2022-2022学年高中数学课时作业4二元平均值不等式北师大版选修4-.doc

课时作业(四)(第一次作业)1以下不等式证明过程正确的选项是()A假设a，bR，那么22B假设x>0，y>0，那么lgxlgy2C假设x<0，那么x24D假设x<0，那么2x2x>22答案D解析x<0，2x(0，1)，2x>1.2x2x>22.D正确而A，B首先不满足“一正，C应当为“2(2022·重庆)(6a3)的最大值为()A9B.C3 D.答案B解析方法一：因为6a3，所以3a0，a60.由根本不等式，可知，当且仅当a时等号成立方法二：，当且仅当a时等号成立3a，b(0，1)且ab，以下各式中最大的是()Aa2b2 B2C2ab Dab答案D解析只需比拟a2b2与ab.由于a，b(0，1)，a2<a，b2<b，a2b2<ab.4设x>0，那么y33x的最大值是()A3 B33C32 D1答案C5假设a>0，b>0，且ab1，那么以下不等式成立的是()Aab Ba2b2Ca2b2> Dab答案D6(2022·福建)假设2x2y1，那么xy的取值范围是()A0，2 B2，0C2，) D(，2答案D解析2x2y22(当且仅当2x2y时等号成立)，2xy，得xy2，应选D.7(2022·陕西)设0<a<b，那么以下不等式中正确的选项是 ()A. a<b<< Ba<<<bCa<<b< D. <a<<b答案B解析方法一(特值法)：代入a1，b2，那么有0<a1<<1.5<b2.方法二(直接法)：我们知道算术平均数与几何平均数的大小关系，其余各式作差(作商)比拟即可，答案为B.8设x>0，y>0，且x4y40，那么lgxlgy的最大值是()A40 B10C4 D2答案D解析x4y40，且x>0，y>0，x4y24.(当且仅当x4y时取“)440.xy100.lgxlgylgxylg1002.lgxlgy的最大值为2.9当x>2时，不等式xa恒成立，那么实数a的取值范围是()A(，2 B(，4C0，) D2，4答案B解析x2恒成立，a必须小于或等于x的最小值x>2，x2>0.x(x2)24.(当且仅当x3时，取“)10(2022·湖南)假设实数a，b满足，那么ab的最小值为()A. B2C2 D4答案C解析方法一：由得，且a>0，b>0，abb2a2，ab2.方法二：由题设易知a>0，b>0，2，即ab2，选C.11以下函数中，最小值为4的是_yx；ysinx(0<x<)；y4exex；ylog3xlogx3(0<x<1)答案解析注意根本不等式等号成立的条件是“ab，同时考虑函数的定义域，x的定义域为xR，且x0，函数没有最小值；假设sinx取到最小值4，那么sin2x4，显然不成立没有最小值故填.12正数x，y满足x2y1，那么的最小值为_答案18解析由于正数x，y满足x2y1，那么()(x2y)1010218.当且仅当时，等号成立，所以的最小值为18.13假设正数a，b满足abab3，那么ab的取值范围是_答案9，)解析令t(t>0)，由abab323，那么t22t3，所以t3或t1(舍去)，所以3，ab9，当ab3时取等号14建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m2的造价分别为120元和80元，那么水池外表积的最低造价为_元答案1 760解析设水池底面的长度、宽度分别为a m，b m，那么ab4，令水池外表的总造价为y，那么yab×1202(2a2b)×80480320(ab)480320×2480320×41 760，当且仅当ab2时取“15a0，b0，且abab3，求ab的最小值思路一化二元函数为一元函数解析一abab3，b.由得a1.abaa1a12226.(当且仅当a1即a3时，上式取“号)ab的最小值为6.思路二将abab3与ab()2联立消去ab可建立关于ab的不等式，求出ab的取值范围，从而求得ab的最小值解析二ab()2，将abab3代入式，得ab3()2.整理得(ab)24(ab)120，解得ab6或ab2.a0，b0，ab6.ab的最小值为6.16a>0，b>0，c>0且a，b，c不全相等，求证：>abc.证明a，b，c R，且不全相等，2 2c.同理：2a，2b.上述三个等号至少有一个不成立，三式相加，得2>2(abc)即>abc.1设a>0，b>0，且abab1，那么()Aab2(1) Bab1Cab(1)2 Dab2(1)答案A2在以下结论中，错用算术平均数与几何平均数不等式作依据的是()Ax，y均为正数，那么2Ba为正数，那么(1a)(a)4Clgxlogx102，其中x>1D.2答案B3某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，那么()Ax BxCx> Dx答案B4(2022·山东)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.那么当取得最小值时，x2yz的最大值为()A0 B.C2 D.答案C解析3231，当且仅当x2y时等号成立，因此z4y26y24y22y2，所以x2yz4y2y22(y1)222.5(2022·福建)以下不等式一定成立的是()Alg(x2)>lgx(x>0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.>1(xR)答案C解析取x，那么lg(x2)lgx，故排除A；取x，那么sinx1，故排除B；取x0，那么1，故排除D.