2022年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编专题9几何综合问题.docx

2022年全国中考数学续61套压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题24.2022湖北恩施12分如图，AB是O的弦，D为OA半径的中点，过D作CDOA交弦AB于点E，交O于点F，且CE=CB1求证：BC是O的切线；2连接AF，BF，求ABF的度数；3如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径【答案】解：1证明：连接OB，OB=OA，CE=CB，A=OBA，CEB=ABC。又CDOA，A+AED=A+CEB=90°。OBA+ABC=90°。OBBC。BC是O的切线。2连接OF，AF，BF，DA=DO，CDOA，OAF是等边三角形。AOF=60°。ABF=AOF=30°。3过点C作CGBE于点G，由CE=CB，EG=BE=5。易证RtADERtCGE，sinECG=sinA=，。又CD=15，CE=13，DE=2，由RtADERtCGE得，即，解得。O的半径为2AD=。【考点】等腰边三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】1连接OB，有圆的半径相等和条件证明OBC=90°即可证明BC是O的切线。2连接OF，AF，BF，首先证明OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出ABF的度数。3过点C作CGBE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由RtADERtCGE和勾股定理求出DE=2，由RtADERtCGE求出AD的长，从而求出O的半径。25.2022黑龙江哈尔滨10分：在ABC中，ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MNAC于点N，PQAB于点Q，A0=MN1如图l，求证：PC=AN；2如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，DKE=ABC，EFPM于点H，交BC延长线于点F，假设NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长【答案】解：1证明：BAAM，MNAP，BAM=ANM=90°。PAQ+MAN=MAN+AMN=90°，PAQ=AMN。PQAB MNAC，PQA=ANM=90°。AQ=MN。AQPMNAASA。AN=PQ，AM=AP。AMB=APM。APM=BPCBPC+PBC=90°，AMB+ABM=90°，ABM=PBC。PQAB，PCBC，PQ=PC角平分线的性质。PC=AN。2NP=2 PC=3，由1知PC=AN=3。AP=NC=5，AC=8。AM=AP=5。PAQ=AMN，ACB=ANM=90°，ABC=MAN。，BC=6。NEKC，PEN=PKC。又ENP=KCP，PNEPCK。CK：CF=2：3，设CK=2k，那么CF=3k。，。过N作NTEF交CF于T，那么四边形NTFE是平行四边形。NE=TF=，CT=CFTF=3k。EFPM，BFH+HBF=90°=BPC+HBF。BPC=BFH。EFNT，NTC=BFH=BPC。，。CT=。CK=2×=3，BK=BCCK=3。PKC+DKC=ABC+BDK，DKE=ABC，BDK=PKC。tanBDK=1。过K作KGBD于G。tanBDK=1，tanABC=，设GK=4n，那么BG=3n，GD=4n。BK=5n=3，n=。BD=4n+3n=7n=。，AQ=4，BQ=ABAQ=6。DQ=BQBD=6。【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】1确定一对全等三角形AQPMNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。2由条件，求出线段KC的长度，从而确定PKC是等腰直角三角形；然后在BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。26.2022湖北十堰10分如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODAC，且CBD=BAC，OD交O于点E1求证：BD是O的切线；2假设点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；3作CFAB于点F，连接AD交CF于点G如图2，求的值【答案】解：1证明：AB是O的直径，BCA=90°。ABC+BAC=90°。又CBD=BAC，ABC+CBD=90°。ABD=90°。OBBD。BD为O的切线。2证明：如图，连接CE、OC，BE，OE=ED，OBD=90°，BE=OE=ED。OBE为等边三角形。BOE=60°。又ODAC，OAC=60°。又OA=OC，AC=OA=OE。ACOE且AC=OE。四边形OACE是平行四边形。而OA=OE，四边形OACE是菱形。3CFAB，AFC=OBD=90°。又ODAC，CAF=DOB。RtAFCRtOBD。，即。又FGBD，AFGABD。，即。【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】1由AB是O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到BCA=90°，那么ABC+BAC=90°，而CBD=BA，得到ABC+CBD=90°，即OBBD，根据切线的判定定理即可得到BD为O的切线。2连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，那么OBE为等边三角形，于是BOE=60°，又因为ACOD，那么OAC=60°，AC=OA=OE，即有ACOE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。3由CFAB得到AFC=OBD=90°，而ODAC，那么CAF=DOB，根据相似三角形的判定易得RtAFCRtOBD，那么有，即，再由FGBD易证得AFGABD，那么，即，然后求FG与FC的比即可。