2022年理数高考试题答案及解析-湖南.docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学理工农医类一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.设集合M=-1,0,1，N=x|x2x，那么MN=A.0 B.0,1 C.-1,1 D.-1,0,0【答案】B【解析】M=-1,0,1MN=0,1.【点评】此题考查了集合的根本运算，较简单，易得分.先求出,再利用交集定义得出MN.2.命题“假设=，那么tan=1”的逆否命题是A.假设，那么tan1 B.假设=，那么tan1C.假设tan1，那么 D.假设tan1，那么=【答案】C【解析】因为“假设，那么的逆否命题为“假设，那么，所以 “假设=，那么tan=1”的逆否命题是 “假设tan1，那么.【点评】此题考查了“假设p，那么q形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，那么该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】此题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，都可能是该几何体的俯视图，不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】此题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4.设某大学的女生体重y单位：kg与身高x单位：cm具有线性相关关系，根据一组样本数据xi，yii=1，2，n，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，那么以下结论中不正确的选项是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心，C.假设该大学某女生身高增加1cm，那么其体重约增加0.85kgD.假设该大学某女生身高为170cm，那么可断定其体重比为58.79kg【答案】D【解析】【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心，利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.【点评】此题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5. 双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P 2,1在C 的渐近线上，那么C的方程为A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1【答案】A【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，那么.又C 的渐近线为，点P 2,1在C 的渐近线上，即.又，C的方程为-=1.【点评】此题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等根底知识，考查了数形结合的思想和根本运算能力，是近年来常考题型.6. 函数fx=sinx-cos(x+)的值域为 A -2 ,2 B.-, C.-1,1 D.- ,【答案】B【解析】fx=sinx-cos(x+)，值域为-,.【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域.7. 在ABC中，AB=2，AC=3，= 1那么.A.B.C. D.【答案】A【解析】由以下列图知.又由余弦定理知，解得.【点评】此题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.8两条直线 ：y=m 和： y=(m0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为A B. C. D.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m0)，图像如以下列图，由=m，得，=，得.依照题意得.，.【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m0)，图像，结合图像可解得.二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.一选做题请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，那么按前两题记分 9. 在直角坐标系xOy 中，曲线： (t为参数)与曲线 ：(为参数，) 有一个公共点在X轴上，那么.【答案】【解析】曲线：直角坐标方程为，与轴交点为；曲线 ：直角坐标方程为，其与轴交点为，由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知.【点评】此题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与轴交点，即可求得.10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_.【答案】【解析】令，那么由得的解集为.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式组.11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.假设PA=1，AB=2，PO=3，那么圆O的半径等于_.【答案】【解析】设交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知【点评】此题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知，从而求得圆的半径. (二)必做题1216题12.复数 (i为虚数单位)，那么|z|=_.【答案】10【解析】=，.【点评】此题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的形式，利用求得.13.(-)6的二项展开式中的常数项为.用数字作答【答案】-160【解析】(-)6的展开式项公式是.由题意知，所以二项展开式中的常数项为.【点评】此题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规方法.14.如果执行如图3所示的程序框图，输入,n=3,那么输出的数S= .【答案】【解析】输入,n=3,，执行过程如下：；，所以输出的是.【点评】此题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15.函数fx=sin ()的导函数的局部图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.1假设，点P的坐标为0，那么 ;2假设在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，那么该点在ABC内的概率为.【答案】13；2【解析】1，当，点P的坐标为0，时；2由图知，设的横坐标分别为.设曲线段与x轴所围成的区域的面积为那么，由几何概型知该点在ABC内的概率为.【点评】此题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，1利用点P在图像上求，2几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.1当N=16时，x7位于P2中的第_个位置；2当N=2nn8时，x173位于P4中的第_个位置.【答案】16；2【解析】1当N=16时,可设为,即为,即,x7位于P2中的第6个位置,；2方法同1,归纳推理知x173位于P4中的第个位置.【点评】此题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.本小题总分值12分某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数人302510结算时间分钟/人11.522.53这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；假设某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.注：将频率视为概率【解析】1由,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得的分布为 X11.522.53PX的数学期望为.记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟，为该顾客前面第位顾客的结算时间，那么.由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.【点评】此题考查概率统计的根底知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55知从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.18.本小题总分值12分 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90°，E是CD的中点.证明：CD平面PAE；假设直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】解法1如图1，连接AC，由AB=4，是的中点，所以所以而内的两条相交直线，所以CD平面PAE.过点作由CD平面PAE知，平面PAE.于是为直线与平面PAE所成的角，且.由知，为直线与平面所成的角.由题意，知因为所以由所以四边形是平行四边形，故于是在中，所以于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为解法2：如图2，以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设那么相关的各点坐标为：易知因为所以而是平面内的两条相交直线，所以()由题设和知，分别是，的法向量，而PB与所成的角和PB与所成的角相等，所以由知，由故解得.又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为.【点评】此题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.19.本小题总分值12分（1） 假设a1=1，a2=5，且对任意nN，三个数An，Bn，Cn组成等差数列，求数列 an 的通项公式.（2） 证明：数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数An，Bn，Cn组成公比为q的等比数列.【解析】解对任意,三个数是等差数列，所以即亦即故数列是首项为，公差为的等差数列.于是必要性：假设数列是公比为的等比数列，那么对任意，有由知，均大于，于是即，所以三个数组成公比为的等比数列.充分性：假设对于任意，三个数组成公比为的等比数列，那么，于是得即由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意nN，三个数组成公比为的等比数列.【点评】此题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.20.本小题总分值13分某企业接到生产3000台某产品的A，B，三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为,单位：件.每个工人每天可生产部件件，或部件件，或部件件.该企业方案安排名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为kk为正整数.设生产部件的人数为，分别写出完成，三种部件生产需要的时间；假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.【解析】解：设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间单位：天分别为由题设有期中均为1到200之间的正整数.完成订单任务的时间为其定义域为易知，为减函数，为增函数.注意到于是1当时， 此时，由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于.故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为.2当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，那么.由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于此时完成订单任务的最短时间大于.3当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.类似1的讨论.此时完成订单任务的最短时间为，大于.综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产，三种部件的人数分别为44,88,68.【点评】此题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，表达分类讨论思想.21.本小题总分值13分在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：x-52y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.求曲线C1的方程；设P(x0,y0)y0±3为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.【解析】解法1 ：设M的坐标为，由得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为.解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，那么过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是整理得设过P所作的两条切线的斜率分别为，那么是方程的两个实根，故由得设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，那么是方程的两个实根，所以同理可得于是由，三式得.所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.【点评】此题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，表达“设而不求思想.22.本小题总分值13分函数=，其中a0.（1） 假设对一切xR，1恒成立，求a的取值集合.2在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0x1，x2，使成立假设存在，求的取值范围；假设不存在，请说明理由.【解析】假设，那么对一切，这与题设矛盾，又，故.而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.令那么当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，式成立.综上所述，的取值集合为.由题意知，令那么令，那么.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时，.综上所述，存在使成立.且的取值范围为.【点评】此题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xR，f(x)1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.