2022-2022学年高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示练习含解析北师大版必修4.doc
§6平面向量数量积的坐标表示填一填1.平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)数量积的坐标表示：设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么a·b_.(2)模、夹角、垂直的坐标表示：2直线的方向向量(1)定义：与直线l_的非零向量m称为直线l的方向向量(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m_.判一判1.直线x2y10的方向向量为(1,2)()2两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和()3向量a(x1，y1)，b(x2，y2)的数量积仍是向量，其坐标为(x1x2，y1y2)()4|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的()5假设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)的夹角为锐角，那么x1x2y1y2>0，反之，假设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)满足x1x2y1y2>0，那么它们的夹角为锐角()6在ABC中，(1,1)，(4,3)，·1<0，那么ABC为钝角三角形()7在直角ABC中，(1,1)，(4，m)，那么m4.()8向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么a·bx1x2y1y2.()想一想1.对数量积的坐标表示的理解？提示：(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将表达更多2对向量模长公式的理解？提示：(1)模长公式是数量积的坐标表示a·bx1x2y1y2的一种特例，当ab时，那么可得|a|2x2y2.(2)假设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么(x2x1，y2y1)，所以|，即|的实质是A，B两点间的距离或线段AB的长度，这也是模的几何意义思考感悟：练一练1.a(3,4)，b(5,2)，那么a·b的值是()A23 B7C23 D72a(2,1)，b(x，2)，且ab，那么x的值为()A1 B0C1 D23a(1，)，b(2,0)，那么|ab|_.4a(4,3)，b(1,2)，那么2|a|23a·b_.知识点一数量积的坐标运算1.设向量a(1，2)，向量b(3,4)，向量c(3,2)，那么向量(a2b)·c()A(15,12) B0C3 D112向量b与向量a(1，2)的方向相反，且|b|3.(1)求向量b的坐标；(2)假设c(2,3)，求(ca)·(cb)的值知识点二向量的模3.设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，那么|ab|()A. B.C2 D54点A(0,1)，B(1，2)，向量(4，1)，那么|_.知识点三向量的夹角、垂直问题5.设向量a(x,1)，b(1，)，且ab，那么向量ab与b的夹角为()A. B.C. D.6点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1) 求证：ABAD.(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值综合知识数量积的综合应用7.设向量a(1，)，b(m，)，且a，b的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是_8向量a，|b|，a与b的夹角为.(1)求向量a在b方向上的投影；(2)求ab与ab的夹角的余弦值根底达标一、选择题1向量a(1,2)，b(2，x)，且a·b1，那么x的值等于()A. BC. D2向量a(4,3)，2ab(3,18)，那么a，b夹角的余弦值等于()A. BC. D3假设a(2,3)，b(4,7)，那么a在b方向上的投影为()A. B.C. D.4向量a(1,2)，b(3,1)，c(k,4)，且(ab)c，那么k()A6 B1C1 D65向量a(2，2)，那么向量a的单位向量是()A(1，1) B(1,1)C. D.6平面向量a(2,4)，b(1,2). 假设ca(a·b)b，那么|c|()A4 B2C8 D87向量m(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n1，那么|n|()A1 B1C2 D28在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，那么该四边形的面积为()A. B2C5 D10二、填空题9向量a(1,2)，b(3,4)，那么(ab)·(2a3b)_.10向量a(x,1)，b(1,2)，c(1,5)，假设(a2b)c，那么|a|_.11点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，那么向量在方向上的投影为_12平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac，假设m2ab，nac，那么向量m，n的夹角的大小为_三、解答题13a与b同向，b(1,2)，a·b10.