27.2022江苏镇江11分等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点与B、C不重合，连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N如图1。1求证：AM=AN；2设BP=x。假设，BM=，求x的值；记四边形ADPE与ABC重叠局部的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H如图2，当x取何值时，BAD=150并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：1证明：ABC、APD和APE都是等边三角形，AD=AP，DAP=BAC=600，ADM=APN=600。DAM=PAN。ADMAPNASA，AM=AN。2易证BPMCAP，BN=，AC=2，CP=2x，即。解得x=或x=。四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与ABC重叠局部的面积。ADMAPN，。如图，过点P作PSAB于点S，过点D作DTAP于点T，那么点T是AP的中点。在RtBPS中，P=600，BP=x，PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。AB=2，AS=ABBC=2x。当x=1时，S的最小值为。连接PG，设DE交AP于点O。假设BAD=150，DAP =600，PAG =450。APD和APE都是等边三角形，AD=DP=AP=PE=EA。四边形ADPE是菱形。DO垂直平分AP。GP=AG。APG =PAG =450。PGA =900。设BG=t，在RtBPG中，B=600，BP=2t，PG=。AG=PG=。，解得t=1。BP=2t=22。当BP=22时，BAD=150。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形ADPE是菱形，AODE，ADO=AEH=300。BAD=150，易得AGO=450，HAO=150，EAH=450。设AO=a，那么AD=AE=2 a，OD=a。DG=DOGO=1a。又BAD=150，BAC=600，ADO=300，DHA=DAH=750。DH=AD=2a，GH=DHDG=2a1a=3a，HE=2DODH=2a2a=21a。，。以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】1由ABC、APD和APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。2由BPMCAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。由BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。28.2022福建三明14分在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上不含点B，BPEACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G1当点P与点C重合时如图求证：BOGPOE；4分2通过观察、测量、猜想：= ，并结合图证明你的猜想；5分3把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变如图，假设ACB=，求的值用含的式子表示5分【答案】解：1证明：四边形ABCD是正方形，P与C重合，OB=OP ，BOC=BOG=90°。PFBG ，PFB=90°，GBO=90°BGO，EPO=90°BGO。GBO=EPO 。BOGPOEAAS。2。证明如下：如图，过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，PNE=BOC=900，BPN=OCB。OBC=OCB =450，NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN，NPE=900BMN，MBN=NPE。BMNPENASA。BM=PE。BPE=ACB，BPN=ACB，BPF=MPF。PFBM，BFP=MFP=900。又PF=PF，BPFMPFASA。BF=MF ，即BF=BM。BF=PE，即。3如图，过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，BPN=ACB=，PNE=BOC=900。由2同理可得BF=BM，MBN=EPN。BNM=PNE=900，BMNPEN。在RtBNP中，即。【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】1由正方形的性质可由AAS证得BOGPOE。2过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明BMNPEN得到BM=PE，通过ASA证明BPFMPF得到BF=MF，即可得出的结论。3过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，同2证得BF=BM，MBN=EPN，从而可证得BMNPEN，由和RtBNP中即可求得。29.2022辽宁沈阳12分，如图，MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点点A，B不与点O重合，且AB=，在MON的内部、AOB的外部有一点P，且AP=BP，APB=120°.1求AP的长；2求证：点P在MON的平分线上；3如图，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.当ABOP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；假设四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围【答案】解： (1) 过点P作PQAB于点Q PA=PB，APB=120° ，AB=4，AQ=AB=×4=2，APQ=APB=×120°=60°。