方程的根与函数的零点 (2).ppt
第三章第三章 函数的应用函数的应用3.1 3.1 函数与方程函数与方程3.1.1 3.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0)的图象的图象 判别式判别式 =b24ac0=00 函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根 x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0有两个交点有两个交点(x1,0) , (x2,0)有一个焦交有一个焦交 (x1,0)没有交点没有交点 两个不相等的两个不相等的实数根实数根 x1 、x2又会有什么结论？与相应的函数般方程：将上述结论推广至一问题)(0)(4xfyxf方程的实数根就是对应函数图像与x轴交点的横坐标。方程有几个不等实根对应的函数图像就有几个不同的交点。 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的的实数实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的的零点零点函数的函数的零点零点注：注：零点对于函数而言，根对于方程而言，零点对于函数而言，根对于方程而言， 说法不同但是说法不同但是本质完全相同本质完全相同零点的分零点的分类类方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点( )yf x( ) 0f xx( )yf x思考：函数思考：函数 的图象与的图象与 轴的交点和相应的轴的交点和相应的方程的方程的 根及函数根及函数 的零点三者有何关系？的零点三者有何关系？方程方程f(x)=0有几个有几个不等实数根不等实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴轴有几个有几个交点交点函数函数y=f(x)有几个有几个零点。零点。探究：探究： 如何求函数的零点？如何求函数的零点？1 1 2 2 3 3 4 4 5 5-1-1-2-21 12 23 34 45 5-1-1-2-2-3-3-4-4x xy yo观察二次函数观察二次函数f f( (x x) )x x2 22 2x x3 3的图象：的图象：在区间在区间-2-2，11上有零点上有零点_；f f(-2)=_(-2)=_，f f(1)=_(1)=_，f f(-2)(-2)f f(1)_0(“(1)_0(“”或或“”) )在区间在区间(2(2，4)4)上有零点上有零点_；f f(2)(2)f f(4)_0(4)_0（“”或或“”） 1 14 45 5 3 3 1 1 2 2 3 3 4 45 5-1-11 12 23 34 45 5-1-1-2-2-3-3-4-4y yo思考：观察图象填空，在怎样的条件下，思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数函数 在区间在区间 （a a，b b）上存在零点？）上存在零点？( )yf x 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。探究：探究： 函数函数 图像连续不断时，图像连续不断时，再满足什么条件区间再满足什么条件区间 （a a，b b）上一定存在零点？）上一定存在零点？( )yf x 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。探究：探究： 函数函数 图像连续不断时，图像连续不断时，再满足什么条件区间再满足什么条件区间 （a a，b b）上一定存在零点？）上一定存在零点？( )yf xabOxy反例：函数反例：函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上有上有3 3个零点；个零点；因此，因此，“在区间在区间(a,b)(a,b)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点”的说法是错误的说法是错误的。的。 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1 1）已知函数）已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且f(a)f(a)f(b) 0f(b) 0，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有且仅有一个零内有且仅有一个零点点. .（ ）在例在例1 基础上再加上什么条件，则基础上再加上什么条件，则f(x)在区间在区间(a,b)内有且仅有内有且仅有一个零点？一个零点？在区间在区间(a,b)内严格单调内严格单调 （2 2）已知函数）已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且f(a)f(a)f(b)0f(b)0，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内没有零点内没有零点. .（ ）（2 2）已知函数）已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且f (a)f (a)f(b) 0f(b) 0，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内没有零点内没有零点. .（ ）a ab bO Ox xy y可知，函数可知，函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且f (a)f (a)f(b)0f(b)0，但，但f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点. .故论断不正确。故论断不正确。 如图如图, , 进而可知，零点存在性定理只能判断变号零点的存在性。进而可知，零点存在性定理只能判断变号零点的存在性。因此也称为变号零点因此也称为变号零点零点存在性定理。零点存在性定理。（3 3）已知函数）已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间a,ba,b满足满足f(a)f(b) 0f(a)f(b) 0，则则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内存在零点内存在零点. .（ ）（3 3）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,b a,b 满足满足f(a)f(a)f(b)0f(b)0，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内存在零点内存在零点. .（ ）abOxy虽然函数虽然函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,b a,b 满足满足f(a)f(a)f(b) 0,f(b) 0,但是但是图象不是连续的曲线，则图象不是连续的曲线，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内不存在零点内不存在零点. .如图如图, , （4 4）已知函数）已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间a,b上连续上连续且区间（且区间（a,ba,b）有零点，则一定有有零点，则一定有f f(a)f(b)0 。这也启发我们：这也启发我们：此定理不可逆此定理不可逆。练习练习2 2、若函数若函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在区间在区间a,ba,b上的图象是上的图象是连续不断的曲线，且函数连续不断的曲线，且函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在(a,b)(a,b)内有内有零点，则零点，则f(a)f(b)f(a)f(b)的值的值( )( )A A、大于、大于0 B0 B、小于、小于0 0 C C、无法判断、无法判断 D D、等于零、等于零练习练习1 1、函数、函数f(x)=xf(x)=x3 3+x-1+x-1在下列哪个区间有零点（在下列哪个区间有零点（ ) ) A.(-2A.(-2，-1) B.(0-1) B.(0，1) 1) C.(1C.(1，2) D.(22) D.(2，3)3)C C B B由表可知由表可知f(2)0f(2)0f(3)0，由于函数由于函数f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点它仅有一个零点用计算器或计算机列出用计算器或计算机列出x x、f(x)f(x)的对应值表：的对应值表：例例2.2.求函数求函数f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6的零点的个数，的零点的个数，并确定零点并确定零点所在的区间所在的区间nn，n+1(nn+1(nZ) Z) 解：解：10108 86 64 42 2-2-2-4-45 51 1 2 23 34 46 6x xy yO Ox x1 12 23 34 45 56 67 78 89 9f(x)f(x) -4-4 -1.3-1.3 1.11.1 3.43.4 5.65.6 7.87.89.99.9 12.112.1 14.214.2方法方法1 1f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6从而从而f(2)f(2)f(3)0,f(3)0,函数函数f(x)f(x)在区间在区间(2,3)(2,3)内有零点内有零点y=y=2x +62x +6y=lnxy=lnx6 6O Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y即求方程即求方程 lnx+2x-6=0lnx+2x-6=0的根的个数，即求的根的个数，即求 lnx=6-2xlnx=6-2x的根的根的个数，即判断函数的个数，即判断函数y=lnxy=lnx与函数与函数y=6-2xy=6-2x的交点个数的交点个数如图可知，只有一如图可知，只有一个交点，即方程只个交点，即方程只有一根。有一根。方法方法2 2：一、个数对应关系一、个数对应关系 方程方程f(x)=0有几个有几个不等实数根不等实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴轴有几个有几个交点交点函数函数y=f(x)有几个有几个零点。零点。( )( )( )0( ),( )连续则函数在内存在唯一零点单调f xf af bf xa bf x( )( ),( )( )0连续则函数在内存在零点f xf xa bf af b二、零点存在性定理。二、零点存在性定理。三、零点存在性定理推论。三、零点存在性定理推论。四、求方程根的存在性，有哪些方法？四、求方程根的存在性，有哪些方法？（一）图像法；（一）图像法；（二）定理法；（二）定理法；（四）直接解方程法。（四）直接解方程法。（三）一元二次方程可用判别式法；（三）一元二次方程可用判别式法；