应选C.6(2022·四川)函数f(x)4x(x>0，a>0)在x3时取得最小值，那么a_答案36解析f(x)4x24(当且仅当4x，即a4x2时取等号)，那么由题意知a4×3236.7a，b，cR，求证：(1)(abc)；(2)a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc)证明(1)()2，.即(ab)同理(bc)，(ca)三式相加，得(abc)(2)a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42c2a2，2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)即a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，2(a2b2b2c2c2a2)2(ab2cabc2a2bc)即a2b2b2c2c2a2ab2cabc2a2bcabc(abc)8如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)答案a6 m，b3 m解析设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y，其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小，只需求ab的最大值由题设，得4b2ab2a60(a>0，b>0)，即a2bab30(a>0，b>0)a2b2，2·ab30.当且仅当a2b时取“号，ab有最大值当a2b时有2·ab30，即b22b150.解之得b13，b25(舍去)，a2b6.故当a6 m，b3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最少课时作业(四)(第二次作业)1以下结论正确的选项是()A当x>0且x1时，lgx2B当x>0时，2C当x2时，x最小值为2D当0<x2时，x无最大值答案B解析对于A，当x(0，1)时，lgx<0，不正确；对于C，yx在(2，)上单调递增最小值为；对于D，yx在(0，2上单调递增，有最大值.2函数y(x0)的值域是()A2，)B(，2C(，22，) D2，2答案C解析当x>0时，yx2，当且仅当x1时，等号成立当x<0时，y(x)2，当且仅当x1时，等号成立3假设x，y>0，且2x3y1，那么的最小值是()A52 B52C3 D4答案B解析2x3y1，()(2x3y)2352.4假设实数a，b满足ab4，那么3a3b的最小值是()A18 B6C2 D4答案A解析3a>0，3b>0，3a3b2218.当且仅当3a3b即ab2时，等号成立5设x，y>0，假设k恒成立，那么k的最小值为()A1 B2C. D2答案C解析k恒成立，只需求的最大值即可()21112，故kmin.6不等式(xy)()9对任意正实数x，y恒成立，那么正实数a的最小值为()A2 B4C6 D8答案B解析z(xy)()1a1a2 1a2(1)2对任意正实数x，y恒有z9.即(1)29，a4.7假设点A(x，y)在第一象限且在2x3y6上移动，那么logxlogy()A最大值为1 B最小值为1C最大值为2 D没有最大、最小值答案A8假设a，bR，且2ab1，那么S24a2b2的最大值是()A.1 B.C.1 D.答案B解析S2(4a2b2)·(2a)2b22()2.9正整数a，b满足4ab30，那么使得取得最小值时，实数对(a，b)是()A(5，10) B(6，6)C(10，5) D(7，2)答案A解析方法一：a>0，b>0，1，()·(41)52 (54).当且仅当，即4a2b2，即b2a时“成立，应选A.方法二：将答案代入验证10设a，b，c是正实数，且a，b满足1，那么使abc恒成立的c的范围是()A(0，8 B(0，10C(0，12 D(0，16答案D11x，yR，且满足1，那么xy的最大值为_答案3解析因为x>0，y>0，所以2当且仅当，即x，y2时取等号，即1，解得xy3，所以其最大值为3.12a，b为正实数，且a2b1，那么的最小值为_答案32解析()(a2b)122323.13一批货物随17列货车从A市以v km/h匀速直达B市，两地铁路线长为400 km，为了平安，两列货车的间距不得小于()2 km(货车的长度忽略不计)，那么这批货物全部运到B市，最快需要_ h.答案8解析这批货均从A市全部运到B市的时间t2 8.14设x，y，z为正实数，满足x2y3z0，那么的最小值是_答案3解析y，3.15a，b，x，yR，x，y为变数，a，b为常数，且ab10，1，xy的最小值为18，求a，b.解析xy(xy)()abab2()2，当且仅当时取等号又(xy)min()218，即ab218.又ab10，由可得或16a>0，b>0，c>0，且abc1，证明：(1)a2b2c2；(2).证明(1)由a22a，b22b，c22c，相加得：a2b2c2(abc)，当且仅当abc时取等号所以a2b2c2.(2)由a>0，b>0，c>0，所以，相加得：1.所以.当且仅当abc时取等号1如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值为()A()3 B()3C()3 D.()3答案A2以下不等式x2；|x|2；假设0<a<1<b，那么logablogba2；假设0<a<1<b，那么logablogba2.其中正确的选项是()A BC D答案C解析当x>0时，x2，当x<0时错，x与同号，正确；当0<a<1<b时logab<0.logablogba2正确，由知，错3设a>0，b>0，a21，那么a的最大值是_答案解析a21a2，a· ··.当且仅当即a，b时取“12