在RtAPQ中， sinAPQ=AP= 4。2证明：过点P分别作PSOM于点S， PTON于点T，OSP=OTP=90°。在四边形OSPT中，SPT=360°-OSP-SOT-OTP=360°-90°-60°-90°=120°，APB=SPT=120°。APS=BPT。又ASP=BTP=90°， AP=BP，APSBPTAAS。PS=PT。点P在MON的平分线上。38+44+4t8+4。【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理【分析】1过点P作PQAB于点Q根据等腰三角形的“三线合一的性质推知AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。2作辅助线PS、PT过点P分别作PSOM于点S，PTON于点T构建全等三角形APSBPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在MON的平分线上。3利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。当ABOP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；当ABOP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。30.2022辽宁大连12分如图1，梯形ABCD中，ADBC，ABC2BCD2，点E在AD上，点F在DC上，且BEF=A. 1BEF=_(用含的代数式表示)；2当ABAD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；3当ABAD时，将“点E在AD上改为“点E在AD的延长线上，且AEAB，ABmDE，ADnDE，其他条件不变如图2，求的值用含m、n的代数式表示。【答案】解：1180°2。2EB=EF。证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。ADBC，A=180°-ABC=180°2，ADC=180°C=180°-。AB=AD，ADB=180°A=。BDC=ADCADB=180°2。由1得：BEF=180°2=BDC。又EOB=DOF，EOBDOF。，即。EOD=BOF，EODBOF。EFB=EDO=。EBF=180°BEFEFB=EFB。EB=EF。3延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，那么G=AEG=。ADBC，EDF=C=，GBC=A，DEB=EBC。EDF=G。BEF=A，BEF=GBC。GBC+EBC=DEB+BEF，即EBG=FED。DEFGBE。AB=mDE，AD=nDE，AG=AE=n+1DE。BG=AGAB=n+1DEmDE=n+1mDE。【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】1由梯形ABCD中，ADBC，ABC=2BCD=2，根据平行线的性质，易求得A的度数，又由BEF=A，即可求得BEF的度数：梯形ABCD中，ADBC，A+ABC=180°。A=180°ABC=180°2。又BEF=A，BEF=A=180°2。2连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得EOBDOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得，从而可证得EODBOF，又由相似三角形的对应角相等，易得EBF=EFB=，即可得EB=EF。3延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得DEFGBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的值。31.2022辽宁鞍山12分如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标3，3，将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度0°90°，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG1求证：AOGADG；2求PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；3当1=2时，求直线PE的解析式【答案】解：1证明：AOG=ADG=90°，在RtAOG和RtADG中，AO=AD，AG=AG，AOGADGHL。2PAG =45°,PG=OG+BP。理由如下：由1同理可证ADPABP，那么DAP=BAP。由1AOGADG，1=DAG。又1+DAG+DAP+BAP=90°，2DAG+2DAP=90°，即DAG+DAP=45°。PAG=DAG+DAP=45°。AOGADG，ADPABP，DG=OG，DP=BP。PG=DG+DP=OG+BP。3AOGADG，AGO=AGD。又1+AGO=90°，2+PGC=90°，1=2，AGO=AGD=PGC。又AGO+AGD+PGC=180°，AGO=AGD=PGC=60°。1=2=30°。在RtAOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，G点坐标为：，0，CG=3。在RtPCG中，PC=，P点坐标为：3，。设直线PE的解析式为y=kx+b，那么，解得。直线PE的解析式为y=x1。【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】1由AO=AD，AG=AG，利用“HL可证AOGADG。2利用1的方法，同理可证ADPABP，得出1=DAG，DAP=BAP，而1+DAG+DAP+BAP=90°，由此可求PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。3由AOGADG可知，AGO=AGD，而1+AGO=90°，2+PGC=90°，当1=2时，可证AGO=AGD=PGC，而AGO+AGD+PGC=180°，得出AGO=AGD=PGC=60°，即1=2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式。