基本不等式第一课时.ppt
2a babICM2002会标会标赵爽：弦图赵爽：弦图ADBCEFGHba22ab基本不等式基本不等式1： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab基本不等式基本不等式2：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。注意：注意：（1）一正（整数）、二定（定值）、三取等（）一正（整数）、二定（定值）、三取等（a=b）（2） 称为正数称为正数a、b的几何平均数的几何平均数 称为它们的算术平均数。称为它们的算术平均数。ab2ab基本不等式的几何解释：基本不等式的几何解释：半弦半弦CD不大于半径不大于半径ABEDCab范例讲解范例讲解 例例1 已知已知x、y都是正数，求证：都是正数，求证： 2)1( yxxy220, 00, 0: yxxyyxxyyxxyyx证明证明巩固练习：巩固练习：2.若若x0,当当x= 时时,函数函数 有最有最 值值 .xxy94 1.若若x0,当当x= 时时,函数函数 的最小值是的最小值是 .xxy3 33232小小12基本不等式基本不等式2：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。注意：注意：一正（整数）、二定（定值）、三取等（一正（整数）、二定（定值）、三取等（a=b）2、下列结论正确的是（ ） A、当0 x 且1x 时，1lg2lgxx B、当0 x 时 ，12xx C、当2x 时 ，1xx的最小值为 2 D、当02x时 ，1xx无最大值 B例例2：已知已知x 0，求，求3( )f xxx的最小值。的最小值。变式变式2：若：若x 2，求，求3( )2f xxx的最小值。的最小值。求函数的最值求函数的最值45 sin0sin2y求函数其中（ ，的最小值。函数的最小值为解：4, 4sin4sin2sin4siny用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必须注意必须注意 “相等相等” 的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值则不能取到该最值.变式变式例例3已知函数，已知函数，求函数的最小值求函数的最小值)2(23)(xxxxf。的最小值是时，函数即当且仅当解：6323223223)(xxxxxxxxxf 用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这个条件这个条件应用问题应用问题例例5已知函数已知函数 ，求函数的，求函数的最小值和此时最小值和此时x的取值的取值xxxf1)(11:()22112 .fxxxxxxxx 解当 且 仅 当即时 函 数取 到 最 小 值 运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件例例5 5、已知：、已知：0 0 x x31，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值分析一：分析一：原函数式可化为：原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二：分析二：即即x=x=61时时 y ymaxmax=1213x+1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x31则则1-3x1-3x0 0；00 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法均值不等式的变形均值不等式的变形巩固练习：巩固练习：1.已知已知 ,则则 的最大值为的最大值为 ,此时此时x= .10 x)1 (3xx2.若若 ,当当x = 时时, y = x(5 2x)有最大值有最大值 .250 x432145825
