,39ka ,26,12ka ,10, 0 ka而是正整数，所以只可能或a ,55,39ka .26,12ka当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个39a056572xx156上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com函数的图象还有两个交点和.)56, 1() 1,56(当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两12a056302xx228个函数的图象还有两个交点和.)28, 2()2,28(上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com第二试第二试 （C）一、一、 （本题满分（本题满分 25 分）题目和解答与（分）题目和解答与（B）卷第一题相同）卷第一题相同. 二、二、 （本题满分（本题满分 25 分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第二题相同）卷第二题相同. 三三、 （本题满分（本题满分 25 分）分）设是正整数，如果二次函数a和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵axaxy710)232(22xay311坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.a解解 联立方程组消去得 ,311,710)232(22xayaxaxy yaxax710)232(22，即，分解因式得11 3a x0113)710()232(223axaxax（1）0311)12() 12(2axaxx如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于的一元二次方x 程（2）0311)12(2axax必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式应该是一个完全平方数，而.224)18(10036)311(4)12(222aaaaa所以应该是一个完全平方数，设（其中为非负224)18(2a22224)18(kak整数） ，则，即.224)18(22ka224)18)(18(kaka显然与的奇偶性相同，且，而ka18ka181818ka ，所以8284562112224或或解得或或 , 218,11218kaka , 418,5618 kaka , 818,2818 kaka ,55,39ka ,26,12ka ,10, 0 ka而是正整数，所以只可能或a ,55,39ka .26,12ka上海中考网 http:/sh.zhongkao.com E 度社区 http:/bbs.eduu.com当时，方程（2）即，它的两根分别为 2 和，易求得两39a0106512xx53 个函数的图象有公共整点和.)53, 2( )2 ,53(当时，方程（2）即，它的两根分别为 1 和，易求得两12a025242xx25 个函数的图象有公共整点和.)25, 1 ( ) 1 ,25(