32.2022山东威海11分探索发现：在梯形ABCD中，CDAB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。1如图，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；2如图，如果ADBC，那么线段AM与BM是否相等请说明理由。学以致用：仅用直尺没有刻度，试作出图中的矩形ABCD的一条对称轴。写出作图步骤，保存作图痕迹【答案】解：1证明：AD=BC，CDAB，AC=BD，DAB=CBA。AE=BE。点E在线段AB的垂直平分线上。在ABD和BAC中，AB=BA，AD=BC，AC=BD，ABDBACSSS。DBA=CAB。OA=OB。点O在线段AB的垂直平分线上。直线EM是线段AB的垂直平分线。2相等。理由如下：CDAB，EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB。CDAB，ONDOMB，ONCOMA，OCDOAB。AM2=BM2。AM=BM。3作图如下：作法：连接AC，BD，两线相交于点O1；在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H；连接BG，AH，两线相交于点O2；作直线EO2，交AB于点M；作直线MO1。那么直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。【分析】1一方面由可得点E在线段AB的垂直平分线上；另一方面可由SSS证明ABDBAC，从而得DBA=CAB，因此OA=OB，得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。2一方面由CDAB，得EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB，利用对应边成比例可得；另一方面由CDAB，得ONDOMB，ONCOMA，OCDOAB，利用对应边成比例可得。从而得到，即可得到AM=BM的结论。3按2的结论作图即可。33.2022四川泸州9分如图，ABC内接于O，AB是O的直径，C是的弧AD中点，弦CEAB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；(2)假设O的半径为5，AQ=，求弦CE的长。【答案】解：1证明：AB是O的直径，弦CEAB，。又C是弧的中点，。ACP=CAP。PA=PC。AB是直径ACB=90°。PCQ=90°ACP，CQP=90°CAP。PCQ=CQP。PC=PQ。PA=PQ，即P是AQ的中点。2，CAQ=ABC。又ACQ=BCQ，CAQCBA。又AQ=，BA=10，。设AC=3k， BC=4k，那么由勾股定理得，解得k=2。AC=6，BC=8。根据直角三角形的面积公式，得：ACBC=ABCH，6×8=10CH。CH=。又CH=HE，CE=2CH=。【考点】圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】1首先利用等角对等边证明：ACP=CAP得到：PA=PC，然再证明PC=PQ，即可得到P是AQ的中点。2首先证明：CAQCBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，那么可以求得CE的长。34.2022四川成都10分如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K1求证：KE=GE；2假设=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；3在2的条件下，假设sinE=，AK=，求FG的长【答案】解：1证明：如答图1，连接OG。EG为切线，KGE+OGA=90°。CDAB，AKH+OAG=90°。又OA=OG，OGA=OAG。KGE=AKH=GKE。KE=GE。2ACEF，理由如下：连接GD，如答图2所示。KG2=KDGE，。又KGE=GKE，GKDEGK。E=AGD。又C=AGD，E=C。ACEF。3连接OG，OC，如答图3所示。由2E=ACH，sinE=sinACH=。可设AH=3t，那么AC=5t，CH=4t。KE=GE，ACEF，CK=AC=5t。HK=CKCH=t。在RtAHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即3t2+t2=2，解得t=。设O半径为r，在RtOCH中，OC=r，OH=r3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即r3t2+4t2=r2，解得r=t=。EF为切线，OGF为直角三角形。在RtOGF中，OG=r=，tanOFG=tanCAH=，FG=。【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。【分析】1如答图1，连接OG根据切线性质及CDAB，可以推出连接KGE=AKH=GKE，根据等角对等边得到KE=GE。2AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由KGE=GKE，及KG2=KDGE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出GKD与EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到C=AGD，可推知E=C，从而得到ACEF。3如答图3所示，连接OG，OC首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在RtOGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。35.2022广西钦州10分如图，AB是O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，ADEF于点D，DAC=BAC1求证：EF是O的切线；2求证：AC2=ADAB；3假设O的半径为2，ACD=30°，求图中阴影局部的面积【答案】解：1证明：连接OC，OA=OC，BAC=OCA。