(1)求a的坐标；(2)假设c(2，1)，求a(b·c)及(a·b)c.14向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1，1)(1)假设|c|3，且ca，求向量c的坐标；(2)假设b是单位向量，且a(a2b)，求a与b的夹角.能力提升15.点O是锐角三角形ABC的外心，AB8，AC12，A. 假设xy，求6x9y的值16在平面直角坐标系xOy中，A，B，C三点的坐标分别为A(2，1)，B(3,5)，C(m,3)(1)假设，求实数m的值；(2)假设A，B，C三点能构成三角形，求实数m的取值范围§6平面向量数量积的坐标表示一测根底过关填一填1(1)x1x2y1y2(2)x1x2y1y202(1)共线(2)(1，k)判一判1×2.3.×4.5.×6.×7.×8.×练一练1D2.A3.24.44二测考点落实1解析：依题意可知，a2b(1，2)2(3,4)(5,6)，所以(a2b)·c(5,6)·(3,2)5×36×23.答案：C2解析：(1)设ba，>0，那么b(，2)那么|b|3，平方得24245，解得3或3(舍去)b(3,6)(2)ca(2,3)(1，2)(1,5)，cb(2,3)(3,6)(5，3)，(ca)·(cb)5(15)10.3解析：因为a(x,1)，b(1，2)，且ab，所以2x1×10，解得x.所以ab(1，2)，|ab|.答案：B4解析：设C(x，y)，点A(0,1)，向量(4，1)，(x，y1)(4，1)，解得x4，y0，C(4,0)，(3,2)，|.答案：5解析：向量a(x,1)，b(1，)，且ab，那么a·bx0，得x，ab(，1)(1，)(0,4)，(ab)·b0×14×()4，|ab|4，|b|2，设向量ab与b的夹角为，那么cos ，0，.答案：D6解析：(1)因为A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)，所以·1×(3)1×30，所以，即ABAD.(2)因为，四边形ABCD为矩形，所以，设C点的坐标为(x，y)，那么由(1,1)，(x1，y4)，得解得所以C点的坐标为(0,5)，从而(2,4)，(4,2)，且|2，|2.·8816，设与的夹角为，那么cos ，所以矩形的两条对角线的夹角的余弦值为.7解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·bm3>0，解得m>3，又当m1时，a，b0，不符合题意，所以m>3且m1.答案：m>3且m18解析：(1)|a|1，向量a在b方向上的投影为|a|cos.(2)由(1)知，a·b，设ab与ab的夹角为，那么cos ，|ab|2|a|2|b|22a·b，那么|ab|，|ab|2|a|2|b|22a·b，那么|ab|，(ab)·(ab)a2b2，cos .三测学业达标1解析：因为a(1,2)，b(2，x)，所以a·b(1,2)·(2，x)1×22x1，解得x.答案：D2解析：a(4,3)，2a(8,6)又2ab(3,18)，b(5,12)，a·b203616.又|a|5，|b|13，cosa，b，应选C.答案：C3解析：设a与b的夹角为，那么cos ，a在b方向上的投影为|a|cos ×.答案：A4解析：a(1,2)，b(3,1)，ab(4,1)，(ab)c，4k40，解得k1.答案：C5解析：向量a的单位向量是.答案：C6解析：因为a·b2×(1)4×26，所以c(2,4)6(1,2)(8，8)，所以|c|8.答案：D7解析：cos，|n|1.应选B.答案：B8解析：·(1,2)·(4,2)0，故.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S|·|××25.答案：C9解析：方法一：因为a(1,2)，b(3,4)，所以a·b(1,2)·(3,4)1×32×411，(ab)·(2a3b)2a2a·b3b22|a|2a·b3|b|22(1222)113(3242)54.方法二：因为ab(1,2)(3,4)(2，2)，2a3b2(1,2)3(3,4)(2×13×3,2×23×4)(11,16)，所以(ab)·(2a3b)(2，2)·(11,16)2×11(2)×1654.答案：5410解析：a(x,1)，b(1,2)，a2b(x2,5)，又(a2b)c，5(x2)5，解得x3，a(3,1)，|a|.答案：11解析：由题意得(2,1)，(5,5)，所以·15，所以向量在方向上的投影为|cos，.答案：12解析：因为ab，所以3x4×9，所以x12.因为ac，所以3×44y0，所以y3，所以b(9,12)，c(4，3)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)设m，n的夹角为，那么cos ，因为0，所以，即m，n的夹角为.答案：13解析：(1)设ab(，2)(>0)，那么a·b410，2，a(2,4)(2)b·c1×22×10，a·b10，a(b·c)0a0，(a·b)c10(2，1)(20，10)14解析：(1)设c(x，y)，由|c|3，ca可得所以或故c(3,3)或c(3，3)(2)因为|a|，且a(a2b)，所以a·(a2b)0，即a22a·b0，a·b1，故cos ，.15解析：如下图，连接OA，过点O分别作ODAB，OEAC，垂足分别为D，E，那么D，E分别为AB，AC的中点·()·2×8232，·()·2×12272.A，·8×12×cos48.xy，·xy·，·x·y，即3264x48y,7248x144y，联立解得x，y.6x9y5.16解析：(1)由题意，有(1,6)，(m2，4)，由，得·0，即(m2)×14×60，解得m22.(2) 假设A，B，C三点能构成三角形，那么A，B，C三点不共线，即与不平行，故1×46(m2)0，解得m，即实数m的取值范围是.
