全国高中数学联赛江苏赛区初赛题.doc
12011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共一、填空题（本题共 1010 小题，满分小题，满分 7070 分，每小题分，每小题 7 7 分要求直接将答案写在横线上）分要求直接将答案写在横线上）1 复数 44(1i)(1i)2 已知直线是圆的一条对称轴，则实数10xmy 22:4450C xyxy.m 3 某班共有 30 名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概 率是 （结果用最简分数表示） 4 已知，则 1cos4544sincos5 已知向量 a，b 满足，则以向量与表示的有向线段2,3aba b2 ab3 ab为邻边的平行四边形的面积为 6 设数列an的前 n 项和为 Sn若Sn是首项及公比都为 2 的等比数列，则数列an3的 前 n 项和等于 7 设函数若 f(a)f(b)，且 0ab，则 ab 的取值范围是 2( )2f xx8 设 f(m)为数列an中小于 m 的项的个数，其中，则 2, nannN* (2011)f f9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三 角 形的斜边长是 10已知 m 是正整数，且方程有整数解，则 m 所有可能的值210100xmxm是 2二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 2020 分，共分，共 8080 分）分）11已知圆与抛物线有公共点，求实数 h 的取值范围221xy2yxh12设若时，且在区间上的最大2( )( ,)f xxbxc b cR2x ( )0f x ( )f x2,3值为 1，求的最大值和最小值22bc3ABCP13如图，P 是内一点ABCV（1）若 P 是的内心，证明：；ABCV1902BPCBAC（2）若且，证明：P 是的内心1902BPCBAC1902APCABCABCV14已知是实数，且存在正整数 n0，使得为正有理数0n证明：存在无穷多个正整数 n，使得为有理数n42011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评一、填空题（本题共一、填空题（本题共 1010 小题，满分小题，满分 7070 分，每小题分，每小题 7 7 分要求直接将答案写在横线上）分要求直接将答案写在横线上）1 复数 44(1i)(1i)答案：8基础题，送分题，高考难度2 已知直线是圆的一条对称轴，则实数10xmy 22:4450C xyxy.m 答案：3 2基础题，送分题，高考难度3 某班共有 30 名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概 率 是 （结果用最简分数表示） 答案：19 145基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4 已知，则 1cos4544sincos答案：4 5计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度5 已知向量 a，b 满足，则以向量与表示的有向线段2,3aba b2 ab3 ab为邻边的平行四边形的面积为 答案：10 3可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案 6 设数列an的前 n 项和为 Sn若Sn是首项及公比都为 2 的等比数列，则数列an3的 前 n 项和等于 答案：1(848)7n高考难度级别，基础好的同学可以做出来7 设函数若 f(a)f(b)，且 0ab，则 ab 的取值范围是 2( )2f xx5答案：(0,2) 这是一道高考题8 设 f(m)为数列an中小于 m 的项的个数，其中，2, nannN*则 (2011)f f答案：6 这也是一道高考题 9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三 角 形的斜边长是 答案：43还是一道高考题10已知 m 是正整数，且方程有整数解，则 m 所有可能的值210100xmxm是 答案：3,14,30 这是 2011 年苏州市一模的第十四题。 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 2020 分，共分，共 8080 分）分）11已知圆与抛物线有公共点，求实数 h 的取值范围221xy2yxh解：设公共点（cos，sin） ，代入抛物线方程，得22215sincossinsin1(sin)24h 因为，所以sin1,1 5,14h 简单，很简单12设若时，且在区间上的最大2( )( ,)f xxbxc b cR2x ( )0f x ( )f x2,3值为 1，求的最大值和最小值22bc解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点( )f x2,3取得，故有，从而且(2)(3)1ff5b38cb 若有实根，则，( )0f x 240bc 在区间有即消去 c，解出2,2( 2)0, (2)0,22,2f f b 420,420,44,bcbcb 4,5 4, 44,bb b 即，这时，且4b 4c 0 6ABCP若无实根，则，将代入解得( )0f x 240bc 38cb 84b 综上54b所以，单调递减22222( 38)104864bcbbbb 故2222 minmax()32,()74bcbc注重分类讨论 13如图，P 是内一点ABCA（1）若 P 是的内心，证明：；ABCA1902BPCBAC（2）若且，证明：P 是的内心1902BPCBAC1902APCABCABCA证明：（1）111180()180(180)90222BPCABCACBBACBAC 这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有14已知是实数，且存在正整数 n0，使得为正有理数0n7证明：存在无穷多个正整数 n，使得为有理数n证明：设，其中 p，q 为互质的正整数，则0qnp202qnp设 k 为任意的正整数，构造，22 02np kqkn则2 2222 0222qqnp kqknp kqkpkppQ非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识 总结：这张试卷大约 90 分以上应该可以出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平 时基础好，不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个） ，对于没有进行过竞赛辅导的 同学来说，大题的 1、2 两题还是可以做做的。 尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是有份的，而且分很多。 比如最后一题，只要把他设出来，就有 8 分。