DAC=BAC，OCA=DAC。OCAD。ADEF，OCEF。OC为半径，EF是O的切线。2证明：AB为O直径，ADEF，BCA=ADC=90°。DAC=BAC，ACBADC。AC2=ADAB。3ACD=30°，OCD=90°，OCA=60°.OC=OA，OAC是等边三角形。AC=OA=OC=2，AOC=60°。在RtACD中，AD=AC=1。由勾股定理得：DC=，阴影局部的面积是S=S梯形OCDAS扇形OCA=×2+1×。【考点】圆的综合题，等腰边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积。【分析】1连接OC，根据OA=OC推出BAC=OCA=DAC，推出OCAD，得出OCEF，根据切线的判定推出即可。2证ADCACB，得出比例式，即可推出答案。3求出等边三角形OAC，求出AC、AOC，在RtACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案。36.2022广西贵港11分如图，RtABC的内切圆O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且ACB90°，AB5，BC3。点P在射线AC上运动，过点P作PHAB，垂足为H。1直接写出线段AC、AD以及O半径的长；2设PHx，PCy，求y关于x的函数关系式；3当PH与O相切时，求相应的y值。【答案】解：1AC=4；AD=3，O半径的长为1。2在RtABC中，AB=5，AC=4，那么BC=3。C=90°，PHAB，C=PHA=90°。A=A，AHPACB。，即。，即y与x的函数关系式是。3如图，PH与O相切于点M，连接OD，OE，OF，OM。OMH=MHD=HDO=90°，OM=OD，四边形OMHD是正方形。MH=OM=1。CE、CF是O的切线，ACB=90°，CFO=FCE=CEO=90°，CF=CE。四边形CEOF是正方形，CF=OF=1。PH=PM+MH=PF+FC=PC，即x=y。又由2知，解得。【考点】圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】1连接AO、DO，EO，FO，设O的半径为r，在RtABC中，由勾股定理得AC=，O的半径r=AC+BC-AB=4+3-5=1。CE、CF是O的切线，ACB=90°，CFO=FCE=CEO=90°，CF=CE。四边形CEOF是正方形。CF=OF=1。又AD、AF是O的切线，AF=AD。AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3。2通过相似三角形AHPACB的对应边成比例知，将“PH=x，PC=y代入求出即可求得y关于x的函数关系式。3根据圆的切线定理证得四边形OMHD、四边形CFOE为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知PH=PM+MH=PF+FC=PC，即x=y；最后将其代入2中的函数关系式即可求得y值。37.2022贵州安顺12分如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB=40°，APD=65°1求B的大小；2AD=6，求圆心O到BD的距离【答案】解：1APD=C+CAB，CAB=40°，APD=65°，C=65°40°=25°。B=C=25°。2过点O作OEBD于E，那么DE=BE，又AO=BO，OE=AD=×6=3。圆心O到BD的距离为3。【考点】圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。【分析】1根据圆周定理以及三角形外角求出即可。2利用三角形中位线定理得出OE= AD，即可得出答案。38.2022云南省7分如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN1求证：四边形BMDN是菱形；2假设AB=4，AD=8，求MD的长【答案】解：1证明：四边形ABCD是矩形，ADBC。BNO=DMO，NBO=MDO。MN是BD的中垂线，OB=OD，BDMN。BNODMOAAS。ON=OM。四边形BMDN的对角线互相平分。四边形BMDN是平行四边形。BDMN，平行四边形BMDN是菱形。2四边形BMDN是菱形，MB=MD。设MD长为x，那么MB=DM=x，AM=8x。四边形ABCD是矩形，A=900。在RtAMB中，BM2=AM2+AB2，即x2=8x2+42，解得：x=5。答：MD长为5。【考点】矩形的性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】1根据矩形性质求出ADBC，根据OB=OD和ADBC推出BNODMO ，OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN。2根据菱形性质求出DM=BM，在RtAMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x216x6416，求出即可。39.2022山东淄博9分在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x1当点G与点D重合时，求x的值；2当点F为AD中点时，求x的值及ECF的正弦值【答案】解：1当点G与点D重合时，点F也与点D重合。矩形ABCD中，ACBD，四边形ABCD是正方形。BC=4，x= AB= BC=4。2点F为AD中点，BC=4，AF=2。矩形ABCD中，ADBC，AEFBEB。矩形ABCD中，ABC=BAF=900，在RtABC和RtBAF中由勾股定理得，即。两式相加，得。又ACBG，在RtABE中，。，解得已舍去负值。在RtCEF中由勾股定理得。【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】1由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。2由点F为AD中点和矩形的性质，得AEFBEB，从而得。在RtABC、 RtBAF和RtABE应用勾股定理即可求得x的值。在RtCEF中应用勾股定理求得CF，根据锐角三角函数定义即可求得ECF的正弦值。