2022版高考数学一轮复习核心素养测评六十一圆锥曲线的最值问题理北师大版.doc

核心素养测评六十一 圆锥曲线的最值问题1.已知抛物线y2=4x的焦点为点F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若=2,求直线AB的斜率.(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.【解析】(1)由已知F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+1,由消去x得,y2-4my-4=0.所以y1+y2=4m,y1y2=-4.因为=2,所以y1=-2y2, 联立和,消去y1,y2,得m=±.所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB=2··|OF|·|y1-y2|=4,所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.2.已知O为坐标原点,F为椭圆C:+=1的上焦点,C上一点A在x轴上方,且|OA|=.(1)求直线AF的方程.(2)B为直线AF与C异于A的交点,C的弦MN,AB的中点分别为P,Q,若O,P,Q在同一条直线上,求OMN面积的最大值.【解析】(1)设A(x0,y0)(y0>0),因为|OA|=,所以=,又因为点A在椭圆上,所以+=1,由解得:或所以A的坐标为或,又因为F的坐标为(0,),所以直线AF的方程为y=-x+或y=x+.(2)当A在第一象限时,直线AF:y=-x+,设M(x1,y1),N(x2,y2),则两式相减得+=0,因为MN不过原点,所以=-,即kMNkOP=-,同理:kABkOQ=-,又因为O,P,Q在同一条直线上,所以kOP=kOQ,所以kMN=kAB=-,设直线MN:y=-x+m,由得5x2-2mx+2m2-18=0,由>0,得-<m<.由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=|x1-x2|=·=.又因为O到直线MN的距离d=|m|,所以SOMN=|MN|d=|m|·=3,当且仅当m2=10-m2,即m=±时等号成立,所以OMN的面积的最大值为3,当A在第二象限时,由对称性知,OMN面积的最大值也为3.综上,OMN面积的最大值为3.